www.wikidata.uk-ua.nina.az

Псевдоевклідів простір скінченномірний дійсний векторний простір або афінний простір з невиродженним індефінітним скаляр

Псевдоевклідів простір

Псевдоевклідів простір — скінченномірний дійсний векторний простір або афінний простір з невиродженним індефінітним скалярним добутком, який називають також індефінітною метрикою. Індефінітна метрика не є метрикою у сенсі визначення метричного простору, а являє собою частковий випадок метричного тензора.

Найважливішим прикладом псевдоевклідового простору є простір Мінковського.

Сигнатура псевдоевклідового простору Редагувати

Обравши відповідний базис векторного псевдоевклідового простору , завжди можна домогтися того, щоб індефінітний скалярний добуток цього простору мав вигляд

де та  — вектори простору . Зокрема, скалярний квадрат вектора має вигляд

і може бути як додатнім, так і від'ємним числом, а також нулем (навіть для ненульового вектора ). Відповідно, довжина вектора , визначена рівністю

є або дійсним додатнім, або чисто уявним числом, або нулем.

Аналогічно, вибором репера завжди можна домогтися того, щоб відстань між точками -вимірного афінного псевдоевклідового простору з координатами і записувалось у вигляді

Базиси і репери з такою властивістю називаються ортонормованими.

Пара чисел (які задають кількість базисних векторів дійсної і чисто уявної довжини, відповідно) не залежить від вибору ортонормованого базису або репера (закон інерції Сільвестра) і називається сигнатурою псевдоевклідового простору.

Псевдоевклідові простори з різними сигнатурами не ізометричні один одному. Утім, простір із сигнатурою може бути перетворений в простір з сигнатурою зміною знаку скалярного добутку, і тому відмінності між такими просторами зазвичай не роблять: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається або як простір сигнатури , або як простір сигнатури . Таким чином, кожному виміру відповідає (де прямі дужки означають взяття цілої частини) різних -вимірних псевдоевклідових просторів.

Ізотропні вектори, напрямки, конуси Редагувати

Важливою особливістю просторів з індефінітною метрикою є наявність ненульових векторів, які мають нульову довжину. Такі вектори (а також прямі, напрямними векторами яких вони є) називаються ізотропними або світлоподібними (останнє найменування частіше використовується у фізиці, воно пов'язане з простором Мінковського). Підпростір векторного псевдоевклідова простору називається ізотропним, якщо він повністю складається з ізотропних векторів.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова векторного простору називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору. Світловий конус простору сигнатури не має «граней», тобто ізотропних підпросторів вимірності понад 1.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова афінного простору, відкладених від довільної фіксованої точки, називається ізотропним конусом (або світловим конусом) простору в цій точці. Ця множина справді є конусом (в узагальненому сенсі цього поняття) з вершиною в цій точці. Ізотропні конуси псевдоевклідового афінного простору з вершинами в різних точках можна отримати один з одного за допомогою паралельного перенесення.

Зокрема, псевдоевклідова векторна площина має рівно два ізотропних напрямки. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду ізотропні напрямки — прямі тому ізотропний конус складається з об'єднання цих двох прямих.

Тривимірний псевдоевклідовий векторний простір має нескінченну кількість ізотропних напрямків. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду ізотропні напрямки — це всі прямі, що лежать на ізотропному конусі який в цьому випадку являє собою справжній конус.

Підпростори псевдоевклідового простору Редагувати

Взаємне розташування площини та ізотропного конуса в тривимірному псевдоевклідовому просторі

Підпростір псевдоевклідового простору із сигнатурою не обов'язково є теж псевдоевклідовим; він може бути й евклідовим простором. Наприклад, у тривимірному псевдоевклідовому просторі із сигнатурою площина може бути або псевдоевклідовим простором з сигнатурою , або евклідовим простором, або мати вироджений скалярний добуток. Геометрично ці три випадки визначаються розташуванням площини відносно ізотропного конуса (див. рисунок). А саме: площина є псевдоевклідовою, якщо вона перетинає ізотропний конус по двох різних прямих (ізотропних напрямках); обмеження скалярного добутку на площину вироджене, якщо дотикається ізотропного конуса, тобто, перетинається з ним лише по одній прямій; нарешті, площина є евклідовою, якщо вона має з ізотропним конусом єдину спільну точку (вершину конуса).

Кола та сфери Редагувати

З точки зору геометрії псевдоевклідової площини, колами довільного ненульового (дійсного або чисто уявного) радіуса є гіперболи. Аналогічно, у тривимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури сферами ненульового дійсного радіуса є однопорожнинні гіперболоїди, а сферами ненульового чисто уявного радіуса — двопорожнинні гіперболоїди. Аналогічна ситуація в просторах більшої кількості вимірів, наприклад, у чотиривимірному просторі сигнатури (3,1).

За своїми геометричними властивостям кожна з двох «половин» гіперсфери уявного радіуса в -вимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури є -вимірним простором Лобачевського. Простори вимірності (від до ) в цьому просторі Лобачевського відповідають підпросторам вимірності початкового псевдоевклідового простору, які проходять через початок координат і перетинають гіперсферу уявного радіуса, а його рухи відповідають перетворенням Лоренца.

Зворотна нерівність Коші — Буняковського Редагувати

У псевдоевклідовому просторі з сигнатурою для всіх векторів уявної довжини виконана нерівність, зворотня нерівності Коші-Буняковського для евклідових просторів:

Застосування у фізиці Редагувати

Найважливішим окремим випадком псевдоевклідового простору є простір Мінковського, що використовується в спеціальній теорії відносності як простір-час, в якому метрика сигнатури (1,3) Лоренц-інваріантна (тільки псевдоевклідова метрика може бути Лоренц-інваріантною), а для часоподібності двох подій довжина (у сенсі такої метрики) кривої, що з'єднує ці події і теж усюди часоподібній, є час між ними, виміряний по годиннику, рух якого описується в просторі-часі цієї кривої. Ізотропні напрямки є напрямами поширення світла і називаються також нульовими або світлоподібними.

Теоретична фізика розглядає псевдоевклідові простори й іншої вимірності, однак зазвичай метрика в них має сигнатуру ,тобто це простори з однією часовою координатою та n — просторовими.

Приклади Редагувати

Властивості Редагувати

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  1. ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. VII, пар. 7, — Физматлит, Москва, 2009.

Література Редагувати

  • Walter Noll (1964) «Euclidean geometry and Minkowskian chronometry», American Mathematical Monthly 71:129—44.
  • Poincaré, Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (английский перевод) с.266.
  • Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607. 
  • Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. — Энциклопедия элементарной математики. Том V. Геометрия
  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — Будь-яке видання.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
  • Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Psevdoevklidiv prostir skinchennomirnij dijsnij vektornij prostir abo afinnij prostir z nevirodzhennim indefinitnim skalyarnim dobutkom yakij nazivayut takozh indefinitnoyu metrikoyu Indefinitna metrika ne ye metrikoyu u sensi viznachennya metrichnogo prostoru a yavlyaye soboyu chastkovij vipadok metrichnogo tenzora Najvazhlivishim prikladom psevdoevklidovogo prostoru ye prostir Minkovskogo Zmist 1 Signatura psevdoevklidovogo prostoru 2 Izotropni vektori napryamki konusi 3 Pidprostori psevdoevklidovogo prostoru 4 Kola ta sferi 5 Zvorotna nerivnist Koshi Bunyakovskogo 6 Zastosuvannya u fizici 7 Prikladi 8 Vlastivosti 9 Div takozh 10 Dzherela 11 LiteraturaSignatura psevdoevklidovogo prostoru RedaguvatiObravshi vidpovidnij bazis vektornogo psevdoevklidovogo prostoru L displaystyle L nbsp zavzhdi mozhna domogtisya togo shob indefinitnij skalyarnij dobutok cogo prostoru mav viglyad x y x 1 y 1 x m y m x m 1 y m 1 x n y n displaystyle langle x y rangle x 1 y 1 ldots x m y m x m 1 y m 1 ldots x n y n nbsp de x x 1 x n displaystyle x x 1 ldots x n nbsp ta y y 1 y n displaystyle y y 1 ldots y n nbsp vektori prostoru L displaystyle L nbsp Zokrema skalyarnij kvadrat vektora maye viglyad x x x 1 2 x m 2 x m 1 2 x n 2 displaystyle langle x x rangle x 1 2 ldots x m 2 x m 1 2 ldots x n 2 nbsp i mozhe buti yak dodatnim tak i vid yemnim chislom a takozh nulem navit dlya nenulovogo vektora x displaystyle x nbsp Vidpovidno dovzhina vektora x displaystyle x nbsp viznachena rivnistyu x x x displaystyle x sqrt langle x x rangle nbsp ye abo dijsnim dodatnim abo chisto uyavnim chislom abo nulem Analogichno viborom repera zavzhdi mozhna domogtisya togo shob vidstan mizh tochkami n displaystyle n nbsp vimirnogo afinnogo psevdoevklidovogo prostoru z koordinatami x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp i y 1 y n displaystyle y 1 ldots y n nbsp zapisuvalos u viglyadi d x y x 1 y 1 2 x m y m 2 x m 1 y m 1 2 x n y n 2 displaystyle d x y sqrt x 1 y 1 2 ldots x m y m 2 x m 1 y m 1 2 ldots x n y n 2 nbsp Bazisi i reperi z takoyu vlastivistyu nazivayutsya ortonormovanimi Para chisel m n m displaystyle m n m nbsp yaki zadayut kilkist bazisnih vektoriv dijsnoyi i chisto uyavnoyi dovzhini vidpovidno ne zalezhit vid viboru ortonormovanogo bazisu abo repera zakon inerciyi Silvestra i nazivayetsya signaturoyu psevdoevklidovogo prostoru Psevdoevklidovi prostori z riznimi signaturami ne izometrichni odin odnomu Utim prostir iz signaturoyu m n m displaystyle m n m nbsp mozhe buti peretvorenij v prostir z signaturoyu n m m displaystyle n m m nbsp zminoyu znaku skalyarnogo dobutku i tomu vidminnosti mizh takimi prostorami zazvichaj ne roblyat zokrema prostir Minkovskogo v riznih dzherelah viznachayetsya abo yak prostir signaturi 1 3 displaystyle 1 3 nbsp abo yak prostir signaturi 3 1 displaystyle 3 1 nbsp Takim chinom kozhnomu vimiru n displaystyle n nbsp vidpovidaye n 2 displaystyle left n 2 right nbsp de pryami duzhki oznachayut vzyattya ciloyi chastini riznih n displaystyle n nbsp vimirnih psevdoevklidovih prostoriv Izotropni vektori napryamki konusi RedaguvatiVazhlivoyu osoblivistyu prostoriv z indefinitnoyu metrikoyu ye nayavnist nenulovih vektoriv yaki mayut nulovu dovzhinu Taki vektori a takozh pryami napryamnimi vektorami yakih voni ye nazivayutsya izotropnimi abo svitlopodibnimi ostannye najmenuvannya chastishe vikoristovuyetsya u fizici vono pov yazane z prostorom Minkovskogo Pidprostir vektornogo psevdoevklidova prostoru nazivayetsyaizotropnim yaksho vin povnistyu skladayetsya z izotropnih vektoriv Mnozhina vsih izotropnih vektoriv psevdoevklidova vektornogo prostoru nazivayetsyaizotropnim konusom abo svitlovim konusom cogo prostoru Svitlovij konus prostoru signaturi 1 n 1 displaystyle 1 n 1 nbsp ne maye granej tobto izotropnih pidprostoriv vimirnosti ponad 1 1 Mnozhina vsih izotropnih vektoriv psevdoevklidova afinnogo prostoru vidkladenih vid dovilnoyi fiksovanoyi tochki nazivayetsya izotropnim konusom abo svitlovim konusom prostoru v cij tochci Cya mnozhina spravdi ye konusom v uzagalnenomu sensi cogo ponyattya z vershinoyu v cij tochci Izotropni konusi psevdoevklidovogo afinnogo prostoru z vershinami v riznih tochkah mozhna otrimati odin z odnogo za dopomogoyu paralelnogo perenesennya Zokrema psevdoevklidova vektorna ploshina maye rivno dva izotropnih napryamki V ortonormovanomu bazisi de skalyarnij kvadrat vektora nabuvaye viglyadu x x x 1 2 x 2 2 displaystyle langle x x rangle x 1 2 x 2 2 nbsp izotropni napryamki pryami x 1 x 2 0 displaystyle x 1 pm x 2 0 nbsp tomu izotropnij konus skladayetsya z ob yednannya cih dvoh pryamih Trivimirnij psevdoevklidovij vektornij prostir maye neskinchennu kilkist izotropnih napryamkiv V ortonormovanomu bazisi de skalyarnij kvadrat vektora nabuvaye viglyadu x x x 1 2 x 2 2 x 3 2 displaystyle langle x x rangle x 1 2 x 2 2 x 3 2 nbsp izotropni napryamki ce vsi pryami sho lezhat na izotropnomu konusi x 1 2 x 2 2 x 3 2 0 displaystyle x 1 2 x 2 2 x 3 2 0 nbsp yakij v comu vipadku yavlyaye soboyu spravzhnij konus Pidprostori psevdoevklidovogo prostoru Redaguvati nbsp Vzayemne roztashuvannya ploshini ta izotropnogo konusa v trivimirnomu psevdoevklidovomu prostoriPidprostir psevdoevklidovogo prostoru iz signaturoyu n m m displaystyle n m m nbsp ne obov yazkovo ye tezh psevdoevklidovim vin mozhe buti j evklidovim prostorom Napriklad u trivimirnomu psevdoevklidovomu prostori iz signaturoyu 2 1 displaystyle 2 1 nbsp ploshina P displaystyle Pi nbsp mozhe buti abo psevdoevklidovim prostorom z signaturoyu 1 1 displaystyle 1 1 nbsp abo evklidovim prostorom abo mati virodzhenij skalyarnij dobutok Geometrichno ci tri vipadki viznachayutsya roztashuvannyam ploshini P displaystyle Pi nbsp vidnosno izotropnogo konusa div risunok A same ploshina P displaystyle Pi nbsp ye psevdoevklidovoyu yaksho vona peretinaye izotropnij konus po dvoh riznih pryamih izotropnih napryamkah obmezhennya skalyarnogo dobutku na ploshinu P displaystyle Pi nbsp virodzhene yaksho P displaystyle Pi nbsp dotikayetsya izotropnogo konusa tobto peretinayetsya z nim lishe po odnij pryamij nareshti ploshina P displaystyle Pi nbsp ye evklidovoyu yaksho vona maye z izotropnim konusom yedinu spilnu tochku vershinu konusa Kola ta sferi RedaguvatiZ tochki zoru geometriyi psevdoevklidovoyi ploshini kolami dovilnogo nenulovogo dijsnogo abo chisto uyavnogo radiusa ye giperboli Analogichno u trivimirnomu psevdoevklidovomu prostori signaturi 2 1 displaystyle 2 1 nbsp sferami nenulovogo dijsnogo radiusa ye odnoporozhninni giperboloyidi a sferami nenulovogo chisto uyavnogo radiusa dvoporozhninni giperboloyidi Analogichna situaciya v prostorah bilshoyi kilkosti vimiriv napriklad u chotirivimirnomu prostori signaturi 3 1 Za svoyimi geometrichnimi vlastivostyam kozhna z dvoh polovin gipersferi uyavnogo radiusa v n 1 displaystyle n 1 nbsp vimirnomu psevdoevklidovomu prostori signaturi n 1 displaystyle n 1 nbsp ye n displaystyle n nbsp vimirnim prostorom Lobachevskogo Prostori vimirnosti k displaystyle k nbsp vid 0 displaystyle 0 nbsp do n 1 displaystyle n 1 nbsp v comu prostori Lobachevskogo vidpovidayut pidprostoram vimirnosti k 1 displaystyle k 1 nbsp pochatkovogo psevdoevklidovogo prostoru yaki prohodyat cherez pochatok koordinat i peretinayut gipersferu uyavnogo radiusa a jogo ruhi vidpovidayut peretvorennyam Lorenca Zvorotna nerivnist Koshi Bunyakovskogo RedaguvatiU psevdoevklidovomu prostori z signaturoyu n 1 1 displaystyle n 1 1 nbsp dlya vsih vektoriv uyavnoyi dovzhini vikonana nerivnist zvorotnya nerivnosti Koshi Bunyakovskogo dlya evklidovih prostoriv 1 x x lt 0 y y lt 0 x y 2 x x y y displaystyle langle x x rangle lt 0 langle y y rangle lt 0 Rightarrow langle x y rangle 2 geqslant langle x x rangle cdot langle y y rangle nbsp Zastosuvannya u fizici RedaguvatiNajvazhlivishim okremim vipadkom psevdoevklidovogo prostoru ye prostir Minkovskogo sho vikoristovuyetsya v specialnij teoriyi vidnosnosti yak prostir chas v yakomu metrika signaturi 1 3 Lorenc invariantna tilki psevdoevklidova metrika mozhe buti Lorenc invariantnoyu a dlya chasopodibnosti dvoh podij dovzhina u sensi takoyi metriki krivoyi sho z yednuye ci podiyi i tezh usyudi chasopodibnij ye chas mizh nimi vimiryanij po godinniku ruh yakogo opisuyetsya v prostori chasi ciyeyi krivoyi Izotropni napryamki ye napryamami poshirennya svitla i nazivayutsya takozh nulovimi abo svitlopodibnimi Teoretichna fizika rozglyadaye psevdoevklidovi prostori j inshoyi vimirnosti odnak zazvichaj metrika v nih maye signaturu 1 n displaystyle 1 n nbsp tobto ce prostori z odniyeyu chasovoyu koordinatoyu ta n prostorovimi Prikladi RedaguvatiDlya evklidovogo prostoru zavzhdi k n displaystyle k n nbsp tomu kvadratichna forma ye dodatnooznachenoyu Vazhlivim psevdoevklidovim prostorom ye prostir Minkovskogo dlya yakogo n 4 k 3 displaystyle n 4 k 3 nbsp Najprostishim psevdoevklidovim prostorom ye ploshina podvijnih chisel z x y j z kvadratichnoyu formoyu z z z z z x 2 y 2 displaystyle lVert z rVert zz z z x 2 y 2 nbsp Vlastivosti Redaguvati q x displaystyle q x nbsp ne ye normoyu oskilki vona ne ye nevid yemnoyu i dlya neyi ne vikonuyetsya nerivnist trikutnika U psevdoevklidovomu prostori na vidminu vid evklidovogo isnuyut nenulovi vektori nulovoyi dovzhini q x 0 displaystyle q x leqslant 0 nbsp Div takozh RedaguvatiEvklidiv prostir Peretvorennya Lorenca Metrika Lorenca Prostori Bervalda MooraDzherela Redaguvati a b Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya gl VII par 7 Fizmatlit Moskva 2009 Literatura RedaguvatiWalter Noll 1964 Euclidean geometry and Minkowskian chronometry American Mathematical Monthly 71 129 44 Poincare Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B A Rosenfeld A History of Non Euclidean Geometry Springer 1988 anglijskij perevod s 266 Szekeres Peter 2004 A course in modern mathematical physics groups Hilbert space and differential geometry Cambridge University Press ISBN 0521829607 Aleksandrov P S Markushevich A I Hinchin A Ya Enciklopediya elementarnoj matematiki Tom V Geometriya Rashevskij P K Rimanova geometriya i tenzornyj analiz Bud yake vidannya Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya Fizmatlit Moskva 2009 Dubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya metody i prilozheniya Bud yake vidannya Ivanov A O Tuzhilin A A Lekcii po klassicheskoj differencialnoj geometrii Logos Moskva 2009 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Psevdoevklidiv prostir amp oldid 40544290