В геометрії стільник — це заповнення простору многогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.
Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний многогранник можна спроєктувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.
Класифікація Редагувати
Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.
Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому кубічний стільник[en] є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є тетраедр Гілла[en] і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.
Однорідний тривимірний стільник Редагувати
Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних многогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі, званих також архімедовими стільниками[en].
Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок):
| Тип | Кубічний стільник | Квазіправильний стільник |
|---|---|---|
| Комірки | Кубічні | Октаедральні і тетраедральні |
| Шар |
Тетраедрально-октаедральний стільник[en] і повернутий тетраедрально-октаедральний стільник складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.
Многогранники, що заповнюють простір Редагувати
Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про многогранник, що заповнює простір.
Тільки п'ять многогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають параллелогранниками[en]:
- Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед);
- Шестикутний призматичний стільник[en];
- Ромбододекаедральний стільник[en];
- Подовжений додекаедральний стільник[en];
- Стільник з глибокозрізаних кубів[en].
Кубічний стільник | Шестикутний призматичний стільник | Ромбододекаедральний стільник | Подовжений ромбододекаедральний стільник | Стільник з глибокозрізаних кубів |
| Куб(паралелепіпед) | Шестикутна призма | Ромбододекаедр | Подовжений додекаедр[en] | Зрізаний октаедр |
|---|---|---|---|---|
| 3 довжини ребер | 3+1 довжини ребер | 4 довжини ребер | 4+1 довжин ребер | 6 довжин ребер |
Інші відомі приклади:
- Трикутний призматичний стільник[ru].
- Однорідний повернутий трикутний призматичний стільник
- Зрізаний триакістетраедральний стільник[en]. Комірки мозаїки Вороного атомів вуглецю в алмазі мають такий вигляд.
- Трапецеїдально-ромбічний додекаедральний стільник[en].
- Прості ізоедричні мозаїки.
Інші стільники з двома і більше багатогранниками Редагувати
Іноді два і більше різних багатогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує структура Вейра-Фелана[en], запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату .
Структура Вейра-Фелана (з двома типами комірок)
Неопуклі тривимірні стільники Редагувати
- Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають пакування[en] малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в кубі Йошімото[en].
- Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.
Гіперболічні стільники Редагувати
У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут багатогранника залежить від розміру багатогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і багатогранники.
Досліджено 4 види компактних правильних гіперболічних стільників[ru] і багато однорідних гіперболічних стільників[en].
Двоїстість стільників у тривимірному просторі Редагувати
Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:
- комірок на вершини;
- граней на ребра.
Для правильних стільників:
- Кубічний стільник самодвоїстий.
- Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів.
- Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк.
- Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда.
Самодвоїсті стільники Редагувати
Стільники можуть бути самодвоїстими[ru]. Всі n-вимірні гіперкубічні стільники[ru] з символами Шлефлі {4,3n-2,4} самодвоїсті.
Див. також Редагувати
- Список однорідних евклідових мозаїк[en]
- Правильні стільники[en]
Примітки Редагувати
- Grünbaum, 1994.
- Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- [1] Однорідні призми на основі трикутника, квадрата і шестикутника, що заповнюють простір
- [2] Однорідні ромбо-шестикутні додекаедри, що заповнюють простір
- [3] Однорідні зрізані октаедри, що заповнюють простір
- Voronoi Polyhedron
- Qian, Strahs, Schlick, 2001.
- Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005.
- . Архів оригіналу за 30 червня 2015. Процитовано 16 травня 2012. Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
- Pauling, 1960.
- Inchbald, 1997.
![[1]](http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.4.jpg){kind=link}
![[2]](http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.7.jpg){kind=link}
![[3]](http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.5.jpg){kind=link}
Література Редагувати
- H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
- Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
- K. Critchlow. Order in space. — New York : Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
- Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вип. 4(2).
- P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London : MIT press, 1978.
- Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вип. 15.
- O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вип. A61.
- Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
- G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вип. 81, July.
Посилання Редагувати
- Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
- The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
- Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski