www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ідеальний трикутник трикутник у геометрії Лобачевського всі три вершини якого є ідеальними або нескінченно віддаленими т

Ідеальний трикутник

Ідеальний трикутник — трикутник у геометрії Лобачевського, всі три вершини якого є ідеальними або нескінченно віддаленими точками. Ідеальні трикутники іноді називають тричі асимптотичними трикутниками, а Їхні вершини — ідеальними вершинами.

Три ідеальних трикутники в моделі Пуанкаре в крузі
Два ідеальних трикутники в моделі Пуанкаре у верхній півплощині

Всі ідеальні трикутники рівні.

Властивості Редагувати

Ідеальні трикутники мають такі властивості:

  • Всі ідеальні трикутники рівні між собою.
  • Всі внутрішні кути ідеального трикутника дорівнюють нулю.
  • Ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
  • Ідеальний трикутник є найбільшим можливим трикутником у геометрії Лобачевського.

У стандартній площині Лобачевського (поверхні, де кривина Гауса стала і дорівнює ) ідеальний трикутник також має такі властивості:

  • Площа такого трикутника дорівнює π.
Розміри, пов'язані з ідеальним трикутником і вписаним у нього колом, зображені на моделі Бельтрамі — Кляйна (ліворуч) і моделі Пуанкаре в крузі (праворуч)
  • Вписане коло дотикається до трикутника в трьох точках, утворюючи рівносторонній трикутник зі стороною , де  — золотий перетин.
  • Відстань від будь-якої точки сторони такого трикутника до іншої сторони менша або дорівнює , причому точно рівність виконується тільки для згаданих вище точок дотику.

Якщо кривина простору дорівнює , відмінному від -1, площі вище слід помножити на , а довжини і відстані — на .

Положення δ-тонкого трикутника на δ-гіперболічному просторі

Оскільки ідеальний трикутник є найбільшим можливим у геометрії Лобачевського, зазначені вище значення є найбільшими можливими для трикутників у геометрії Лобачевського. Цей факт є важливим для вивчення простору Лобачевського.

Моделі Редагувати

У моделі Пуанкаре в крузі площини Лобачевського, ідеальний трикутник утворений трьома колами, що перетинають граничне коло під прямим кутом.

У моделі Пуанкаре в півплощині ідеальний трикутник має вигляд арбелоса — фігури між трьома дотичними півколами.

У проєктивній моделі ідеальний трикутник — Евклідів трикутник, вписаний у граничне коло. При цьому на проєктивній моделі кути при вершинах ідеального трикутника не дорівнюють нулю, оскільки ця модель, на відміну від моделей Пуанкаре, не зберігає кутів.

Дійсна група ідеального трикутника Редагувати

Модель Пуанкаре, замощена ідеальними трикутниками




Ідеальна (∞ ∞ ∞) група трикутника



Інше ідеальне замощення

Дійсна група ідеального трикутника — група перетворень, породжена відображеннями площини Лобачевського відносно сторін ідеального трикутника. Як абстрактна група вона ізоморфна вільному добутку трьох груп із двох елементів. Результатом відображень є замощення площини Лобачевского ідеальними трикутниками.

Примітки Редагувати

  1. Thurston, Dylan (Fall 2012). . Архів оригіналу за 9 січня 2022. Процитовано 23 липня 2013. 
  2. ↑ What is the radius of the inscribed circle of an ideal triangle. Процитовано 9 грудня 2015. 

Бібліографія Редагувати

  • Schwartz, Richard Evan. Ideal triangle groups, dented tori, and numerical analysis // Annals of Mathematics : journal. — 2001. — Vol. 153, no. 3 (22 October). — P. 533—598. — arXiv:math.DG/0105264. — DOI:10.2307/2661362.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Idealnij trikutnik trikutnik u geometriyi Lobachevskogo vsi tri vershini yakogo ye idealnimi abo neskinchenno viddalenimi tochkami Idealni trikutniki inodi nazivayut trichi asimptotichnimi trikutnikami a Yihni vershini idealnimi vershinami Tri idealnih trikutniki v modeli Puankare v kruziDva idealnih trikutniki v modeli Puankare u verhnij pivploshiniVsi idealni trikutniki rivni Zmist 1 Vlastivosti 2 Modeli 3 Dijsna grupa idealnogo trikutnika 4 Primitki 5 BibliografiyaVlastivosti RedaguvatiIdealni trikutniki mayut taki vlastivosti Vsi idealni trikutniki rivni mizh soboyu Vsi vnutrishni kuti idealnogo trikutnika dorivnyuyut nulyu Idealnij trikutnik maye neskinchennij perimetr Idealnij trikutnik ye najbilshim mozhlivim trikutnikom u geometriyi Lobachevskogo U standartnij ploshini Lobachevskogo poverhni de krivina Gausa stala i dorivnyuye 1 displaystyle 1 nbsp idealnij trikutnik takozh maye taki vlastivosti Plosha takogo trikutnika dorivnyuye p 1 nbsp Rozmiri pov yazani z idealnim trikutnikom i vpisanim u nogo kolom zobrazheni na modeli Beltrami Klyajna livoruch i modeli Puankare v kruzi pravoruch Radius vpisanogo kola rivnij r ln 3 1 2 ln 3 0 549 displaystyle r ln sqrt 3 frac 1 2 ln 3 approx 0 549 nbsp 2 Vidstan vid bud yakoyi tochki trikutnika do jogo najblizhchoyi storoni mensha abo dorivnyuye zaznachenomu vishe radiusu prichomu tochno cya rivnist vikonuyetsya tilki v centri vpisanogo kola Vpisane kolo dotikayetsya do trikutnika v troh tochkah utvoryuyuchi rivnostoronnij trikutnik zi storonoyu d ln 5 1 5 1 2 ln f 0 962 displaystyle d ln left frac sqrt 5 1 sqrt 5 1 right 2 ln varphi approx 0 962 nbsp 2 de f 1 5 2 displaystyle varphi frac 1 sqrt 5 2 nbsp zolotij peretin Kolo z radiusom d navkolo tochki vseredini trikutnika dotknetsya prinajmni z dvoma storonami trikutnika abo peretne yih Vidstan vid bud yakoyi tochki storoni takogo trikutnika do inshoyi storoni mensha abo dorivnyuye a ln 1 2 0 881 displaystyle a ln left 1 sqrt 2 right approx 0 881 nbsp prichomu tochno rivnist vikonuyetsya tilki dlya zgadanih vishe tochok dotiku a takozh ye visotoyu trikutnika Shvejkarta Yaksho krivina prostoru dorivnyuye K displaystyle K nbsp vidminnomu vid 1 ploshi vishe slid pomnozhiti na 1 K displaystyle 1 K nbsp a dovzhini i vidstani na 1 K displaystyle 1 sqrt K nbsp nbsp Polozhennya d tonkogo trikutnika na d giperbolichnomu prostoriOskilki idealnij trikutnik ye najbilshim mozhlivim u geometriyi Lobachevskogo zaznacheni vishe znachennya ye najbilshimi mozhlivimi dlya trikutnikiv u geometriyi Lobachevskogo Cej fakt ye vazhlivim dlya vivchennya prostoru Lobachevskogo Modeli RedaguvatiU modeli Puankare v kruzi ploshini Lobachevskogo idealnij trikutnik utvorenij troma kolami sho peretinayut granichne kolo pid pryamim kutom U modeli Puankare v pivploshini idealnij trikutnik maye viglyad arbelosa figuri mizh troma dotichnimi pivkolami U proyektivnij modeli idealnij trikutnik Evklidiv trikutnik vpisanij u granichne kolo Pri comu na proyektivnij modeli kuti pri vershinah idealnogo trikutnika ne dorivnyuyut nulyu oskilki cya model na vidminu vid modelej Puankare ne zberigaye kutiv Dijsna grupa idealnogo trikutnika RedaguvatiModel Puankare zamoshena idealnimi trikutnikami nbsp Idealna grupa trikutnika nbsp Inshe idealne zamoshennyaDijsna grupa idealnogo trikutnika grupa peretvoren porodzhena vidobrazhennyami ploshini Lobachevskogo vidnosno storin idealnogo trikutnika Yak abstraktna grupa vona izomorfna vilnomu dobutku troh grup iz dvoh elementiv Rezultatom vidobrazhen ye zamoshennya ploshini Lobachevskogo idealnimi trikutnikami Primitki Redaguvati Thurston Dylan Fall 2012 274 Curves on Surfaces Lecture 5 Arhiv originalu za 9 sichnya 2022 Procitovano 23 lipnya 2013 a b What is the radius of the inscribed circle of an ideal triangle Procitovano 9 grudnya 2015 Bibliografiya RedaguvatiSchwartz Richard Evan Ideal triangle groups dented tori and numerical analysis Annals of Mathematics journal 2001 Vol 153 no 3 22 October P 533 598 arXiv math DG 0105264 DOI 10 2307 2661362 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Idealnij trikutnik amp oldid 38117119