www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ідеальна точка Ця стаття про ідеальну точку в гіперболічній геометрії Про подібні точки в інших геометріях див Точка на

Ідеальна точка

Ця стаття про ідеальну точку в гіперболічній геометрії. Про подібні точки в інших геометріях див. Точка на нескінченності.

Невласна точка, ідеальна точка, омега-точка або нескінченно віддалена точка — це цілком визначена[en] точка поза гіперболічною площиною або простором. Якщо дано пряму l і точку P поза l, то прямі, що проходять через P, праворуч і ліворуч паралельні в границі до прямої l, збігаються до l в ідеальних точках.

Три ідеальних трикутники в конформно-евклідовій моделі, вершини є ідеальними точками

На відміну від проєктивного випадку, ідеальні точки утворюють межу, а не підмноговид. Таким чином, ці прямі не перетинаються в ідеальній точці, і такі точки, хоча вони й цілком визначені, не належать самому гіперболічному простору.

Ідеальні точки разом утворюють абсолют Келі[en] або межу гіперболічної геометрії. Наприклад, одиничне коло утворює абсолют Келі дискової моделі Пуанкаре і дискової моделі Кляйна. Разом з тим, дійсна пряма утворює абсолют моделі півплощини.

Аксіома Паша і теорема про зовнішній кут трикутника виконуються для омега-трикутника, який визначається двома точками гіперболічного простору і омега-точкою.

Властивості Редагувати

  • Гіперболічна відстань між ідеальними точками і будь-якою іншою точкою або іншою точкою дорівнює нескінченності.
  • Центри орициклів і орисфер є ідеальними точками. Два орицикли концентричні, коли вони мають один і той самий центр.

Многокутники з ідеальними вершинами Редагувати

Ідеальні трикутники Редагувати

Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.

Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:

  • Всі ідеальні трикутники конгруентні.
  • Внутрішні кути ідеального трикутника всі дорівнюють нулю.
  • Будь-який ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
  • Будь-який ідеальний трикутник має площу , де дорівнює (від'ємній) кривині площини.

Ідеальні чотирикутники Редагувати

Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.

Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:

  • Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю.
  • Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр.
  • Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу , де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.

Ідеальний квадрат Редагувати

Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.

Ідеальний квадрат використовував Фердинанд Карл Швайкарт[ru] у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії.

Ідеальні n-кутники Редагувати

n-кутник можна розділити на (n − 2) ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на (n − 2).

Подання в моделях гіперболічної геометрії Редагувати

У дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре гіперболічної площини ідеальними точками є одиничні кола (для гіперболічної площини) або одиничні сфери (для просторів вищої розмірності), які є недосяжною межею гіперболічного простору.

Одна і та ж гіперболічна пряма в дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре буде проходити через ті ж дві ідеальні точки.

Дискова модель Клейна Редагувати

Якщо дано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть в порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою

Дискова модель Пуанкаре Редагувати

Якщо задано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть у порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою

Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків , , , .

Модель півплощини Пуанкаре Редагувати

У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі , наближаються до неї).

Гіперболоїдна модель Редагувати

У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Комацу, 1981, с. 103-104.
  2. Struve, Struve, 2010, с. 151–170.
  3. Hvidsten, 2005, с. 276–283.
  4. Thurston, 2012.
  5. Bonola, 1955, с. 75–77.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya pro idealnu tochku v giperbolichnij geometriyi Pro podibni tochki v inshih geometriyah div Tochka na neskinchennosti Nevlasna tochka idealna tochka omega tochka abo neskinchenno viddalena tochka 1 ce cilkom viznachena en tochka poza giperbolichnoyu ploshinoyu abo prostorom Yaksho dano pryamu l i tochku P poza l to pryami sho prohodyat cherez P pravoruch i livoruch paralelni v granici do pryamoyi l zbigayutsya do l v idealnih tochkah Tri idealnih trikutniki v konformno evklidovij modeli vershini ye idealnimi tochkamiNa vidminu vid proyektivnogo vipadku idealni tochki utvoryuyut mezhu a ne pidmnogovid Takim chinom ci pryami ne peretinayutsya v idealnij tochci i taki tochki hocha voni j cilkom viznacheni ne nalezhat samomu giperbolichnomu prostoru Idealni tochki razom utvoryuyut absolyut Keli en abo mezhu giperbolichnoyi geometriyi Napriklad odinichne kolo utvoryuye absolyut Keli diskovoyi modeli Puankare i diskovoyi modeli Klyajna Razom z tim dijsna pryama utvoryuye absolyut modeli pivploshini 2 Aksioma Pasha i teorema pro zovnishnij kut trikutnika vikonuyutsya dlya omega trikutnika yakij viznachayetsya dvoma tochkami giperbolichnogo prostoru i omega tochkoyu 3 Zmist 1 Vlastivosti 2 Mnogokutniki z idealnimi vershinami 2 1 Idealni trikutniki 2 2 Idealni chotirikutniki 2 3 Idealnij kvadrat 2 4 Idealni n kutniki 3 Podannya v modelyah giperbolichnoyi geometriyi 3 1 Diskova model Klejna 3 2 Diskova model Puankare 3 3 Model pivploshini Puankare 3 4 Giperboloyidna model 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaVlastivosti RedaguvatiGiperbolichna vidstan mizh idealnimi tochkami i bud yakoyu inshoyu tochkoyu abo inshoyu tochkoyu dorivnyuye neskinchennosti Centri oricikliv i orisfer ye idealnimi tochkami Dva oricikli koncentrichni koli voni mayut odin i toj samij centr Mnogokutniki z idealnimi vershinami RedaguvatiIdealni trikutniki Redaguvati Yaksho vsi vershini trikutnika ye idealnimi tochkami trikutnik ye idealnim trikutnikom Idealni trikutniki mayut kilka cikavih vlastivostej Vsi idealni trikutniki kongruentni Vnutrishni kuti idealnogo trikutnika vsi dorivnyuyut nulyu Bud yakij idealnij trikutnik maye neskinchennij perimetr Bud yakij idealnij trikutnik maye ploshu p K displaystyle pi K nbsp de K displaystyle K nbsp dorivnyuye vid yemnij krivini ploshini 4 Idealni chotirikutniki Redaguvati Yaksho vsi vershini chotirikutnika idealni tochki to chotirikutnik ye idealnim chotirikutnikom Todi yak usi idealni trikutniki kongruentni ne vsi idealni chotirikutniki kongruentni diagonali mozhut peretinatisya pid riznimi kutami sho prizvodit do nekongruentnosti chotirikutnikiv pri comu Vnutrishni kuti idealnogo chotirikutnika vsi dorivnyuyut nulyu Bud yakij idealnij chotirikutnik maye neskinchennij perimetr Bud yakij idealnij opuklij bez peretiniv chotirikutnik maye ploshu 2 p K displaystyle 2 pi K nbsp de K dorivnyuye vid yemnij krivini ploshini Idealnij kvadrat Redaguvati Idealnij chotirikutnik u yakogo dvi diagonali perpendikulyarni utvoryuye idealnij kvadrat Idealnij kvadrat vikoristovuvav Ferdinand Karl Shvajkart ru u jogo memorandumi v yakomu vin zgaduye astralnu geometriyu Ce bula odna z pershih publikacij sho dopuskayut mozhlivist giperbolichnoyi geometriyi 5 Idealni n kutniki Redaguvati n kutnik mozhna rozdiliti na n 2 idealnih trikutnikiv i plosha mnogokutnika dorivnyuye ploshi idealnogo trikutnika pomnozhenij na n 2 Podannya v modelyah giperbolichnoyi geometriyi RedaguvatiU diskovij modeli Klyajna i diskovij modeli Puankare giperbolichnoyi ploshini idealnimi tochkami ye odinichni kola dlya giperbolichnoyi ploshini abo odinichni sferi dlya prostoriv vishoyi rozmirnosti yaki ye nedosyazhnoyu mezheyu giperbolichnogo prostoru Odna i ta zh giperbolichna pryama v diskovij modeli Klyajna i diskovij modeli Puankare bude prohoditi cherez ti zh dvi idealni tochki Diskova model Klejna Redaguvati Yaksho dano dvi rizni tochki p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp u vidkritomu odinichnomu disku yedina pryama sho z yednuye yih peretinaye odinichne kolo v dvoh idealnih tochkah a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp vvazhayetsya sho tochki jdut v poryadku a displaystyle a nbsp p displaystyle p nbsp q displaystyle q nbsp b displaystyle b nbsp tak sho a q gt a p displaystyle left aq right gt left ap right nbsp i p b gt q b displaystyle left pb right gt left qb right nbsp Todi giperbolichna vidstan mizh p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp virazhayetsya formuloyu d p q 1 2 log q a b p p a b q displaystyle d p q frac 1 2 log frac left qa right left bp right left pa right left bq right nbsp Diskova model Puankare Redaguvati Yaksho zadano dvi rizni tochki p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp u vidkritomu odinichnomu disku to yedina duga kola yaka ortogonalna mezhi i z yednuye tochki peretinaye odinichne kolo v dvoh idealnih tochkah a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp vvazhayetsya sho tochki jdut u poryadku a displaystyle a nbsp p displaystyle p nbsp q displaystyle q nbsp b displaystyle b nbsp tak sho a q gt a p displaystyle left aq right gt left ap right nbsp i p b gt q b displaystyle left pb right gt left qb right nbsp Todi giperbolichna vidstan mizh p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp virazhayetsya formuloyu d p q log q a b p p a b q displaystyle d p q log frac left qa right left bp right left pa right left bq right nbsp Tut vidstan vimiryuyetsya vzdovzh pryamih vidrizkiv a q displaystyle aq nbsp a p displaystyle ap nbsp p b displaystyle pb nbsp q b displaystyle qb nbsp Model pivploshini Puankare Redaguvati Dokladnishe Model Puankare u verhnij pivploshiniU modeli pivploshini idealni tochki ce tochki na granichnij osi Isnuye takozh insha idealna tochka yaka ne nalezhit modeli pivploshini ale promeni paralelni do dodatnoyi pivosi y displaystyle y nbsp nablizhayutsya do neyi Giperboloyidna model Redaguvati U giperboloyidnij modeli nemaye niyakih nevlasnih tochok Div takozh RedaguvatiIdealnij trikutnik Neskinchenno viddalena tochka v inshih geometriyah Primitki Redaguvati Komacu 1981 s 103 104 Struve Struve 2010 s 151 170 Hvidsten 2005 s 276 283 Thurston 2012 Bonola 1955 s 75 77 Literatura RedaguvatiMacuo Komacu Mnogoobrazie geometrii M Znanie 1981 Thomas Q Sibley The geometric viewpoint a survey of geometries Reading Mass Addison Wesley 1998 S 109 ISBN 0 201 87450 4 Arhivovano z dzherela 7 veresnya 2019 Horst Struve Rolf Struve Non euclidean geometries the Cayley Klein approach Journal of Geometry 2010 T 89 vip 1 5 zhovtnya ISSN 0047 2468 DOI 10 1007 s00022 010 0053 z Michael Hvidsten Geometry with Geometry Explorer New York NY 2005 ISBN 0 07 312990 9 Roberto Bonola Non Euclidean geometry a critical and historical study of its developments New York NY Dover 1955 S 75 77 ISBN 0486600270 Dylan 274 Curves on Surfaces Lecture 5 2012 5 zhovtnya Arhivovano z dzherela 9 sichnya 2022 Procitovano 23 lipnya 2013 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Idealna tochka amp oldid 35794570