www.wikidata.uk-ua.nina.az

Простір Лобачевського або гіперболічний простір це простір із постійною негативною кривиною Двовимірним простором Лобаче

Простір Лобачевського

Простір Лобачевського або гіперболічний простір, — це простір із постійною негативною кривиною. Двовимірним простором Лобачевського є площина Лобачевського.

Перспективна проєкція додекаедрального заповнення H3[en]. Чотири додекаедри дотикаються в кожному ребрі, а вісім дотикаються в кожній вершині, подібно кубам у кубічному заповненні E3

Від'ємна кривина відрізняє простір Лобачевського від евклідового простору з нульовою кривиною, описуваного евклідовою геометрією, і від сфери — простору з постійною додатною кривиною, описуваного геометрією Рімана.

n-вимірний простір Лобачевського зазвичай позначають або .

Визначення Редагувати

n-вимірним простором Лобачевського називають однозв'язний n-вимірний ріманів многовид із постійною від'ємною секційною кривиною.

Моделі гіперболічного простору Редагувати

Простір Лобачевського, який незалежно досліджували Микола Іванович Лобачевський і Янош Бояї, є геометричним простором, аналогічним евклідовому простору, але в ньому аксіома паралельності Евкліда не виконується. Замість цього аксіома паралельності замінюється такою альтернативною аксіомою (в просторі розмірності два):

  • Якщо дано якусь пряму L і точку P, що не лежить на прямій L, то існує щонайменше дві різні прямі, що проходять через P, які не перетинають L.

Звідси випливає теорема, що існує нескінченно багато таких прямих, які проходять через P. Аксіома не визначає однозначно площину Лобачевського з точністю до руху, оскільки потрібно задати постійну кривину K < 0. Однак аксіома визначає площину з точністю до гомотетії, тобто з точністю до перетворень, які без повороту змінюють відстані на деякий постійний множник. Якщо можна вибрати відповідний масштаб довжини, то можна припустити без втрати загальності, що K = −1.

Можна побудувати моделі просторів Лобачевського, які можна вкласти в плоскі (тобто евклідові) простори. Зокрема, з існування моделі простору Лобачевського в евклідовому випливає, що аксіома паралельності логічно незалежна від інших аксіом евклідової геометрії.

Існує кілька важливих моделей простору Лобачевського — модель Кляйна, гіперболоїдна модель, модель Пуанкаре в кулі і модель Пуанкаре у верхній півплощині. Всі ці моделі мають одну і ту ж геометрію в тому сенсі, що будь-які дві з них пов'язані перетворенням, яке зберігає всі геометричні властивості описуваного ними гіперболічного простору.

Гіперболоїдна модель Редагувати

Гіперболоїдна модель реалізує простір Лобачевського як гіперболоїд у . Гіперболоїд є геометричним місцем точок, координати яких задовольняють рівнянню

У цій моделі пряма (тобто, по суті, геодезична) — це крива, утворена перетином з площиною, що проходить через початок координат у .

Гіперболоїдна модель тісно пов'язана з геометрією простору Мінковського. Квадратична форма

яка визначає гіперболоїд, дозволяє задати відповідну білінійну форму

Простір , забезпечений білінійною формою B, є (n+1)-вимірним простором Мінковського .

Можна задати «відстань» на гіперболоїдній моделі, визначивши відстань між двома точками x і y на як

Ця функція є метрикою, оскільки для неї виконуються аксіоми метричного простору. Вона зберігається під дією ортохронної групи Лоренца O+(n,1) на . Отже, ортохронна група Лоренца діє на як група автоморфізмів, що зберігають відстань, тобто рухів.

Модель Кляйна Редагувати

Альтернативною моделлю геометрії Лобачевського є певна область у проєктивному просторі. Квадратична форма Мінковського Q визначає підмножину , задану як множина точок, для яких в однорідних координатах x. Область є моделлю Кляйна простору Лобачевського.

Прямими в цій моделі є відкриті відрізки об'ємного проєктивного простору, які лежать в . Відстань між двома точками x і y в визначається як

Ця відстань цілком визначена на проєктивному просторі, оскільки число не змінюється при зміні всіх координат на один і той самий множник (з точністю до якого й визначено однорідні координати).

Ця модель пов'язана з гіперболоїдною моделлю так. Кожна точка відповідає прямій через початок координат в за визначенням проєктивного простору. Ця пряма перетинає гіперболоїд в єдиній точці. І навпаки: через будь-яку точку на проходить єдина пряма, що проходить через початок координат (що є точкою в проективному просторі). Ця відповідність визначає бієкцію між і . Це ізометрія, оскільки обчислення d(x,y) уздовж відтворює визначення відстані в гіперболоїдній моделі.

Модель Пуанкаре в кулі Редагувати

Є дві тісно пов'язані моделі геометрії Лобачевського в евклідовій: модель Пуанкаре в кулі і модель Пуанкаре у верхній півплощині.

Модель кулі виникає зі стереографічної проєкції гіперболоїда в у гіперплощину . Детальніше: нехай S буде точкою в з координатами (-1,0,0,…,0) — південним полюсом для стереографічної проєкції. Для кожної точки P на гіперболоїді нехай P∗ буде єдиною точкою перетинів прямої SP із площиною .

Це встановлює бієктивне відображення в одиничну кулю

в площині {x0 = 0}.

Геодезичні в цій моделі є півколами, перпендикулярними до межі сфери . Ізометрії кулі утворюються сферичними інверсіями відносно гіперсфер, перпендикулярних межі.

Модель Пуанкаре у верхній півплощині Редагувати

Модель верхньої півплощини виходить з моделі Пуанкаре в кулі при застосуванні інверсія з центром на межі моделі Пуанкаре (див. вище) і радіусом, рівним подвоєному радіусу моделі.

Це перетворення відображає кола в кола і прямі (в останньому випадку — якщо коло проходить через центр інверсії) — і, більш того, це конформне відображення. Отже, в моделі верхньої півплощини геодезичними є прямі і (пів)кола, перпендикулярні до межі гіперплощини.

Гіперболічні многовиди Редагувати

Будь-який повний, зв'язний, однозв'язний многовид сталої від'ємної кривини −1 ізометричний простору Лобачевського . Як наслідок, універсальним накриттям будь-якого замкнутого многовиду M сталої від'ємної кривини −1, тобто гіперболічного многовиду[en], є . Тоді будь-який такий многовид M можна записати як , де є дискретною групою ізометрій без крутіння на . Тобто є ґраткою в SO+(n,1).

Ріманові поверхні Редагувати

Двовимірні гіперболічні поверхні можна також розуміти як ріманові поверхні. Згідно з теоремою про уніформізацію будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, параболічною або гіперболічною. Більшість гіперболічних поверхонь мають нетривіальну фундаментальну групу . Групи, які виникають таким чином, називаються фуксовими. Фактор-простір верхньої півплощини у фундаментальній групі називають фуксовою моделлю гіперболічної поверхні. Верхня півплощина Пуанкаре також гіперболічна, але однозв'язна і не компактна. Тому вона є універсальним накриттям інших гіперболічних поверхонь.

Аналогічною побудовою Для тривимірних гіперболічних поверхонь є модель Кляйна.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Цей вираз нагадує хордальну метрику на сфері, в якій вираз аналогічний, але замість гіперболічних функцій використовуються тригонометричні.

Література Редагувати

  • Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Notes on hyperbolic geometry // Strasbourg Master class on Geometry. — Zürich : European Mathematical Society (EMS), 2012. — Т. 18. — С. 1–182. — (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics) — ISBN 978-3-03719-105-7. — DOI:10.4171/105..
  • John G. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds. — New York, Berlin : Springer-Verlag, 1994.
  • William F. Reynolds. Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Iss. 100 (16 September). — P. 442–455.
  • Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. — 1967. — С. 67.
  • Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen [ 24 жовтня 2021 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Prostir Lobachevskogo abo giperbolichnij prostir ce prostir iz postijnoyu negativnoyu krivinoyu Dvovimirnim prostorom Lobachevskogo ye ploshina Lobachevskogo Perspektivna proyekciya dodekaedralnogo zapovnennya H3 en Chotiri dodekaedri dotikayutsya v kozhnomu rebri a visim dotikayutsya v kozhnij vershini podibno kubam u kubichnomu zapovnenni E3Vid yemna krivina vidriznyaye prostir Lobachevskogo vid evklidovogo prostoru z nulovoyu krivinoyu opisuvanogo evklidovoyu geometriyeyu i vid sferi prostoru z postijnoyu dodatnoyu krivinoyu opisuvanogo geometriyeyu Rimana n vimirnij prostir Lobachevskogo zazvichaj poznachayut H n displaystyle mathbb H n abo L n displaystyle text L n Zmist 1 Viznachennya 2 Modeli giperbolichnogo prostoru 2 1 Giperboloyidna model 2 2 Model Klyajna 2 3 Model Puankare v kuli 2 4 Model Puankare u verhnij pivploshini 3 Giperbolichni mnogovidi 3 1 Rimanovi poverhni 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaViznachennya Redaguvatin vimirnim prostorom Lobachevskogo nazivayut odnozv yaznij n vimirnij rimaniv mnogovid iz postijnoyu vid yemnoyu sekcijnoyu krivinoyu Modeli giperbolichnogo prostoru RedaguvatiProstir Lobachevskogo yakij nezalezhno doslidzhuvali Mikola Ivanovich Lobachevskij i Yanosh Boyayi ye geometrichnim prostorom analogichnim evklidovomu prostoru ale v nomu aksioma paralelnosti Evklida ne vikonuyetsya Zamist cogo aksioma paralelnosti zaminyuyetsya takoyu alternativnoyu aksiomoyu v prostori rozmirnosti dva Yaksho dano yakus pryamu L i tochku P sho ne lezhit na pryamij L to isnuye shonajmenshe dvi rizni pryami sho prohodyat cherez P yaki ne peretinayut L Zvidsi viplivaye teorema sho isnuye neskinchenno bagato takih pryamih yaki prohodyat cherez P Aksioma ne viznachaye odnoznachno ploshinu Lobachevskogo z tochnistyu do ruhu oskilki potribno zadati postijnu krivinu K lt 0 Odnak aksioma viznachaye ploshinu z tochnistyu do gomotetiyi tobto z tochnistyu do peretvoren yaki bez povorotu zminyuyut vidstani na deyakij postijnij mnozhnik Yaksho mozhna vibrati vidpovidnij masshtab dovzhini to mozhna pripustiti bez vtrati zagalnosti sho K 1 Mozhna pobuduvati modeli prostoriv Lobachevskogo yaki mozhna vklasti v ploski tobto evklidovi prostori Zokrema z isnuvannya modeli prostoru Lobachevskogo v evklidovomu viplivaye sho aksioma paralelnosti logichno nezalezhna vid inshih aksiom evklidovoyi geometriyi Isnuye kilka vazhlivih modelej prostoru Lobachevskogo model Klyajna giperboloyidna model model Puankare v kuli i model Puankare u verhnij pivploshini Vsi ci modeli mayut odnu i tu zh geometriyu v tomu sensi sho bud yaki dvi z nih pov yazani peretvorennyam yake zberigaye vsi geometrichni vlastivosti opisuvanogo nimi giperbolichnogo prostoru Giperboloyidna model Redaguvati Dokladnishe Giperboloyidna modelGiperboloyidna model realizuye prostir Lobachevskogo yak giperboloyid u R n 1 x 0 x n x i R i 0 1 n displaystyle mathbb R n 1 x 0 dots x n x i in mathbb R i 0 1 n nbsp Giperboloyid ye geometrichnim miscem H n displaystyle mathbb H n nbsp tochok koordinati yakih zadovolnyayut rivnyannyu x 0 2 x 1 2 x n 2 1 x 0 gt 0 displaystyle x 0 2 x 1 2 cdots x n 2 1 quad x 0 gt 0 nbsp U cij modeli pryama tobto po suti geodezichna ce kriva utvorena peretinom H n displaystyle mathbb H n nbsp z ploshinoyu sho prohodit cherez pochatok koordinat u R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp Giperboloyidna model tisno pov yazana z geometriyeyu prostoru Minkovskogo Kvadratichna forma Q x x 0 2 x 1 2 x 2 2 x n 2 displaystyle Q x x 0 2 x 1 2 x 2 2 cdots x n 2 nbsp yaka viznachaye giperboloyid dozvolyaye zadati vidpovidnu bilinijnu formu B x y Q x y Q x Q y 2 x 0 y 0 x 1 y 1 x n y n displaystyle B x y Q x y Q x Q y 2 x 0 y 0 x 1 y 1 cdots x n y n nbsp Prostir R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp zabezpechenij bilinijnoyu formoyu B ye n 1 vimirnim prostorom Minkovskogo R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp Mozhna zadati vidstan na giperboloyidnij modeli viznachivshi 1 vidstan mizh dvoma tochkami x i y na H n displaystyle mathbb H n nbsp yak d x y arch B x y displaystyle d x y operatorname arch B x y nbsp Cya funkciya ye metrikoyu oskilki dlya neyi vikonuyutsya aksiomi metrichnogo prostoru Vona zberigayetsya pid diyeyu ortohronnoyi grupi Lorenca O n 1 na R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp Otzhe ortohronna grupa Lorenca diye na H n displaystyle mathbb H n nbsp yak grupa avtomorfizmiv sho zberigayut vidstan tobto ruhiv Model Klyajna Redaguvati Alternativnoyu modellyu geometriyi Lobachevskogo ye pevna oblast u proyektivnomu prostori Kvadratichna forma Minkovskogo Q viznachaye pidmnozhinu U n R P n displaystyle U n subset mathbb R mathbf P n nbsp zadanu yak mnozhina tochok dlya yakih Q x gt 0 displaystyle Q x gt 0 nbsp v odnoridnih koordinatah x Oblast U n displaystyle U n nbsp ye modellyu Klyajna prostoru Lobachevskogo Pryamimi v cij modeli ye vidkriti vidrizki ob yemnogo proyektivnogo prostoru yaki lezhat v U n displaystyle U n nbsp Vidstan mizh dvoma tochkami x i y v U n displaystyle U n nbsp viznachayetsya yak d x y arch B x y Q x Q y displaystyle d x y operatorname arch left frac B x y sqrt Q x Q y right nbsp Cya vidstan cilkom viznachena na proyektivnomu prostori oskilki chislo B x y Q x Q y displaystyle tfrac B x y sqrt Q x Q y nbsp ne zminyuyetsya pri zmini vsih koordinat na odin i toj samij mnozhnik z tochnistyu do yakogo j viznacheno odnoridni koordinati Cya model pov yazana z giperboloyidnoyu modellyu tak Kozhna tochka x U n displaystyle x in U n nbsp vidpovidaye pryamij L x displaystyle L x nbsp cherez pochatok koordinat v R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp za viznachennyam proyektivnogo prostoru Cya pryama peretinaye giperboloyid H n displaystyle mathbb H n nbsp v yedinij tochci I navpaki cherez bud yaku tochku na H n displaystyle mathbb H n nbsp prohodit yedina pryama sho prohodit cherez pochatok koordinat sho ye tochkoyu v proektivnomu prostori Cya vidpovidnist viznachaye biyekciyu mizh U n displaystyle U n nbsp i H n displaystyle mathbb H n nbsp Ce izometriya oskilki obchislennya d x y uzdovzh Q x Q y 1 displaystyle Q x Q y 1 nbsp vidtvoryuye viznachennya vidstani v giperboloyidnij modeli Model Puankare v kuli Redaguvati Ye dvi tisno pov yazani modeli geometriyi Lobachevskogo v evklidovij model Puankare v kuli i model Puankare u verhnij pivploshini Model kuli vinikaye zi stereografichnoyi proyekciyi giperboloyida v R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp u giperploshinu x 0 0 displaystyle x 0 0 nbsp Detalnishe nehaj S bude tochkoyu v R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp z koordinatami 1 0 0 0 pivdennim polyusom dlya stereografichnoyi proyekciyi Dlya kozhnoyi tochki P na giperboloyidi H n displaystyle mathbb H n nbsp nehaj P bude yedinoyu tochkoyu peretiniv pryamoyi SP iz ploshinoyu x 0 0 displaystyle x 0 0 nbsp Ce vstanovlyuye biyektivne vidobrazhennya H n displaystyle mathbb H n nbsp v odinichnu kulyu B n x 1 x n x 1 2 x n 2 lt 1 displaystyle B n x 1 ldots x n mid x 1 2 cdots x n 2 lt 1 nbsp v ploshini x0 0 Geodezichni v cij modeli ye pivkolami perpendikulyarnimi do mezhi sferi B n displaystyle B n nbsp Izometriyi kuli utvoryuyutsya sferichnimi inversiyami vidnosno gipersfer perpendikulyarnih mezhi Model Puankare u verhnij pivploshini Redaguvati Dokladnishe Model Puankare u verhnij pivploshiniModel verhnoyi pivploshini vihodit z modeli Puankare v kuli pri zastosuvanni inversiya z centrom na mezhi modeli Puankare B n displaystyle B n nbsp div vishe i radiusom rivnim podvoyenomu radiusu modeli Ce peretvorennya vidobrazhaye kola v kola i pryami v ostannomu vipadku yaksho kolo prohodit cherez centr inversiyi i bilsh togo ce konformne vidobrazhennya Otzhe v modeli verhnoyi pivploshini geodezichnimi ye pryami i piv kola perpendikulyarni do mezhi giperploshini Giperbolichni mnogovidi RedaguvatiBud yakij povnij zv yaznij odnozv yaznij mnogovid staloyi vid yemnoyi krivini 1 izometrichnij prostoru Lobachevskogo H n displaystyle mathbb H n nbsp Yak naslidok universalnim nakrittyam bud yakogo zamknutogo mnogovidu M staloyi vid yemnoyi krivini 1 tobto giperbolichnogo mnogovidu en ye H n displaystyle mathbb H n nbsp Todi bud yakij takij mnogovid M mozhna zapisati yak H n G displaystyle mathbb H n Gamma nbsp de G displaystyle Gamma nbsp ye diskretnoyu grupoyu izometrij bez krutinnya na H n displaystyle mathbb H n nbsp Tobto G displaystyle Gamma nbsp ye gratkoyu v SO n 1 Rimanovi poverhni Redaguvati Dokladnishe Rimanova poverhnyaDvovimirni giperbolichni poverhni mozhna takozh rozumiti yak rimanovi poverhni Zgidno z teoremoyu pro uniformizaciyu bud yaka rimanova poverhnya ye eliptichnoyu parabolichnoyu abo giperbolichnoyu Bilshist giperbolichnih poverhon mayut netrivialnu fundamentalnu grupu p 1 G displaystyle pi 1 Gamma nbsp Grupi yaki vinikayut takim chinom nazivayutsya fuksovimi Faktor prostir H 2 G displaystyle mathbb H 2 Gamma nbsp verhnoyi pivploshini u fundamentalnij grupi nazivayut fuksovoyu modellyu giperbolichnoyi poverhni Verhnya pivploshina Puankare takozh giperbolichna ale odnozv yazna i ne kompaktna Tomu vona ye universalnim nakrittyam inshih giperbolichnih poverhon Analogichnoyu pobudovoyu Dlya trivimirnih giperbolichnih poverhon ye model Klyajna Div takozh RedaguvatiZhorstkist Mostova Giperbolichnij mnogovid en Giperbolichnij 3 mnogovid en Formula Murakami Yano en Psevdosfera Poverhnya DiniPrimitki Redaguvati Cej viraz nagaduye hordalnu metriku na sferi v yakij viraz analogichnij ale zamist giperbolichnih funkcij vikoristovuyutsya trigonometrichni Literatura RedaguvatiNorbert A Campo Athanase Papadopoulos Notes on hyperbolic geometry Strasbourg Master class on Geometry Zurich European Mathematical Society EMS 2012 T 18 S 1 182 IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics ISBN 978 3 03719 105 7 DOI 10 4171 105 John G Ratcliffe Foundations of hyperbolic manifolds New York Berlin Springer Verlag 1994 William F Reynolds Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid The American Mathematical Monthly 1993 Iss 100 16 September P 442 455 Joseph A Wolf Spaces of constant curvature 1967 S 67 Hyperbolic Voronoi diagrams made easy Frank Nielsen Arhivovano 24 zhovtnya 2021 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Prostir Lobachevskogo amp oldid 36391680