www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіперболічний трикутник У гіперболічній геометрії гіперболічний трикутник є трикутником на гіперболічній площині Він скл

Гіперболічний трикутник

У гіперболічній геометрії гіперболічний трикутник є трикутником на гіперболічній площині. Він складається з трьох відрізків, які називаються сторонами або ребрами, і трьох точок, званих кутами або вершинами.

Гіперболічний трикутник на сідлоподібній поверхні

Як і в евклідовому випадку, три точки гіперболічного простору довільної розмірності завжди лежать в одній площині. Отже, планарні гіперболічні трикутники також описують трикутники, можливі в будь-яких гіперболічних просторах високої розмірності.

Трикутна мозаїка 7-го порядку[en] має рівносторонні трикутники зі внутрішнім кутом 2π/7 радіан.

Визначення Редагувати

Гіперболічний трикутник складається з трьох неколінеарних точок і трьох відрізків між ними.

Властивості Редагувати

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у евклідовій геометрії:

  • Кожен гіперболічний трикутник має вписане коло, але не будь-який гіперболічний трикутник має описане коло (див. нижче). Його вершини можуть лежати на орициклі або гіперциклі.

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

  • Два трикутника з однаковою сумою кутів рівні за площею.
  • Існує верхня межа площі трикутників.
  • Існує верхня межа радіуса вписаного кола.
  • Два трикутники конгруентні тоді й лише тоді, коли вони переходять один в інший внаслідок скінченного числа відбиттів відносно прямої.
  • Два трикутники з рівними відповідними кутами конгруентні (тобто всі подібні трикутники конгруентні).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, які протилежні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

  • Сума кутів трикутника менша від 180°.
  • Площа трикутника пропорційна дефіциту його суми кутів (до 180°).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, яких немає в інших геометріях:

  • Деякі гіперболічні трикутники не мають описаного кола, що буває у разі, коли принаймні одна з вершин є ідеальною точкою або коли всі вершини лежать на орициклі або на односторонньому гіперциклі.
  • Гіперболічні трикутники тонкі, існує найбільша відстань δ від точки на стороні до інших двох сторін. Цей принцип призводить до появи δ-гіперболічних просторів.

Трикутники з ідеальними вершинами Редагувати

Три ідеальних трикутники в дисковій моделі Пуанкаре

Визначення трикутника можна узагальнити, якщо дозволити вершинам лежати на ідеальній межі гіперплощини, при цьому сторони повинні лежати всередині площини. Якщо пара сторін є асимптотично паралельними (тобто відстань між ними прямує до нуля при прямуванні до ідеальної точки, але вони не перетинаються), то вони закінчуються в ідеальній вершині, представленій омега-точкою.

Кажуть, що така пара сторін утворює нульовий кут.

Трикутник з нульовим кутом неможливий в евклідовій геометрії для прямолінійних сторін, що лежать на різних прямих. Однак такі нульові кути можливі для дотичних кіл[en].

Трикутник з однією ідеальною вершиною називається омега-трикутником.

Особливі види трикутників з ідеальними вершинами:

Трикутник паралельності Редагувати

Трикутник, у якому одна вершина є ідеальною точкою, один кут прямий — третій кут є кутом паралельності для сторони між прямим кутом і третім кутом.

Трикутник Швайкерта Редагувати

Трикутник, у якому дві вершини є ідеальними точками, а третій кут є прямим. Це один з перших гіперболічних трикутників (1818), який описав Фердинанд Карл Швайкерт.

Ідеальний трикутник Редагувати

Трикутник, у якому всі вершини є ідеальними точками. Такий трикутник є найбільшим з можливих трикутників у геометрії Лобачевського, оскільки має нульову суму кутів.

Стандартизована кривина Гауса Редагувати

Зв'язки між кутами і сторонами аналогічні зв'язкам між такими ж об'єктами в сферичній тригонометрії. Масштаб довжини для сферичної геометрії та геометрії Лобачевського можна, наприклад, визначити як довжину сторони рівностороннього трикутника з фіксованими кутами.

Масштаб довжини найзручніший, якщо довжини вимірюються в термінах абсолютної довжини (спеціальної одиниці довжини, аналогічної відношенню між відстанями в сферичній геометрії). Вибір масштабу довжини робить формули простішими.

У термінах моделі Пуанкаре у верхній півплощині абсолютна довжина відповідає інфінітезимальній метриці , а в дисковій моделі Пуанкаре відповідає

У термінах (сталої негативної) кривини Гауса K гіперболічної площини одиниця абсолютної довжини відповідає довжині

У гіперболічномму трикутнику сума кутів A, B, C (відповідних протилежним сторонам з тими ж буквами) строго менша від розгорнутого кута. Різниця між мірою розгорнутого кута і сумою мір кутів трикутника називається дефектом трикутника. Площа гіперболічного трикутника дорівнює його дефекту, помноженому на квадрат R:

Ця теорема, вперше доведена Йоганном Генріхом Ламбертом, пов'язана з теоремою Жирара у сферичній геометрії.

Тригонометрія Редагувати

У всіх формулах нижче сторони a, b і c мають бути виміряні за абсолютною довжиною, одиниці, такій, що кривина Гауса K поверхні дорівнює −1. Іншими словами, величину R слід прийняти рівною 1.

Тригонометричні формули для гіперболічних трикутників залежать від гіперболічних функцій sh, ch і th.

Тригонометрія прямокутних трикутників Редагувати

Якщо C позначає прямий кут, то:

  • Синус кута A дорівнює гіперболічному синусу протилежної до кута сторони A, поділеному на гіперболічний синус гіпотенузи c.
  • Косинус кута A дорівнює гіперболічному тангенсу прилеглого катета b, поділеному на гіперболічний тангенс гіпотенузи c.
  • Тангенс кута A дорівнює гіперболічному тангенсу протилежного катета a, поділеного на гіперболічний синус прилеглого катета b.
  • Гіперболічний косинус прилеглого катета b кута A дорівнює косинусу кута B, поділеному на синус кута A.
  • Гіперболічний косинус гіпотенузи c дорівнює добутку гіперболічних косинусів катетів a і b.
  • Гіперболічний косинус гіпотенузи H дорівнює добутку косинусів кутів, поділеному на твір їх синусів.

Відношення між кутами Редагувати

Виконуються такі співвідношення:

Площа Редагувати

Площа прямокутного трикутника дорівнює:

а також

Кут паралельності Редагувати

Примірник омега-трикутника з прямим кутом дає конфігурацію для перевірки кута паралельності в трикутнику.

У випадку, коли кут B = 0, a = c = і , отримуємо (b = прилеглий катет).

Рівносторонній трикутник Редагувати

Тригонометричні формули для прямокутних трикутників дають також відношення між сторонами s і кутами A рівностороннього трикутника (трикутника, у якого всі сторони мають однакову довжину і всі кути рівні):

Загальна тригонометрія Редагувати

Незалежно від того, є C прямим кутом чи ні, виконуються такі співвідношення:

Гіперболічний закон косинусів[en]:

Двоїста закону теорема

Існує також закон синусів:

і чотиричленна формула:

Див. також Редагувати

  • Трусики (математика)[en]
  • Група трикутника[en]

Для гіперболічної тригонометрії:

Примітки Редагувати

  1. Stothers, 2000.
  2. Атанасян Л. С. Окружность // Геометрия Лобачевского / под ред. М. С. Стригуновой. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — С. 125—126. — ISBN 978-5-9963-2364-7.
  3. Атанасян Л. С. Замечательные точки и прямые треугольника // Геометрия Лобачевского / под ред. М. С. Стригуновой. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — С. 166—167. — ISBN 978-5-9963-2364-7.
  4. Needham, 1998, с. 270.
  5. Ratcliffe, 2006, с. 99.
  6. Martin, 1998, с. 433.
  7. Smogorzhevski, 1982, с. 63.
  8. Mathematics stackexchange, 2015.

Література Редагувати

  • Stothers Wilson. Hyperbolic geometry. — University of Glasgow, 2000. з джерела 6 вересня 2012, інтерактивний сайт
  • Tristan Needham. Visual Complex Analysis. — Oxford University Press, 1998. — С. 270. — ISBN 9780198534464. з джерела 24 серпня 2021
  • John Ratcliffe. Foundations of Hyperbolic Manifolds. — Springer, 2006. — Т. 149. — С. 99. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 9780387331973. з джерела 29 квітня 2021 Цитата: «Те, що площа гіперболічного трикутника пропорційна дефекту кутів, вперше з'явилось у монографії Ламберта Theorie der Parallellinien, опублікованій у 1786»
  • George E. Martin. The foundations of geometry and the non-Euclidean plane. — Corrected 4. print. — New York, NY : Springer, 1998. — С. 433. — ISBN 0-387-90694-0.
  • Smogorzhevski A.S. Lobachevskian geometry. — Moscow : Mir Publishers, 1982. — С. 63.
  • Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths // Mathematics stackexchange. — 2015. — 6 жовтня. Процитовано 11 жовтня 2015.

Література для подальшого читання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U giperbolichnij geometriyi giperbolichnij trikutnik ye trikutnikom na giperbolichnij ploshini Vin skladayetsya z troh vidrizkiv yaki nazivayutsya storonami abo rebrami i troh tochok zvanih kutami abo vershinami Giperbolichnij trikutnik na sidlopodibnij poverhniYak i v evklidovomu vipadku tri tochki giperbolichnogo prostoru dovilnoyi rozmirnosti zavzhdi lezhat v odnij ploshini Otzhe planarni giperbolichni trikutniki takozh opisuyut trikutniki mozhlivi v bud yakih giperbolichnih prostorah visokoyi rozmirnosti Trikutna mozayika 7 go poryadku en maye rivnostoronni trikutniki zi vnutrishnim kutom 2p 7 radian Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Trikutniki z idealnimi vershinami 3 1 Trikutnik paralelnosti 3 2 Trikutnik Shvajkerta 3 3 Idealnij trikutnik 4 Standartizovana krivina Gausa 5 Trigonometriya 5 1 Trigonometriya pryamokutnih trikutnikiv 5 1 1 Vidnoshennya mizh kutami 5 1 2 Plosha 5 1 3 Kut paralelnosti 5 1 4 Rivnostoronnij trikutnik 5 2 Zagalna trigonometriya 6 Div takozh 7 Primitki 8 Literatura 9 Literatura dlya podalshogo chitannyaViznachennya RedaguvatiGiperbolichnij trikutnik skladayetsya z troh nekolinearnih tochok i troh vidrizkiv mizh nimi 1 Vlastivosti RedaguvatiGiperbolichni trikutniki mayut deyaki vlastivosti analogichni vlastivostyam trikutnikiv u evklidovij geometriyi Kozhen giperbolichnij trikutnik maye vpisane kolo ale ne bud yakij giperbolichnij trikutnik maye opisane kolo div nizhche 2 3 Jogo vershini mozhut lezhati na oricikli abo gipercikli Giperbolichni trikutniki mayut deyaki vlastivosti analogichni vlastivostyam trikutnikiv u sferichnij abo eliptichnij geometriyi Dva trikutnika z odnakovoyu sumoyu kutiv rivni za plosheyu Isnuye verhnya mezha ploshi trikutnikiv Isnuye verhnya mezha radiusa vpisanogo kola Dva trikutniki kongruentni todi j lishe todi koli voni perehodyat odin v inshij vnaslidok skinchennogo chisla vidbittiv vidnosno pryamoyi Dva trikutniki z rivnimi vidpovidnimi kutami kongruentni tobto vsi podibni trikutniki kongruentni Giperbolichni trikutniki mayut deyaki vlastivosti yaki protilezhni vlastivostyam trikutnikiv u sferichnij abo eliptichnij geometriyi Suma kutiv trikutnika mensha vid 180 Plosha trikutnika proporcijna deficitu jogo sumi kutiv do 180 Giperbolichni trikutniki mayut deyaki vlastivosti yakih nemaye v inshih geometriyah Deyaki giperbolichni trikutniki ne mayut opisanogo kola sho buvaye u razi koli prinajmni odna z vershin ye idealnoyu tochkoyu abo koli vsi vershini lezhat na oricikli abo na odnostoronnomu gipercikli Giperbolichni trikutniki tonki isnuye najbilsha vidstan d vid tochki na storoni do inshih dvoh storin Cej princip prizvodit do poyavi d giperbolichnih prostoriv Trikutniki z idealnimi vershinami Redaguvati nbsp Tri idealnih trikutniki v diskovij modeli PuankareViznachennya trikutnika mozhna uzagalniti yaksho dozvoliti vershinam lezhati na idealnij mezhi giperploshini pri comu storoni povinni lezhati vseredini ploshini Yaksho para storin ye asimptotichno paralelnimi tobto vidstan mizh nimi pryamuye do nulya pri pryamuvanni do idealnoyi tochki ale voni ne peretinayutsya to voni zakinchuyutsya v idealnij vershini predstavlenij omega tochkoyu Kazhut sho taka para storin utvoryuye nulovij kut Trikutnik z nulovim kutom nemozhlivij v evklidovij geometriyi dlya pryamolinijnih storin sho lezhat na riznih pryamih Odnak taki nulovi kuti mozhlivi dlya dotichnih kil en Trikutnik z odniyeyu idealnoyu vershinoyu nazivayetsya omega trikutnikom Osoblivi vidi trikutnikiv z idealnimi vershinami Trikutnik paralelnosti Redaguvati Trikutnik u yakomu odna vershina ye idealnoyu tochkoyu odin kut pryamij tretij kut ye kutom paralelnosti dlya storoni mizh pryamim kutom i tretim kutom Trikutnik Shvajkerta Redaguvati Trikutnik u yakomu dvi vershini ye idealnimi tochkami a tretij kut ye pryamim Ce odin z pershih giperbolichnih trikutnikiv 1818 yakij opisav Ferdinand Karl Shvajkert Idealnij trikutnik Redaguvati Dokladnishe Idealnij trikutnikTrikutnik u yakomu vsi vershini ye idealnimi tochkami Takij trikutnik ye najbilshim z mozhlivih trikutnikiv u geometriyi Lobachevskogo oskilki maye nulovu sumu kutiv Standartizovana krivina Gausa RedaguvatiZv yazki mizh kutami i storonami analogichni zv yazkam mizh takimi zh ob yektami v sferichnij trigonometriyi Masshtab dovzhini dlya sferichnoyi geometriyi ta geometriyi Lobachevskogo mozhna napriklad viznachiti yak dovzhinu storoni rivnostoronnogo trikutnika z fiksovanimi kutami Masshtab dovzhini najzruchnishij yaksho dovzhini vimiryuyutsya v terminah absolyutnoyi dovzhini specialnoyi odinici dovzhini analogichnoyi vidnoshennyu mizh vidstanyami v sferichnij geometriyi Vibir masshtabu dovzhini robit formuli prostishimi 4 U terminah modeli Puankare u verhnij pivploshini absolyutna dovzhina vidpovidaye infinitezimalnij metrici d s d z Im z displaystyle ds frac dz operatorname Im z nbsp a v diskovij modeli Puankare vidpovidaye d s 2 d z 1 z 2 displaystyle ds frac 2 dz 1 z 2 nbsp U terminah staloyi negativnoyi krivini Gausa K giperbolichnoyi ploshini odinicya absolyutnoyi dovzhini vidpovidaye dovzhini R 1 K displaystyle R frac 1 sqrt K nbsp dd U giperbolichnommu trikutniku suma kutiv A B C vidpovidnih protilezhnim storonam z timi zh bukvami strogo mensha vid rozgornutogo kuta Riznicya mizh miroyu rozgornutogo kuta i sumoyu mir kutiv trikutnika nazivayetsya defektom trikutnika Plosha giperbolichnogo trikutnika dorivnyuye jogo defektu pomnozhenomu na kvadrat R p A B C R 2 displaystyle pi A B C R 2 nbsp dd Cya teorema vpershe dovedena Jogannom Genrihom Lambertom 5 pov yazana z teoremoyu Zhirara u sferichnij geometriyi Trigonometriya RedaguvatiU vsih formulah nizhche storoni a b i c mayut buti vimiryani za absolyutnoyu dovzhinoyu odinici takij sho krivina Gausa K poverhni dorivnyuye 1 Inshimi slovami velichinu R slid prijnyati rivnoyu 1 Trigonometrichni formuli dlya giperbolichnih trikutnikiv zalezhat vid giperbolichnih funkcij sh ch i th Trigonometriya pryamokutnih trikutnikiv Redaguvati Yaksho C poznachaye pryamij kut to Sinus kuta A dorivnyuye giperbolichnomu sinusu protilezhnoyi do kuta storoni A podilenomu na giperbolichnij sinus gipotenuzi c sin A s h a s h c displaystyle sin A frac mathrm sh a mathrm sh c nbsp dd Kosinus kuta A dorivnyuye giperbolichnomu tangensu prileglogo kateta b podilenomu na giperbolichnij tangens gipotenuzi c cos A t h b t h c displaystyle cos A frac mathrm th b mathrm th c nbsp dd Tangens kuta A dorivnyuye giperbolichnomu tangensu protilezhnogo kateta a podilenogo na giperbolichnij sinus prileglogo kateta b t g A t h a s h b displaystyle mathrm tg A frac mathrm th a mathrm sh b nbsp dd Giperbolichnij kosinus prileglogo kateta b kuta A dorivnyuye kosinusu kuta B podilenomu na sinus kuta A ch b cos B sin A displaystyle textrm ch b frac cos B sin A nbsp dd Giperbolichnij kosinus gipotenuzi c dorivnyuye dobutku giperbolichnih kosinusiv katetiv a i b ch c ch a ch b displaystyle textrm ch c textrm ch a textrm ch b nbsp dd Giperbolichnij kosinus gipotenuzi H dorivnyuye dobutku kosinusiv kutiv podilenomu na tvir yih sinusiv 6 ch H cos A cos B sin A sin B c t g A c t g B displaystyle textrm ch H frac cos A cos B sin A sin B mathrm ctg A mathrm ctg B nbsp dd Vidnoshennya mizh kutami Redaguvati Vikonuyutsya taki spivvidnoshennya 7 cos A c h a sin B displaystyle cos A mathrm ch a sin B nbsp sin A cos B c h b displaystyle sin A frac cos B mathrm ch b nbsp t g A cot B c h c displaystyle mathrm tg A frac cot B mathrm ch c nbsp cos B c h b sin A displaystyle cos B mathrm ch b sin A nbsp c h c c t g A c t g B displaystyle mathrm ch c mathrm ctg A mathrm ctg B nbsp Plosha Redaguvati Plosha pryamokutnogo trikutnika dorivnyuye Plosha p 2 A B displaystyle frac pi 2 angle A angle B nbsp dd a takozh Area 2 arctan t h a 2 t h b 2 displaystyle textrm Area 2 arctan mathrm th frac a 2 mathrm th frac b 2 nbsp 8 dd Kut paralelnosti Redaguvati Primirnik omega trikutnika z pryamim kutom daye konfiguraciyu dlya perevirki kuta paralelnosti v trikutniku U vipadku koli kut B 0 a c displaystyle infty nbsp i th 1 displaystyle textrm th infty 1 nbsp otrimuyemo cos A th b displaystyle cos A textrm th b nbsp b prileglij katet Rivnostoronnij trikutnik Redaguvati Trigonometrichni formuli dlya pryamokutnih trikutnikiv dayut takozh vidnoshennya mizh storonami s i kutami A rivnostoronnogo trikutnika trikutnika u yakogo vsi storoni mayut odnakovu dovzhinu i vsi kuti rivni cos A th 1 2 s th s displaystyle cos A frac textrm th frac 1 2 s textrm th s nbsp c h 1 2 s cos 1 2 A sin A 1 2 sin 1 2 A displaystyle mathrm ch frac 1 2 s frac cos frac 1 2 A sin A frac 1 2 sin frac 1 2 A nbsp Zagalna trigonometriya Redaguvati Nezalezhno vid togo ye C pryamim kutom chi ni vikonuyutsya taki spivvidnoshennya Giperbolichnij zakon kosinusiv en c h c c h a c h b s h a s h b cos C displaystyle mathrm ch c mathrm ch a mathrm ch b mathrm sh a mathrm sh b cos C nbsp dd Dvoyista zakonu teorema cos C cos A cos B sin A sin B c h c displaystyle cos C cos A cos B sin A sin B mathrm ch c nbsp dd Isnuye takozh zakon sinusiv sin A s h a sin B s h b sin C s h c displaystyle frac sin A mathrm sh a frac sin B mathrm sh b frac sin C mathrm sh c nbsp i chotirichlenna formula cos C c h a s h a c h b sin C c t g B displaystyle cos C mathrm ch a mathrm sh a mathrm ch b sin C mathrm ctg B nbsp dd Div takozh RedaguvatiTrusiki matematika en Grupa trikutnika en Dlya giperbolichnoyi trigonometriyi Chotirikutnik Lamberta Chotirikutnik Sakkeri en Primitki Redaguvati Stothers 2000 Atanasyan L S Okruzhnost Geometriya Lobachevskogo pod red M S Strigunovoj M BINOM Laboratoriya znanij 2014 S 125 126 ISBN 978 5 9963 2364 7 Atanasyan L S Zamechatelnye tochki i pryamye treugolnika Geometriya Lobachevskogo pod red M S Strigunovoj M BINOM Laboratoriya znanij 2014 S 166 167 ISBN 978 5 9963 2364 7 Needham 1998 s 270 Ratcliffe 2006 s 99 Martin 1998 s 433 Smogorzhevski 1982 s 63 Mathematics stackexchange 2015 Literatura RedaguvatiStothers Wilson Hyperbolic geometry University of Glasgow 2000 Arhivovano z dzherela 6 veresnya 2012 interaktivnij sajt Tristan Needham Visual Complex Analysis Oxford University Press 1998 S 270 ISBN 9780198534464 Arhivovano z dzherela 24 serpnya 2021 John Ratcliffe Foundations of Hyperbolic Manifolds Springer 2006 T 149 S 99 Graduate Texts in Mathematics ISBN 9780387331973 Arhivovano z dzherela 29 kvitnya 2021 Citata Te sho plosha giperbolichnogo trikutnika proporcijna defektu kutiv vpershe z yavilos u monografiyi Lamberta Theorie der Parallellinien opublikovanij u 1786 George E Martin The foundations of geometry and the non Euclidean plane Corrected 4 print New York NY Springer 1998 S 433 ISBN 0 387 90694 0 Smogorzhevski A S Lobachevskian geometry Moscow Mir Publishers 1982 S 63 Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths Mathematics stackexchange 2015 6 zhovtnya Procitovano 11 zhovtnya 2015 Literatura dlya podalshogo chitannya RedaguvatiSvetlana Katok 1992 Fuchsian Groups University of Chicago Press Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Giperbolichnij trikutnik amp oldid 38117073