www.wikidata.uk-ua.nina.az

Золотий перетин φ a b a a bУ математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий пере тин якщо відношення їхньої суми

Золотий перетин

φ = (a+b) : a = a : b

У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий пере́тин, якщо відношення їхньої суми до більшої величини дорівнює відношенню більшої до меншої. Це відношення заведено позначати грецькою буквою (фі).

Золотий прямокутник, в якому довша сторона позначена як a, а коротша сторона — b, якщо доповнити поруч квадратом зі сторонами довжиною в a, утворить подібний золотий прямокутник із довшою стороною a + b і коротшою стороною a. Це демонструє відношення .

Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення. Застосовується в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку в такій точці , що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою — менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною ().

Це рівняння має єдиний додатний розв’язок

Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.

Число деколи називають золотим числом.

Наближення Редагувати

Наближення Золотого перетину з точністю 1000 знаків після десяткової коми: 

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Історія Редагувати

Вважається, що поняття про золотий перетин запровадив Піфагор. Утім, існує припущення, що Піфагор запозичив знання золотого перетину у єгиптян і вавилонян.

Ідеї Піфагора у своїх дослідженнях продовжив Платон. Його діалог Тімей висвітлює математичні й естетичні переконання школи Піфагора і, зокрема, питання золотого перетину.

В античній літературі, що дійшла до нас, золотий перетин вперше згадується в «Початках» Евкліда — у 2-й книзі дається геометрична побудова «золотого перетину». Після Евкліда його вивчали Гіпсикл (II ст. до н.е.) та Папп.

У середньовічній Європі із «золотим перетином» знайомились за арабськими перекладами Евкліда. Секрети «золотого перетину» ревно оберігалися й були відомі лише утаємниченим.

В епоху Відродження інтерес до золотого перетину серед учених і художників посилився, зокрема, у зв’язку з його застосуванням, як у геометрії, так і в мистецтві, особливо — в архітектурі. Велику увагу йому приділив Леонардо да Вінчі. Саме він дав співвідношенню назву «золотий перетин» (лат. Sectio aurea). 1509 року у Венеції було видано книгу Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями (вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі). Над тими ж проблемами працював Альбрехт Дюрер у Німеччині.

З часом про золотий переріз дещо забули. Знову його «відкрив» німецький дослідник Адольф Цейзінг[de] у своїй праці «Естетичні дослідження» (1855 р.)

Математичні властивості Редагувати

Обчислення значення золотого перетину Редагувати

Золотий перетин можна обчислити безпосередньо з означення:

Праве рівняння дає . Підставляючи цю рівність у ліву частину:

Скоротивши отримаємо:

Помноживши обидві частини на після перестановки отримаємо:

Це квадратне рівняння має два розв’язки, один з яких є додатнім

Зв’язок із числами Фібоначчі Редагувати

Спіраль Фібоначчі

Золотий перетин є границею відношення двох сусідніх членів у послідовності Фібоначчі:

При цьому члени послідовності збігаються до поперемінно: один елемент — знизу, наступний — зверху тощо. Наприклад,

Формула Біне виражає за допомогою значення числа Фібоначчі в явному вигляді:

Окрім цього, послідовні степені числа задовільняють рекурентному співвідношенню ідентичному до чисел Фібоначчі:

Спіраль Фібоначчі (див. рисунок) є наближенням золотої спіралі.

Золотий перетин у пентаграмі Редагувати

Червоний : Зелений =
Зелений : Синій =
Синій : Фіолетовий =

Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі, яка вважалася магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.

Пентаграма містить п’ять гострокутних та п’ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.

Якщо побудувати нескінченну пентаграму (продовжити "правильну п’ятикутну зірку" п’ятикутниками і "вістряками" назовні і всередину) і надати якомусь її відрізку значення 1,000, отримаємо ряд чисел, який є послідовними степенями числа Ф (фі): Ф0 = 1,000…, Ф1 = 1,6180339…, Ф2 = 2,6180339…, Ф3 = 4,2360679…, Ф4 = 6,8541019…, Ф5 = 11,0901699, і "всередину" (в сторону менш як 1,00): Ф−1 = 0,6180339…, Ф−2 = 0,3819660…, Ф−3 = 0,2360679…, Ф−4 = 0,1458980…. Можна виявити дивну властивість цих двох послідовностей ( "назовні" і "всередину" від одиниці): парні степені Ф дають цілі числа при додаванні: Фn + Ф−n, а непарні — при відніманні Фn − Ф−n. Отримуємо цілочисельний ряд 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18…, названий "рядом Люка". Ряд Фібоначчі виходить схожим чином, при діленні на V5 (корінь з 5): (Фn + Ф−n) / V5 для непарних n = 2k + 1 і (Фn − Ф-n )/ V5 для парних n = 2k (тут навпаки: непарні степені Ф додаються, а парні — віднімаються). Обидві формули вивів в 19 столітті французький математик Жак Філіп Марі Біне (1786 — 1856).

Варто також зауважити, що будь-який ряд, з будь-якими початковими числами, у якого наступний член виходить додаванням двох попередніх , — у великих числах (при ) прагне до "золотого співвідношення" між сусідніми членами. Тобто до класичної формули знаходження числа Ф через V5: Ф = (1 + V5) / 2 ми можемо додати ще дві: Ф як границя співвідношення між сусідніми членами будь-якого ряду Фібоначчі: при , і третя формула виходить з геометрії пентаграми: .

Застосування і прояви Редагувати

Золотий перетин і гармонія в мистецтві Редагувати

Золотий перетин і зорові центри

Під «правилом золотого перетину» в архітектурі та мистецтві зазвичай розуміються композиції, що містять пропорції, близькі до золотого перетину.

Деякі з тверджень на доказ гіпотези знання древніми правила золотого перетину:

  • Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перерізу при їх створенні[джерело?].
  • Згідно з Ле Корбюзьє, в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі й у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають золотому перетину. У фасаді давньогрецького храму Парфенона також наявні золоті пропорції. У циркулі з давньоримського міста Помпеї (музей в Неаполі) також закладено пропорції золотого перетину, тощо. При обговоренні оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри аркушів паперу A0 і кратні, розміри фотопластинок (6:9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2:3), розміри кіно- і телевізійних екранів — наприклад, 4:3 або 16:9) були випробувані найрізноманітніші варіанти. Виявилося, що більшість людей не сприймає золотий перетин як оптимальний і вважає його пропорції «занадто витягнутими»[джерело?].
  • Слід зазначити, що сама пропорція є, скоріше, еталонним значенням, матрицею, відхилення від якої у біологічних видів, можливо, викликані пристосуванням до навколишнього середовища в процесі життя. Прикладом таких «відхилень» може служити морська камбала.

Всі пропорції та елементи збудованої приблизно на початку XIII століття П’ятницької церкви в Чернігові перебувають у співвідношенні, яке майже точно відповідає «золотому перетину».

Золотий перетин у музиці Редагувати

Дослідження показали, що кульмінація багатьох творів класичної музики розташована між початком і кінцем у співвідношенні 8:5 — тобто в точці золотого перетину. Професор Лев Мазель проаналізував твори майже всіх найвидатніших композиторів і дійшов висновку, що найчастіше золотий перетин використовували Людвіг ван Бетховен (у 97 % творів), Йозеф Гайдн (також 97 % творів), Фридерик Шопен (92 %), Вольфганг Амадей Моцарт (91 %), Франц Шуберт (91 %) та багато інших композиторів.

Приклади свідомого використання Редагувати

Мозаїка Пенроуза

Починаючи з Леонардо да Вінчі, багато художників свідомо використовували пропорції «золотого перетину». Йоганн Себастьян Бах у своїй триголосній інвенції E-dur № 6 BWV 792 використовував двочастну форму, в якій співвідношення розмірів частин відповідає пропорціям золотого перетину. 1 частина — 17 тактів, 2 частина — 24 такти (невеликі невідповідності вирівнюються завдяки ферматі в 34 такти).

Геометрія плану гробниці фараона Стародавнього Єгипту Менеса побудована з використанням пропорції, яку ми зараз пов’язуємо з золотим перетином.

В біології та медицині Редагувати

Деталі рослини Aeonium tabuliforme де видно багатократне спіральне впорядкування (парастихи[en])

Живі організми також мають властивості, характерні для «золотого перетину». Наприклад, пропорції тіл, спіральні структури або параметри біоритмів.

Адольф Цейзинг[en], основними інтересами якого були математика і філософія, помітив, що золотий перетин зустрічається у природі в структурі частин рослин, наприклад в розміщенні листя і гілок здовж стебла рослин, а також внутрішніх жилок листків. Він продовжив своє дослідження і знайшов це співвідношення в будові скелетів тварин і розгалужень вен та нервів, в пропорціях хімічних складових і геометрії кристалів, і навіть доклав це до вжитку в мистецтві. Знайшовши ці патерни у природі він вбачав, що золотий перетин діє як універсальний закон. Відносно цієї схеми золотого перетину в основі пропорцій людського тіла, Цейзинг в 1854 сформулював універсальний закон, "у якому міститься основний принцип формотворних прагнень до прекрасного і довершеного як у сфері природи, так і мистецтва, і який пронизує всі структури, форми та пропорції" різної природи.

У 2010, в журналі Science повідомлялося, що золотий перетин присутній в атомній структурі у вигляді магнітного резонансу спінів в кристалах ніоббату кобальту.

У 1991 році, декілька вчених висунули думку про можливий зв’язок між золотим перетином і ДНК людського геному.

Однак, багато вчених заперечили, що багато тверджень щодо виявлення золотого перетину в природі, особливо щодо розмірів тварин, є фіктивними.

Золотий перетин у природі

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  1. ↑ Олександр (26 грудня 2011 р.). . Архів оригіналу за 20 червня 2018. Процитовано 20 червня 2018. 
  2. Каблова, Тетяна (2015). . Київ: НАКККіМ. с. 161. ISBN 978-966-452-203-5. Архів оригіналу за 19 червня 2018. Процитовано 20 червня 2018. 
  3. ↑ Історія виникнення золотого перерізу. Золотий переріз. Процитовано 20 червня 2018. 
  4. . io.ua. Архів оригіналу за 2 листопада 2016. Процитовано 11 лютого 2021. 
  5. Ю. С. Асєєв, В. О. Харламов. Архітектура: дерев'яна і кам'яна // Історія української культури : у 5 томах / за ред. П. П. Толочка, Д.Н. Козака, Р. С. Орлова та ін. — Київ : Наукова думка, 2001. — Т. 1: Історія культури давнього населення України. — ISBN.
  6. Стелік Н. Є. «Гармонія давньоєгипетської архітектури.» Гірки: БГСХА. 2009, 108 с.
  7. Архів оригіналу за 27 вересня 2015. Процитовано 2 липня 2015. 
  8. Richard Padovan (1999). Proportion. Taylor & Francis. с. 305–306. ISBN 978-0-419-22780-9. 
  9. Padovan, Richard (2002). Proportion: Science, Philosophy, Architecture. Nexus Network Journal 4 (1): 113–122. doi:10.1007/s00004-001-0008-7. 
  10. Zeising, Adolf (1854). Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers. preface. 
  11. . Eurekalert.org. 7 січня 2010. Архів оригіналу за 9 листопада 2020. Процитовано 31 жовтня 2011. 
  12. J.C. Perez (1991), "Chaos DNA and Neuro-computers: A Golden Link" [Архівовано 11 липня 2012 у Archive.is], in Speculations in Science and Technology vol. 14 no. 4, ISSN 0155-7785.
  13. Yamagishi, Michel E.B., and Shimabukuro, Alex I. (2007), "Nucleotide Frequencies in Human Genome and Fibonacci Numbers" [Архівовано 2013-01-04 у Archive.is], in Bulletin of Mathematical Biology, ISSN 0092-8240 (print), ISSN 1522-9602 (online). PDF full text[недоступне посилання]
  14. Perez, J.-C. (September 2010). Codon populations in single-stranded whole human genome DNA are fractal and fine-tuned by the Golden Ratio 1.618. Interdisciplinary Sciences: Computational Life Science 2 (3): 228–240. PMID 20658335. doi:10.1007/s12539-010-0022-0.  PDF full text [ 5 березня 2016 у Wayback Machine.]
  15. Pommersheim, James E., Tim K. Marks, and Erica L. Flapan, eds. 2010. "Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories". John Wiley and Sons: 82.

Посилання Редагувати

  • Грант Аракелян Математика и история золотого сечения. — Логос, 2014. — 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0. (рос.)
  • Про красу користі і користь краси [ 15 березня 2016 у Wayback Machine.] (Дзеркало тижня)
  • К. В. Киркач, (Світло-люкс)
  • А. Д. Бердукидзе, Золотое сечение [ 11 жовтня 2004 у Wayback Machine.] Квант № 8, 1973 (рос.)
  • Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0
  • ISBN 978-966-935-593-5.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
f a b a a bU matematici ta mistectvi dvi velichini utvoryuyut zolotij pere tin yaksho vidnoshennya yihnoyi sumi do bilshoyi velichini dorivnyuye vidnoshennyu bilshoyi do menshoyi Ce vidnoshennya zavedeno poznachati greckoyu bukvoyu f displaystyle varphi fi Zolotij pryamokutnik v yakomu dovsha storona poznachena yak a a korotsha storona b yaksho dopovniti poruch kvadratom zi storonami dovzhinoyu v a utvorit podibnij zolotij pryamokutnik iz dovshoyu storonoyu a b i korotshoyu storonoyu a Ce demonstruye vidnoshennya a b a a b f displaystyle frac a b a frac a b equiv varphi Zolotij peretin vvazhayetsya spivvidnoshennyam najvidpovidnishim estetichnomu sprijnyattyu zobrazhennya Zastosovuyetsya v mistectvi j arhitekturi najchastishe yak zolotij pryamokutnik Zolotij pryamokutnik utvoryuyetsya pri podili vidrizku A B displaystyle AB v takij tochci O displaystyle O sho plosha pryamokutnika odnoyu storonoyu yakogo ye ves vidrizok a inshoyu menshij z vidrizkiv dorivnyuye ploshi kvadrata z bilshim vidrizkom yak storonoyu A B O B A O 2 textstyle AB times OB AO 2 f A O O B A O A O O B displaystyle varphi frac AO OB AO frac AO OB Ce rivnyannya maye yedinij dodatnij rozv yazok f 1 5 2 1 618 03398874989484 displaystyle varphi frac 1 sqrt 5 2 approx 1 61803398874989484 dots Vidnoshennya dvoh vidrizkiv priblizno dorivnyuye 13 8 Chislo f displaystyle varphi dekoli nazivayut zolotim chislom Zmist 1 Nablizhennya 2 Istoriya 3 Matematichni vlastivosti 3 1 Obchislennya znachennya zolotogo peretinu 3 2 Zv yazok iz chislami Fibonachchi 3 3 Zolotij peretin u pentagrami 4 Zastosuvannya i proyavi 4 1 Zolotij peretin i garmoniya v mistectvi 4 2 Zolotij peretin u muzici 4 3 Prikladi svidomogo vikoristannya 4 4 V biologiyi ta medicini 5 Div takozh 6 Dzherela 7 PosilannyaNablizhennya RedaguvatiNablizhennya Zolotogo peretinu z tochnistyu 1000 znakiv pislya desyatkovoyi komi 1 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362Istoriya RedaguvatiVvazhayetsya sho ponyattya pro zolotij peretin zaprovadiv Pifagor Utim isnuye pripushennya sho Pifagor zapozichiv znannya zolotogo peretinu u yegiptyan i vavilonyan 1 Ideyi Pifagora u svoyih doslidzhennyah prodovzhiv Platon Jogo dialog Timej visvitlyuye matematichni j estetichni perekonannya shkoli Pifagora i zokrema pitannya zolotogo peretinu 2 V antichnij literaturi sho dijshla do nas zolotij peretin vpershe zgaduyetsya v Pochatkah Evklida u 2 j knizi dayetsya geometrichna pobudova zolotogo peretinu Pislya Evklida jogo vivchali Gipsikl II st do n e ta Papp 1 U serednovichnij Yevropi iz zolotim peretinom znajomilis za arabskimi perekladami Evklida Sekreti zolotogo peretinu revno oberigalisya j buli vidomi lishe utayemnichenim 1 V epohu Vidrodzhennya interes do zolotogo peretinu sered uchenih i hudozhnikiv posilivsya zokrema u zv yazku z jogo zastosuvannyam yak u geometriyi tak i v mistectvi osoblivo v arhitekturi Veliku uvagu jomu pridiliv Leonardo da Vinchi Same vin dav spivvidnoshennyu nazvu zolotij peretin lat Sectio aurea 1509 roku u Veneciyi bulo vidano knigu Luki Pacholi Bozhestvenna proporciya z bliskuche vikonanimi ilyustraciyami vvazhayut sho yih zrobiv Leonardo da Vinchi Nad timi zh problemami pracyuvav Albreht Dyurer u Nimechchini 3 Z chasom pro zolotij pereriz desho zabuli Znovu jogo vidkriv nimeckij doslidnik Adolf Cejzing de u svoyij praci Estetichni doslidzhennya 1855 r 3 Matematichni vlastivosti RedaguvatiMira irracionalnosti f displaystyle varphi nbsp dorivnyuye 2 Obchislennya znachennya zolotogo peretinu Redaguvati Zolotij peretin f displaystyle varphi nbsp mozhna obchisliti bezposeredno z oznachennya a b a a b f displaystyle frac a b a frac a b varphi nbsp Prave rivnyannya daye a b f displaystyle a b varphi nbsp Pidstavlyayuchi cyu rivnist u livu chastinu b f b b f b f b displaystyle frac b varphi b b varphi frac b varphi b nbsp Skorotivshi b displaystyle b nbsp otrimayemo f 1 f f displaystyle frac varphi 1 varphi varphi nbsp Pomnozhivshi obidvi chastini na f displaystyle varphi nbsp pislya perestanovki otrimayemo f 2 f 1 0 displaystyle varphi 2 varphi 1 0 nbsp Ce kvadratne rivnyannya maye dva rozv yazki odin z yakih ye dodatnim f 1 5 2 1 618 0339887 displaystyle varphi frac 1 sqrt 5 2 approx 1 6180339887 dots nbsp Zv yazok iz chislami Fibonachchi Redaguvati nbsp Spiral FibonachchiZolotij peretin ye graniceyu vidnoshennya dvoh susidnih chleniv u poslidovnosti Fibonachchi lim n F n 1 F n f displaystyle lim n to infty frac F n 1 F n varphi nbsp Pri comu chleni poslidovnosti F n 1 F n displaystyle frac F n 1 F n nbsp zbigayutsya do f displaystyle varphi nbsp popereminno odin element znizu nastupnij zverhu tosho Napriklad F 6 F 5 8 5 1 6 lt f lt F 7 F 6 13 8 1 625 displaystyle frac F 6 F 5 frac 8 5 1 6 lt varphi lt frac F 7 F 6 frac 13 8 1 625 nbsp Formula Bine virazhaye za dopomogoyu f displaystyle varphi nbsp znachennya chisla Fibonachchi F n displaystyle F n nbsp v yavnomu viglyadi F n f n f n f f 1 1 5 2 n 1 5 2 n 5 f n 5 n 1 displaystyle F n frac varphi n varphi n varphi varphi 1 frac left frac 1 sqrt 5 2 right n left frac 1 sqrt 5 2 right n sqrt 5 approx frac varphi n sqrt 5 quad n geq 1 nbsp Okrim cogo poslidovni stepeni chisla f displaystyle varphi nbsp zadovilnyayut rekurentnomu spivvidnoshennyu identichnomu do chisel Fibonachchi f n 2 f n 1 f n displaystyle varphi n 2 varphi n 1 varphi n nbsp Spiral Fibonachchi div risunok ye nablizhennyam zolotoyi spirali Zolotij peretin u pentagrami Redaguvati nbsp Chervonij Zelenij Zelenij Sinij Sinij Fioletovij f displaystyle varphi nbsp Zolotij peretin vistupaye u pravilnij pentagrami yaka vvazhalasya magichnim simvolom u bagatoh kulturah Tochka peretinu storin dilit yih u zolotij proporciyi Bilsha chastina storoni takozh dilitsya u zolotij proporciyi inshoyu tochkoyu peretinu Pentagrama mistit p yat gostrokutnih ta p yat tupokutnih zolotih trikutnikiv U kozhnomu z nih spivvidnoshennya dovzhini dovshoyi ta korotshoyi storoni utvoryuye zolotij peretin Yaksho pobuduvati neskinchennu pentagramu 4 prodovzhiti pravilnu p yatikutnu zirku p yatikutnikami i vistryakami nazovni i vseredinu i nadati yakomus yiyi vidrizku znachennya 1 000 otrimayemo ryad chisel yakij ye poslidovnimi stepenyami chisla F fi F0 1 000 F1 1 6180339 F2 2 6180339 F3 4 2360679 F4 6 8541019 F5 11 0901699 i vseredinu v storonu mensh yak 1 00 F 1 0 6180339 F 2 0 3819660 F 3 0 2360679 F 4 0 1458980 Mozhna viyaviti divnu vlastivist cih dvoh poslidovnostej nazovni i vseredinu vid odinici parni stepeni F dayut cili chisla pri dodavanni Fn F n a neparni pri vidnimanni Fn F n Otrimuyemo cilochiselnij ryad 2 1 3 4 7 11 18 nazvanij ryadom Lyuka Ryad Fibonachchi vihodit shozhim chinom pri dilenni na V5 korin z 5 Fn F n V5 dlya neparnih n 2k 1 i Fn F n V5 dlya parnih n 2k tut navpaki neparni stepeni F dodayutsya a parni vidnimayutsya Obidvi formuli viviv v 19 stolitti francuzkij matematik Zhak Filip Mari Bine 1786 1856 Varto takozh zauvazhiti sho bud yakij ryad z bud yakimi pochatkovimi chislami u yakogo nastupnij chlen vihodit dodavannyam dvoh poperednih X n 1 X n X n 1 displaystyle X n 1 X n X n 1 nbsp u velikih chislah pri n displaystyle n rightarrow infty nbsp pragne do zolotogo spivvidnoshennya mizh susidnimi chlenami Tobto do klasichnoyi formuli znahodzhennya chisla F cherez V5 F 1 V5 2 mi mozhemo dodati she dvi F yak granicya spivvidnoshennya mizh susidnimi chlenami bud yakogo ryadu Fibonachchi F lim X n X n 1 displaystyle Phi lim X n X n 1 nbsp pri n displaystyle n rightarrow infty nbsp i tretya formula vihodit z geometriyi pentagrami F 2 cos 36 displaystyle Phi 2 cos 36 circ nbsp Zastosuvannya i proyavi RedaguvatiZolotij peretin i garmoniya v mistectvi Redaguvati nbsp Zolotij peretin i zorovi centriPid pravilom zolotogo peretinu v arhitekturi ta mistectvi zazvichaj rozumiyutsya kompoziciyi sho mistyat proporciyi blizki do zolotogo peretinu Deyaki z tverdzhen na dokaz gipotezi znannya drevnimi pravila zolotogo peretinu Proporciyi piramidi Heopsa hramiv barelyefiv predmetiv pobutu i prikras z grobnici Tutanhamona svidchat sho yegipetski majstri koristuvalisya spivvidnoshennyami zolotogo pererizu pri yih stvorenni dzherelo Zgidno z Le Korbyuzye v relyefi z hramu faraona Seti I v Abidosi j u relyefi sho zobrazhuye faraona Ramzesa proporciyi figur vidpovidayut zolotomu peretinu U fasadi davnogreckogo hramu Parfenona takozh nayavni zoloti proporciyi U cirkuli z davnorimskogo mista Pompeyi muzej v Neapoli takozh zakladeno proporciyi zolotogo peretinu tosho Pri obgovorenni optimalnih spivvidnoshen storin pryamokutnikiv rozmiri arkushiv paperu A0 i kratni rozmiri fotoplastinok 6 9 9 12 abo kadriv fotoplivki chasto 2 3 rozmiri kino i televizijnih ekraniv napriklad 4 3 abo 16 9 buli viprobuvani najriznomanitnishi varianti Viyavilosya sho bilshist lyudej ne sprijmaye zolotij peretin yak optimalnij i vvazhaye jogo proporciyi zanadto vityagnutimi dzherelo Slid zaznachiti sho sama proporciya ye skorishe etalonnim znachennyam matriceyu vidhilennya vid yakoyi u biologichnih vidiv mozhlivo viklikani pristosuvannyam do navkolishnogo seredovisha v procesi zhittya Prikladom takih vidhilen mozhe sluzhiti morska kambala Vsi proporciyi ta elementi zbudovanoyi priblizno na pochatku XIII stolittya P yatnickoyi cerkvi v Chernigovi perebuvayut u spivvidnoshenni yake majzhe tochno vidpovidaye zolotomu peretinu 5 Zolotij peretin u muzici Redaguvati Doslidzhennya pokazali sho kulminaciya bagatoh tvoriv klasichnoyi muziki roztashovana mizh pochatkom i kincem u spivvidnoshenni 8 5 tobto v tochci zolotogo peretinu Profesor Lev Mazel proanalizuvav tvori majzhe vsih najvidatnishih kompozitoriv i dijshov visnovku sho najchastishe zolotij peretin vikoristovuvali Lyudvig van Bethoven u 97 tvoriv Jozef Gajdn takozh 97 tvoriv Friderik Shopen 92 Volfgang Amadej Mocart 91 Franc Shubert 91 ta bagato inshih kompozitoriv Prikladi svidomogo vikoristannya Redaguvati nbsp Mozayika PenrouzaPochinayuchi z Leonardo da Vinchi bagato hudozhnikiv svidomo vikoristovuvali proporciyi zolotogo peretinu Jogann Sebastyan Bah u svoyij trigolosnij invenciyi E dur 6 BWV 792 vikoristovuvav dvochastnu formu v yakij spivvidnoshennya rozmiriv chastin vidpovidaye proporciyam zolotogo peretinu 1 chastina 17 taktiv 2 chastina 24 takti neveliki nevidpovidnosti virivnyuyutsya zavdyaki fermati v 34 takti Geometriya planu grobnici faraona Starodavnogo Yegiptu Menesa pobudovana z vikoristannyam proporciyi yaku mi zaraz pov yazuyemo z zolotim peretinom 6 V biologiyi ta medicini Redaguvati nbsp Detali roslini Aeonium tabuliforme de vidno bagatokratne spiralne vporyadkuvannya parastihi en Dokladnishe Paterni u prirodiZhivi organizmi takozh mayut vlastivosti harakterni dlya zolotogo peretinu Napriklad proporciyi til spiralni strukturi abo parametri bioritmiv 7 Adolf Cejzing en osnovnimi interesami yakogo buli matematika i filosofiya pomitiv sho zolotij peretin zustrichayetsya u prirodi v strukturi chastin roslin napriklad v rozmishenni listya i gilok zdovzh stebla roslin a takozh vnutrishnih zhilok listkiv Vin prodovzhiv svoye doslidzhennya i znajshov ce spivvidnoshennya v budovi skeletiv tvarin i rozgaluzhen ven ta nerviv v proporciyah himichnih skladovih i geometriyi kristaliv i navit doklav ce do vzhitku v mistectvi Znajshovshi ci paterni u prirodi vin vbachav sho zolotij peretin diye yak universalnij zakon 8 9 Vidnosno ciyeyi shemi zolotogo peretinu v osnovi proporcij lyudskogo tila Cejzing v 1854 sformulyuvav universalnij zakon u yakomu mistitsya osnovnij princip formotvornih pragnen do prekrasnogo i dovershenogo yak u sferi prirodi tak i mistectva i yakij pronizuye vsi strukturi formi ta proporciyi riznoyi prirodi 10 U 2010 v zhurnali Science povidomlyalosya sho zolotij peretin prisutnij v atomnij strukturi u viglyadi magnitnogo rezonansu spiniv v kristalah niobbatu kobaltu 11 U 1991 roci dekilka vchenih visunuli dumku pro mozhlivij zv yazok mizh zolotim peretinom i DNK lyudskogo genomu 12 13 14 Odnak bagato vchenih zaperechili sho bagato tverdzhen shodo viyavlennya zolotogo peretinu v prirodi osoblivo shodo rozmiriv tvarin ye fiktivnimi 15 nbsp Zolotij peretin u prirodiDiv takozh RedaguvatiModulor Trikutnik Keplera Sribnij peretin Pravilo tretin Proporciya Vkladeni radikali Okremi vipadkiDzherela Redaguvati a b v Oleksandr 26 grudnya 2011 r Istoriya zolotogo peretinu Arhiv originalu za 20 chervnya 2018 Procitovano 20 chervnya 2018 Kablova Tetyana 2015 Zolotij peretin yak kompozicijnij princip transmirnosti v muzichnij kulturi Kiyiv NAKKKiM s 161 ISBN 978 966 452 203 5 Arhiv originalu za 19 chervnya 2018 Procitovano 20 chervnya 2018 a b Istoriya viniknennya zolotogo pererizu Zolotij pereriz Procitovano 20 chervnya 2018 Matematika io ua Arhiv originalu za 2 listopada 2016 Procitovano 11 lyutogo 2021 Yu S Asyeyev V O Harlamov Arhitektura derev yana i kam yana Istoriya ukrayinskoyi kulturi u 5 tomah za red P P Tolochka D N Kozaka R S Orlova ta in Kiyiv Naukova dumka 2001 T 1 Istoriya kulturi davnogo naselennya Ukrayini ISBN Stelik N Ye Garmoniya davnoyegipetskoyi arhitekturi Girki BGSHA 2009 108 s Cvyetkov V D Serce zolotij peretin i simetriya Pushino PNC RAN 1997 170 s Arhiv originalu za 27 veresnya 2015 Procitovano 2 lipnya 2015 Richard Padovan 1999 Proportion Taylor amp Francis s 305 306 ISBN 978 0 419 22780 9 Padovan Richard 2002 Proportion Science Philosophy Architecture Nexus Network Journal 4 1 113 122 doi 10 1007 s00004 001 0008 7 Zeising Adolf 1854 Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Korpers preface Golden ratio discovered in a quantum world Eurekalert org 7 sichnya 2010 Arhiv originalu za 9 listopada 2020 Procitovano 31 zhovtnya 2011 J C Perez 1991 Chaos DNA and Neuro computers A Golden Link Arhivovano 11 lipnya 2012 u Archive is in Speculations in Science and Technology vol 14 no 4 ISSN 0155 7785 Yamagishi Michel E B and Shimabukuro Alex I 2007 Nucleotide Frequencies in Human Genome and Fibonacci Numbers Arhivovano 2013 01 04 u Archive is in Bulletin of Mathematical Biology ISSN 0092 8240 print ISSN 1522 9602 online PDF full text nedostupne posilannya Perez J C September 2010 Codon populations in single stranded whole human genome DNA are fractal and fine tuned by the Golden Ratio 1 618 Interdisciplinary Sciences Computational Life Science 2 3 228 240 PMID 20658335 doi 10 1007 s12539 010 0022 0 PDF full text Arhivovano 5 bereznya 2016 u Wayback Machine Pommersheim James E Tim K Marks and Erica L Flapan eds 2010 Number Theory A Lively Introduction with Proofs Applications and Stories John Wiley and Sons 82 Posilannya RedaguvatiGrant Arakelyan Matematika i istoriya zolotogo secheniya Logos 2014 404 s ISBN 978 5 98704 663 0 ros Pro krasu koristi i korist krasi Arhivovano 15 bereznya 2016 u Wayback Machine Dzerkalo tizhnya K V Kirkach Zolotij peretin u dizajni osvitlyuvalnih ustanovok Svitlo lyuks A D Berdukidze Zolotoe sechenie Arhivovano 11 zhovtnya 2004 u Wayback Machine Kvant 8 1973 ros Glosarij terminiv z himiyi J Opejda O Shvajka In t fiziko organichnoyi himiyi ta vuglehimiyi im L M Litvinenka NAN Ukrayini Doneckij nacionalnij universitet Doneck Veber 2008 758 s ISBN 978 966 335 206 0 Zolote sichennya u fotografiyi Kuzko Kuzyakin Sho take matematika Harkiv Yunisoft 2018 r ISBN 978 966 935 593 5 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Zolotij peretin amp oldid 40422837