| Ця стаття не містить посилань на джерела. (липень 2013) |
Подібність — перетворення евклідового простору, при якому для будь-яких двох точок , та їх образів , має місце співвідношення , де — додатне число, яке називають коефіцієнтом подібності.
Приклади
- Кожна гомотетія є подібністю.
- Кожний рух (в тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом .
Зв'язані визначення
- Фігура називається подібною до фігури , якщо існує перетворення подібності, при якому .
- Подібність фігур є відношенням еквівалентності.
Властивості
- Подібність є взаємно однозначне перетворення евклідового простору на себе.
- Подібність зберігає порядок точок на прямій, тобто якщо точка лежить між , і , , — відповідні їх образи при деякому перетворенні подібності, тоді також лежить між точками і .
- Точки, що не лежать на прямій, переходять в точки, що не лежать на прямій.
- Подібність перетворює пряму в пряму, відрізок у відрізок, промінь в промінь, кут в кут, коло в коло.
- При подібності кут зберігає величину.
- Подібність з коефіцієнтом , яка перетворює пряму в паралельну їй пряму, є гомотетією з коєфіцієнтом або .
- Кожну подібність можна розглядати як композицію руху і деякої гомотетії з додатним коефіцієнтом.
- Подібність називається власною (невласною), якщо рух є власним (невласним). Власна подібність зберігає орієнтацію фігур, а невласна — змінює орієнтацію на протилежну.
- Два трикутники є подібними, якщо
- їх відповідні кути однакові
- сторони пропорційні (див. подібність трикутників).
- Площі подібних фігур пропорційні квадратам їх схожих ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (або радіусів).
Узагальнення
Аналогічно визначається подібність (зі збереженням вказаних вище властивостей) в 3-вимірному евклідовому просторі, а також в -вимірному евклідовому та псевдо-евклідовому просторі.