www.wikidata.uk-ua.nina.az

Проєктивна модель модель Кляйна модель Бельтрамі Кляйна модель геометрії Лобачевского запропонована італійським математи

Проєктивна модель

Проєктивна модель (модель Кляйна, модель Бельтрамі — Кляйна) — модель геометрії Лобачевского, запропонована італійським математиком Еудженіо Бельтрамі. Німецький математик Фелікс Кляйн розробив її незалежно.

Через точку проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають пряму

За її допомогою доводиться несуперечливість геометрії Лобачевського в припущенні несуперечливості евклідової геометрії.

Історія Редагувати

Цю модель запропонував Бельтрамі, поряд з моделлю Пуанкаре і моделлю псевдосфери

Ще раніше, 1859 року цю модель побудував Кейлі. Але він розглядав її лише як деяку конструкцію в проєктивній геометрії і, мабуть, не помітив зв'язку її з неевклідовою геометрією. 1869 року з його роботою ознайомився 20-річний Кляйн. Він згадує, що 1870 року виступив з доповіддю про роботи Кейлі на семінарі Веєрштрасса і, як він пише, «закінчив її питанням, чи не існує зв'язку між ідеями Кейлі і Лобачевського. Я отримав відповідь, що це — дві дуже віддалені за ідеєю системи». Як каже Кляйн «я дозволив переконати себе цими запереченнями і відклав убік вже дозрілу думку». Однак 1871 року він до цієї думки повернувся, оформив її математично і опублікував.

Модель Редагувати

Площину Лобачевського подано в цій моделі відкритим диском, обмеженим деяким колом — абсолютом. Точки абсолюту, так звані «ідеальні точки», площині Лобачевського вже не належать. Пряма площини Лобачевського — це хорда абсолюту, що з'єднує дві ідеальні точки.

Рухами геометрії Лобачевського в проєктивній моделі оголошуються проєктивні перетворення площини, що переводять внутрішність абсолюту в себе. Конгруентними вважаються фігури всередині абсолюту, що переводяться одна в одну такими рухами. Якщо точки і лежать на хорді так, що порядок їх проходження на прямій , тоді відстань у площині Лобачевського визначається як

де позначає подвійне відношення,  — радіус кривини площини Лобачевського.

Зауваження Редагувати

  • Будь-який факт евклідової геометрії, описаний такою мовою, подає деякий факт геометрії Лобачевського. Іншими словами, будь-яке твердження неевклідової геометрії Лобачевського на площині є не що інше, як твердження евклідової геометрії на площині, що стосується фігур усередині кола, переказане в зазначених термінах.
  • Евклідова аксіома про паралельні явно не виконується в цій моделі, оскільки через точку , що не лежить на даній хорді , проходить скільки завгодно хорд, що не перетинають її.

Властивість Редагувати

  • Дві хорди перпендикулярні, якщо, продовжені за межі диска, кожна проходить через полюс іншої (полюс хорди — це точка перетину дотичних до абсолюту в кінцевих точках хорди). Хорди, що проходять через центр диска, мають полюс на нескінченності, ортогональний до напрямку хорди (звідси випливає, що прямі кути на діаметрах не спотворені).
  • Кола в моделі стають еліпсами;
  • Орициклам відповідають еліпси, що мають з абсолютом дотик порядку 4.
  • Еквідистанті прямої відповідають дуги еліпсів, дотичних до абсолюту в двох абсолютних точках цієї прямої.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII, пар. 2, — Физматлит, Москва, 2009.

Література Редагувати

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Beltrami–Klein model(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
  • Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
  • Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
  • Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
  • Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
  • Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Proyektivna model model Klyajna model Beltrami Klyajna model geometriyi Lobachevskogo zaproponovana italijskim matematikom Eudzhenio Beltrami Nimeckij matematik Feliks Klyajn rozrobiv yiyi nezalezhno Cherez tochku P displaystyle P prohodit neskinchenno bagato pryamih sho ne peretinayut pryamu a displaystyle a Za yiyi dopomogoyu dovoditsya nesuperechlivist geometriyi Lobachevskogo v pripushenni nesuperechlivosti evklidovoyi geometriyi Zmist 1 Istoriya 2 Model 2 1 Zauvazhennya 3 Vlastivist 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaIstoriya RedaguvatiCyu model zaproponuvav Beltrami poryad z modellyu Puankare i modellyu psevdosferi 1 She ranishe 1859 roku cyu model pobuduvav Kejli Ale vin rozglyadav yiyi lishe yak deyaku konstrukciyu v proyektivnij geometriyi i mabut ne pomitiv zv yazku yiyi z neevklidovoyu geometriyeyu 1869 roku z jogo robotoyu oznajomivsya 20 richnij Klyajn Vin zgaduye sho 1870 roku vistupiv z dopoviddyu pro roboti Kejli na seminari Veyershtrassa i yak vin pishe zakinchiv yiyi pitannyam chi ne isnuye zv yazku mizh ideyami Kejli i Lobachevskogo Ya otrimav vidpovid sho ce dvi duzhe viddaleni za ideyeyu sistemi Yak kazhe Klyajn ya dozvoliv perekonati sebe cimi zaperechennyami i vidklav ubik vzhe dozrilu dumku Odnak 1871 roku vin do ciyeyi dumki povernuvsya oformiv yiyi matematichno i opublikuvav 2 Model RedaguvatiPloshinu Lobachevskogo podano v cij modeli vidkritim diskom obmezhenim deyakim kolom absolyutom Tochki absolyutu tak zvani idealni tochki ploshini Lobachevskogo vzhe ne nalezhat Pryama ploshini Lobachevskogo ce horda absolyutu sho z yednuye dvi idealni tochki Ruhami geometriyi Lobachevskogo v proyektivnij modeli ogoloshuyutsya proyektivni peretvorennya ploshini sho perevodyat vnutrishnist absolyutu v sebe Kongruentnimi vvazhayutsya figuri vseredini absolyutu sho perevodyatsya odna v odnu takimi ruhami Yaksho tochki A displaystyle A nbsp i B displaystyle B nbsp lezhat na hordi P Q displaystyle PQ nbsp tak sho poryadok yih prohodzhennya na pryamij P A B Q displaystyle PABQ nbsp todi vidstan ℓ A B displaystyle ell A B nbsp u ploshini Lobachevskogo viznachayetsya yak ℓ A B R 2 l n P Q B A displaystyle ell A B frac R 2 rm ln PQ BA nbsp de P Q B A displaystyle PQ BA nbsp poznachaye podvijne vidnoshennya R displaystyle R nbsp radius krivini ploshini Lobachevskogo Zauvazhennya Redaguvati Bud yakij fakt evklidovoyi geometriyi opisanij takoyu movoyu podaye deyakij fakt geometriyi Lobachevskogo Inshimi slovami bud yake tverdzhennya neevklidovoyi geometriyi Lobachevskogo na ploshini ye ne sho inshe yak tverdzhennya evklidovoyi geometriyi na ploshini sho stosuyetsya figur useredini kola perekazane v zaznachenih terminah Evklidova aksioma pro paralelni yavno ne vikonuyetsya v cij modeli oskilki cherez tochku O displaystyle O nbsp sho ne lezhit na danij hordi a displaystyle a nbsp prohodit skilki zavgodno hord sho ne peretinayut yiyi Vlastivist RedaguvatiHordi yaki zustrichayutsya na granichnomu koli vidpovidayut asimptotichno paralelnim pryamim Dvi hordi perpendikulyarni yaksho prodovzheni za mezhi diska kozhna prohodit cherez polyus inshoyi polyus hordi ce tochka peretinu dotichnih do absolyutu v kincevih tochkah hordi Hordi sho prohodyat cherez centr diska mayut polyus na neskinchennosti ortogonalnij do napryamku hordi zvidsi viplivaye sho pryami kuti na diametrah ne spotvoreni Kola v modeli stayut elipsami Oriciklam vidpovidayut elipsi sho mayut z absolyutom dotik poryadku 4 Ekvidistanti pryamoyi vidpovidayut dugi elipsiv dotichnih do absolyutu v dvoh absolyutnih tochkah ciyeyi pryamoyi Div takozh RedaguvatiIdealnij trikutnikPrimitki Redaguvati Eugenio Beltrami Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante Annali di Mat ser II 2 1868 232 255 Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya gl XII par 2 Fizmatlit Moskva 2009 Literatura RedaguvatiKlejn F O tak nazyvaemoj neevklidovoj geometrii Arhivovano 4 bereznya 2016 u Wayback Machine V sbornike Osnovaniya geometrii M GITTL 1956 Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya gl XII Fizmatlit Moskva 2009 nbsp Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Beltrami Klein model angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Proyektivna model amp oldid 34969142