www.wikidata.uk-ua.nina.az

Конформно евклідова модель Конфо рмно евклі дова моде ль або моде ль Пуанкаре модель простору Лобачевського Існують різн

Конформно-евклідова модель

Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель простору Лобачевського. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проєкція) і на півплощині для планіметрії Лобачевського, а також у кулі і в півпросторі — для стереометрії Лобачевського, відповідно.

Замощення площини Лобачевського правильними трикутниками.

Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.

Історія Редагувати

Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі. Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з геометрією Лобачевського виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань геометрії Лобачевського.

Моделі в крузі і в кулі Редагувати

Конформно-евклідова модель у крузі.

За площину Лобачевського приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл , перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.

Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:

де і  — вісь абсцис і ординат, відповідно.

Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є внутрішність кулі.

Відстані Редагувати

У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:

Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі , точки розташовано в такому порядку: , , , то відстань між точками і , у геометрії Лобачевського дорівнює

Моделі на півплощині й у півпросторі Редагувати

В моделі Пуанкаре в півплощині за площину Лобачевського приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.

Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд: , де і  — прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.

Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є півпростір, що лежить на цій площині.

Див. також Редагувати

Примітка Редагувати

  1. . Архів оригіналу за 20 березня 2022. Процитовано 1 травня 2021. 
  2. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
  3. Загалом можна не виокремлювати діаметри, оскільки, всі вказані об'єкти є узагальненими прямими, які можна відобразити одну на іншу за допомогою руху
  4. ↑

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Konfo rmno evkli dova mode l abo mode l Puankare model prostoru Lobachevskogo Isnuyut riznovidi modeli v koli stereografichna proyekciya i na pivploshini dlya planimetriyi Lobachevskogo a takozh u kuli i v pivprostori dlya stereometriyi Lobachevskogo vidpovidno Zamoshennya ploshini Lobachevskogo pravilnimi trikutnikami Konformno evklidova model maye taku nazvu tomu sho giperbolichni kuti dorivnyuyut vidpovidnim kutam na evklidovij ploshini mizh vidpovidnimi pivdotichnimi 1 Dlya proyektivnoyi modeli giperbolichni kuti dorivnyuyut evklidovim kutam lishe u viklyuchnih vipadkah napriklad taka rivnist ye u pochatku koordinat proyektivnoyi modeli Zmist 1 Istoriya 2 Modeli v kruzi i v kuli 2 1 Vidstani 3 Modeli na pivploshini j u pivprostori 4 Div takozh 5 Primitka 6 LiteraturaIstoriya RedaguvatiCyu model yak i proektivnu model i model psevdosferi zaproponuvav Eudzhenio Beltrami 2 Metriku v konformno evklidovij modeli vikoristano takozh u znamenitij lekciyi Rimana Pro gipotezi sho lezhat v osnovi geometriyi ale zv yazok z geometriyeyu Lobachevskogo viyaviv same Beltrami Zgodom Anri Puankare viyaviv zv yazki ciyeyi modeli z zadachami teoriyi funkcij kompleksnoyi zminnoyi sho dalo odne z pershih serjoznih zastosuvan geometriyi Lobachevskogo Modeli v kruzi i v kuli Redaguvati nbsp Konformno evklidova model u kruzi Za ploshinu Lobachevskogo prijmayetsya vnutrishnist kruga div mal v evklidovomu prostori mezha danogo kruga kolo nazivayetsya absolyutom Rol geodezichnih linij vikonuyut dugi kil a b b displaystyle a b b nbsp perpendikulyarnih do absolyutu i jogo diametri 3 rol ruhiv peretvorennya oderzhuvani kombinaciyami inversij vidnosno kil dugi yakih sluzhat pryamimi Metrika d s displaystyle ds nbsp ploshini Lobachevskogo v konformno evklidovij modeli v odinichnomu kruzi ye d s 2 4 1 x 2 y 2 2 d x 2 d y 2 displaystyle ds 2 frac 4 1 x 2 y 2 2 dx 2 dy 2 nbsp de x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp vis abscis i ordinat vidpovidno 4 Analogichno dlya konformno evklidovoyi modeli v kuli rol absolyutu vikonuye obmezhuvalna sfera v trivimirnomu evklidovomu prostori a prostorom Lobachevskogo ye vnutrishnist kuli Vidstani Redaguvati U kompleksnih koordinatah na odinichnomu koli vidstani mozhna obchisliti za dopomogoyu takoyi formuli t h 1 2 d h z w z w 1 z w displaystyle mathop rm th tfrac 1 2 cdot d h z w left frac z w 1 z cdot bar w right nbsp Vidstan mozhna viraziti cherez podvijne vidnoshennya Yaksho na duzi w 1 displaystyle w 1 nbsp z 1 displaystyle z 1 nbsp tochki roztashovano v takomu poryadku w 1 displaystyle w 1 nbsp w displaystyle w nbsp z displaystyle z nbsp z 1 displaystyle z 1 nbsp to vidstan mizh tochkami w displaystyle w nbsp i z displaystyle z nbsp u geometriyi Lobachevskogo dorivnyuye d h z w ln z w 1 z z 1 w w 1 w z 1 displaystyle d h z w ln left frac z w 1 z z 1 frac w w 1 w z 1 right nbsp Modeli na pivploshini j u pivprostori RedaguvatiV modeli Puankare v pivploshini za ploshinu Lobachevskogo prijmayetsya verhnya pivploshina Pryama sho obmezhuye pivploshinu tobto vis abscis nazivayetsya absolyutom Rol pryamih vikonuyut pivkola z centrami na absolyuti sho mistyatsya v cij pivploshini i perpendikulyarni do absolyutu promeni sho pochinayutsya na nomu tobto vertikalni promeni Rol ruhiv peretvorennya oderzhuvani kompoziciyeyu skinchennogo chisla inversij iz centrom na absolyuti i osovih simetrij osi yakih perpendikulyarni do absolyutu Metrika d s displaystyle ds nbsp ploshini Lobachevskogo v konformno evklidovij modeli u verhnij pivploshini maye viglyad d s 2 1 v 2 d u 2 d v 2 displaystyle ds 2 frac 1 v 2 du 2 dv 2 nbsp 4 de u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp pryamokutni koordinati vidpovidno paralelno i perpendikulyarno do absolyutu Vidpovidno v konformno evklidovij modeli v pivprostori rol absolyutu vikonuye ploshina v trivimirnomu evklidovomu prostori a prostorom Lobachevskogo ye pivprostir sho lezhit na cij ploshini Div takozh RedaguvatiTeorema Pika invariantna forma lemi Shvarca sho vikoristovuye vidstani v konformno evklidovij modeli Idealnij trikutnikPrimitka Redaguvati Popov A G Psevdosfericheskie poverhnosti i nekotorye zadachi matematicheskoj fiziki Arhiv originalu za 20 bereznya 2022 Procitovano 1 travnya 2021 Eugenio Beltrami Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante Annali di Mat ser II 2 1868 232 255 Zagalom mozhna ne viokremlyuvati diametri oskilki vsi vkazani ob yekti ye uzagalnenimi pryamimi yaki mozhna vidobraziti odnu na inshu za dopomogoyu ruhu a b Buyalo S V Kurs lekcij Asimptoticheskaya geometriya metricheskih prostranstv vesna 2004 Literatura RedaguvatiChernikov N A Preobrazovanie Bogolyubova i planimetriya Lobachevskogo Razdel 4 sravnenie dvuh modelej Puankare nedostupne posilannya istoriya Samarov K Uroev V Model Puankare Zhurnal Kvant 1984 god nomer 6 Arhivovano 18 lipnya 2020 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Konformno evklidova model amp oldid 36258860