www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіпербола математика У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Гіпербола Гіпербола грец ὑπερβολή крива другог

Гіпербола (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Гіпербола.

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю. Гіпербола є одним із трьох видів конічних перетинів, що утворені перетином подвоєного конуса площиною. (Іншими конічними перетинами є парабола і еліпс. Коло є особливим випадком еліпса.) Якщо площина перетинає обидві половини подвоєного конуса, але не проходить через верхівку конусів, тоді крива, по якій перетинається конус є гіперболою.

Гіпербола
Формула
 Гіпербола у Вікісховищі
Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину конічної поверхні площиною.

Гіпербола зустрічається у багатьох випадках застосування:

та ін.

Етимологія і історія

Слово "гіпербола" походить від грецького слова ὑπερβολή, що означає "кидати над" або "надмірний". Гіперболу відкрив математик Менехм при досліджені задачі подвоєння куба, а лише потім була пов'язана із перетином конусів. Термін гіпербола вважають було започатковане Аполлонієм Перзьким (c. 262–c. 190 до н.е.) у його роботі по дослідженню конічних перетинів, Конуси. Назви двох інших конічних перетинів, еліпса і параболи, були утворені від відповідних грецьких слів "неповнота" і "прикладний"; всі ці назви були запозичені із ранньої піфагорійської термінології, які мали відношення до порівняння сторін прямокутників однакової площі із заданим прямим відрізком. Прямокутник може бути "прикладений" рівно до сегменту (що означає, має таку ж довжину), бути коротшим за сегмент, або перевищувати його.

Визначення

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:

де та  — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо . Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до однойменної директриси дорівнює .

Властивості

{| style="float:right"

|}

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи , то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

рівняння рівнобічної гіперболи

матиме вигляд:

звідки випливає, що по відношенню до координат та рівнобічна гіпербола являє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах та маємо такий саме графік обернений на кут .

При (а також при ) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис (відповідно, до осі ординат ), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах , ці асимптоти є бісектрисами та координатних кутів.

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

  • число , що зветься дійсною напіввіссю;
  • число , що зветься уявною напіввіссю;
  • число , що зветься лінійним ексцентриситетом;
  • число , що зветься фокусною відстаню;
  • число , що називається числовим ексцентриситетом;
  • число , що зветься фокальним параметром;
  • вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
  • вісь ординат, що зветься уявною віссю;
  • точка , що зветься центром;
  • точки , що звуться вершинами;
  • точки , що звуться фокусами;
  • прямі , що звуться директрисами.

Полярні координати

Гіпербола: Полярні координати в яких полюс = фокусу
Гіпербола: Полярні координати в яких полюс = центру

полюс = фокус:

Полярні координати для гіперболи зазвичай використовуються для декартової системи координат, таким чином що їх початок координат знаходиться у фокусі а вісь x направлена в початок "канонічної системи координат" як показано на першому графіку.
В такому випадку кут називають справжньою аномалією.

Відповідно до цієї системи координат маємо

і

полюс = центр:

Якщо полярні координати відповідають "канонічній системі координат" (див другий графік) будемо мати

Для правої гілки гіперболи діапазон для становить

Еліптичні координати

Сукупність конфокальних гіпербол утворюють базис системи еліптичних координат[en] для двох вимірів. Гіперболи описуються наступним рівнянням

де фокуси знаходяться на відстані c від початку осі x, і де θ є кутом асимптоти утвореним із віссю x. Кожна гіпербола в цій родині гіпербол є ортогональною до кожного еліпса що мають спільні фокуси. Ортогональність можна показати за допомогою конформного відображення Декартової системи координат w = z + 1/z, де z= x + iy є початковими декартовими координатами, а w=u + iv є координатами, що отримані після перетворення.

Іншу ортогональні двовимірні системи координат, що мають справу з гіперболами можна отримати за допомогою іншого конформного відображення. Наприклад, відображення w = z2 перетворює декартову систему координат на дві сукупності ортогональних гіпербол.

Параметричні рівняння

Гіпербола представлена рівнянням може бути задана за допомогою декількох параметричних рівнянь:

Ортогональні дотичні - ортоптика

Гіпербола і її ортоптика (фіолетовим)

Для гіперболи точки перетину ортогональних дотичних лежать на колі .
Це коло називають ортоптикою[en] даної гіперболи.

Дотичні можуть проходити через точки різних гілок гіперболи.

У випадку не існує жодної пари ортогональних дотичних.

Інші математичні визначення

Квадратичне рівняння

Гіперболу можна задати за допомогою рівняння другого степеня у декартовій системі координат (x, y) на площині,

за умови, що константи Axx, Axy, Ayy, Bx, By, і C задовольняють умову детермінанта

Цей детермінант зазвичай називають дискримінантом конічного перетину.

Особливим випадком гіперболи є вироджена гіпербола[en], що є двома прямими, що перетинаються у випадку коли детермінант дорівнює нулю:

Детермінант позначають як Δ і іноді називають дискримінантом конічного перетину.

Із заданої загальної параметризації гіперболи у декартовій площині, ексцентриситет можна знайти використовуючи формулу.

Центр (xc, yc) гіперболи можна знайти за допомогою формули:

В рамках цих нових координат, ξ = x − xc і η = y − yc, рівняння для визначення гіперболи можна записати наступним чином:

Головні осі гіперболи утворюють кут φ із додатною частиною осі x, який визначається рівнянням

Поворот координатних осей таким чином, що вісь x буде вирівняна із поперечною віссю приводить це рівняння у відому канонічну форму

Велика і мала півосі a і b визначаються рівняннями

де λ1 and λ2 є коренями квадратного рівняння

Для порівняння, відповідне рівняння для виродженої гіперболи (що складається із двох прямих, які перетинаються) є наступним

Дотична пряма у заданій точці (x0, y0), що належить гіперболі визначається рівнянням

де E, F і G задаються як

Пряма нормалі відносно гіперболи в тій самій точці буде задаватися даним рівнянням

Нормаль перпендикулярна дотичній прямій, і обидві вони проходять через одну задану точку (x0, y0).

Із рівняння

лівим фокусом є і правим фокусом є де e є ексцентриситетом. Позначимо відстані від точки (x, y) до лівого і правого фокусів як і Для точки на правій гілці,

для точки лівої гілки,

Це можна довести наступним чином:

Якщо (x,y) є точкою, що належить гіперболі, відстань до точки лівого фокусу буде

Точка правого фокусу буде на відстані

Якщо (x,y) є точкою правої гілки гіперболи, тоді і

Віднімаючи ці рівняння, отримуємо

Якщо (x,y) є точкою лівої гілки гіперболи, тоді і

Віднімаючи ці рівняння, отримуємо

Аналіз конічних перетинів гіперболічного представлення кіл

Центральна проєкція кіл на сфері: Центр проєкції O знаходиться в середині сфери, площина проєктування показана червоним.
При проєктування кіл може бути отримане коло (фіолетове), еліпси, гіперболи і прямі. Особливий випадок - парабола, не показана в цьому прикладі.
(Якби центр O знаходився б на сфері, всі проєкції кіл були б колами або лініями; див. стереографічні проєкції).

Крім забезпечення загального описання для кіл, еліпсів, парабол і гіпербол, конічні перетини можна розуміти як природну модель для вивчення геометрії перспективи, якщо вважати, що сцена яку спостерігають складається із кіл, або в більш загальному вигляді із еліпсів. Спостерігач, зазвичай це камера або око людини, проєктують сцену у вигляді центральної проєкції на площину проєктування (зображення), тобто всі промені проєкції проходять через одну фіксовану точку O, що є центром. Площиною лінзи є площина паралельна площині зображення і що проходить через центр лінзи O.

Проєкцією кола c буде

(Особливий випадок, коли площина кола містить точку O опускається.)

Ці висновки можна зрозуміти якщо уявити, як процес проєктування можна розбити на два кроки: 1) коло c і точка O утворюють конус який 2) зрізаний площиною проєктування, для того, щоб утворити зображення.

Спостерігач буде бачити гіперболу, коли бачить частину кола, яке перетинає площина лінзи. Не можливість побачити досить велику частину розгалужених гілок гіперболи, не дає фактично людській системі зору ідентифікувати зв'язок із гіперболами.

Застосування

Гіперболічні лінії відхилення на сонячному годиннику

Сонячний годинник

Гіперболу можна побачити при використанні багатьох сонячних годинників. У будь-який день, Сонце проходить коло по небесній сфері, а його промені що потрапляють на вказівник сонячного годинника виписують конус світла. Перетин цього конуса із горизонтальною площиною землі утворює конічний перетин. У більш населених широтах і в більшій частині року цей конічний перетин утворює гіперболу. В більш простих термінах, тінь кінчика вказівника описує гіперболу на землі із проходом дня (цю траєкторію називають лінією відхилення). Форма цієї гіперболи змінюється в залежності від географічної широти і з періодом року, оскільки ці фактори впливають на те, як буде падати конус сонячних променів відносно горизонту. Сукупність таких гіпербол для всього року для даної місцевості грецькою мовою називається пелекінон, оскільки вона нагадує подвійну сокиру.

Мультілатерація

Гіпербола є основою для вирішення задачі мультилатерації, задачі визначення точки місцезнаходження за різницею відстаней до заданої множини точок — або, еквівалентно, по різниці часу надходження синхронізованих сигналів між точкою місцезнаходження і заданими точками. Ця задача є важлива для навігації, зокрема на воді; коли корабель може визначити своє місцезнаходження по різниці часу проходження сигналу від передавачів LORAN або GPS.

Траєкторія руху частинки

Шлях, по якому рухається частинка в класичній задачі Кеплера є конічним перетином. Зокрема, загальна енергія E частинки є більшою за нуль (коли частинка є вільною), траєкторією руху такої частинки буде гіпербола. Ця властивість є корисною для вивчення атомних і суб-атомних сил за допомогою розсіювання частинок, що мають високу енергію; наприклад, Експеримент Гейгера-Марсдена який продемонстрував існування ядра атома через дослідження розсіювання альфа частинок атомів золота. Якщо ігнорувати ядерну взаємодію на короткій відстані, атомні ядра і альфа частинки взаємодіють лише через сили відштовхування із закону Кулона, що відповідає вимогам закону обернених квадратів для задачі Кеплера.

Рівняння Кортевега – де Фріза

Гіперболічна тригонометрична функція є одним із рішень рівняння Кортевега – де Фріза, яке описує рух солітонної хвилі в каналі.

Інші криві другого порядку

Див. також

Примітки

  1. Heath, Sir Thomas Little (1896). . Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject. Cambridge University Press. с. xvii–xxx. Архів оригіналу за 9 жовтня 2016. Процитовано 16 січня 2018. .
  2. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). . Wiley. с. 73. ISBN 9780470630563. Архів оригіналу за 27 червня 2014. Процитовано 16 січня 2018. «It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves.» 
  3. Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Vol. One). Allyn and Bacon. с. 30–31. 
  4. ↑ Корн Г., Корн Т. (1984). 2.4-8. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 
  5. ↑ Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 
  6. Fanchi, John R. (2006). . John Wiley and Sons. с. 44–45. ISBN 0-471-75715-2. Архів оригіналу за 29 травня 2016. Процитовано 18 січня 2018. , Section 3.2, page 45 [ 26 квітня 2016 у Wayback Machine.]
  7. Korn, Granino A. and Korn, Theresa M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, Dover Publ., second edition, 2000: p. 40.

Література

  • Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Giperbola Giperbola grec ὑperbolh kriva drugogo poryadku z ekscentrisitetom bilshim za odinicyu Giperbola ye odnim iz troh vidiv konichnih peretiniv sho utvoreni peretinom podvoyenogo konusa ploshinoyu Inshimi konichnimi peretinami ye parabola i elips Kolo ye osoblivim vipadkom elipsa Yaksho ploshina peretinaye obidvi polovini podvoyenogo konusa ale ne prohodit cherez verhivku konusiv todi kriva po yakij peretinayetsya konus ye giperboloyu GiperbolaFormulax 2 a 2 y 2 b 2 1 frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 Giperbola u VikishovishiGiperbola ye vidkritoyu krivoyu z dvoma gilkami sho utvoryuyetsya vnaslidok peretinu konichnoyi poverhni ploshinoyu Giperbola zustrichayetsya u bagatoh vipadkah zastosuvannya ce kriva sho zadayetsya funkciyeyu f x 1 x displaystyle f x 1 x na dekartovij ploshini ce shlyah yakij opisuye tin kinchika vkazivnika sonyachnogo godinnika ce forma ne zamknenoyi vidkritoyi orbiti sho vidriznyayetsya vid zamknenoyi eliptichnoyi orbiti yakij bude sliduvati kosmichnij aparat yakij perevishiv drugu kosmichnu shvidkist v zoni diyi gravitaciyi najblizhchogo astronomichnogo tila v radio navigaciyi en koli mozhlivo viznachiti riznicyu v vidstani mizh dvoma tochkami ale ne znachennya samoyi vidstani ta in Zmist 1 Etimologiya i istoriya 2 Viznachennya 3 Vlastivosti 4 Polyarni koordinati 5 Eliptichni koordinati 6 Parametrichni rivnyannya 7 Ortogonalni dotichni ortoptika 8 Inshi matematichni viznachennya 8 1 Kvadratichne rivnyannya 9 Analiz konichnih peretiniv giperbolichnogo predstavlennya kil 10 Zastosuvannya 10 1 Sonyachnij godinnik 10 2 Multilateraciya 10 3 Trayektoriya ruhu chastinki 10 4 Rivnyannya Kortevega de Friza 11 Inshi krivi drugogo poryadku 12 Div takozh 13 Primitki 13 1 Literatura 14 PosilannyaEtimologiya i istoriya RedaguvatiSlovo giperbola pohodit vid greckogo slova ὑperbolh sho oznachaye kidati nad abo nadmirnij Giperbolu vidkriv matematik Menehm pri doslidzheni zadachi podvoyennya kuba a lishe potim bula pov yazana iz peretinom konusiv 1 Termin giperbola vvazhayut bulo zapochatkovane Apolloniyem Perzkim c 262 c 190 do n e u jogo roboti po doslidzhennyu konichnih peretiniv Konusi 2 Nazvi dvoh inshih konichnih peretiniv elipsa i paraboli buli utvoreni vid vidpovidnih greckih sliv nepovnota i prikladnij vsi ci nazvi buli zapozicheni iz rannoyi pifagorijskoyi terminologiyi yaki mali vidnoshennya do porivnyannya storin pryamokutnikiv odnakovoyi ploshi iz zadanim pryamim vidrizkom Pryamokutnik mozhe buti prikladenij rivno do segmentu sho oznachaye maye taku zh dovzhinu buti korotshim za segment abo perevishuvati jogo 3 Viznachennya RedaguvatiGiperbola ye nevirodzhenoyu krivoyu drugogo poryadku yaka zadayetsya rivnyannyam 4 x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 de a gt 0 displaystyle a gt 0 ta b gt 0 displaystyle b gt 0 parametri Take rivnyannya nazivayetsya kanonichnim rivnyannyam giperboli 5 Nehaj kanonichne rivnyannya krivoyi drugogo poryadku shlyahom perenosu centru koordinat peretvoreno u viglyad y 2 2 p x 1 e 2 x 2 displaystyle y 2 2px 1 varepsilon 2 x 2 V comu vipadku kriva prohodit cherez pochatok koordinat novoyi sistemi vis abscis ye vissyu simetriyi krivoyi Ce rivnyannya vidobrazhaye toj fakt sho nevirodzhena kriva drugogo poryadku ye geometrichnim miscem tochok vidnoshennya vidstanej yakih e 0 displaystyle varepsilon geq 0 ekscentrisitet vid zadanoyi tochki fokusa ta vid zadanoyi pryamoyi direktrisa nezminna Kriva ye giperboloyu yaksho e gt 1 displaystyle varepsilon gt 1 4 Tobto giperbola ye geometrichnim miscem tochok absolyutna velichina riznici vidstanej yakih vid fokusiv dorivnyuye 2 a displaystyle 2a fokalna vlastivist giperboli Direktorialna vlastivist giperboli polyagaye v tomu sho giperbola ye geometrichnim miscem tochok vidnoshennya vidstanej yakih vid fokusa do odnojmennoyi direktrisi dorivnyuye e e 5 Vlastivosti Redaguvati Giperbola ta yiyi fokusi Giperbola ta yiyi napivvissi ta asimptoti Rivnobichna giperbola style float right Giperbola ta yiyi fokusi Giperbola ta yiyi napivvissi ta asimptoti Rivnobichna giperbola Yaksho v kanonichnomu rivnyanni giperboli a b displaystyle a b to giperbola nazivayetsya rivnobichnoyu V koordinatah u 2 2 x y v 2 2 x y displaystyle u frac sqrt 2 2 x y qquad v frac sqrt 2 2 x y rivnyannya rivnobichnoyi giperboli x 2 y 2 a 2 displaystyle x 2 y 2 a 2 matime viglyad u v 2 a 2 displaystyle uv 2a 2 zvidki viplivaye sho po vidnoshennyu do koordinat u displaystyle u ta v v rivnobichna giperbola yavlyaye soboyu grafik zvortno proporcijnoyi zalezhnosti V koordinatah x x ta y y mayemo takij same grafik obernenij na kut p 4 displaystyle frac pi 4 5 Pri u displaystyle u to pm infty a takozh pri v displaystyle v to pm infty grafik zvorotno proporcijnoyi zalezhnosti shilnishe pritiskayetsya do osi abscis v 0 displaystyle v 0 vidpovidno do osi ordinat u 0 displaystyle u 0 oskilki ci osi ye asimptotami dvobichnimi grafiku V kanonichnih koordinatah x x y y ci asimptoti ye bisektrisami y x displaystyle y x ta y x displaystyle y x koordinatnih kutiv 5 Z giperboloyu pov yazani taki chislovi vlastivosti chislo a a sho zvetsya dijsnoyu napivvissyu chislo b displaystyle b sho zvetsya uyavnoyu napivvissyu chislo c a 2 b 2 displaystyle c sqrt a 2 b 2 sho zvetsya linijnim ekscentrisitetom chislo 2 c displaystyle 2c sho zvetsya fokusnoyu vidstanyu chislo e c a 1 b 2 a 2 displaystyle e frac c a sqrt 1 frac b 2 a 2 sho nazivayetsya chislovim ekscentrisitetom chislo p b 2 a displaystyle p frac b 2 a sho zvetsya fokalnim parametrom vis abscis sho zvetsya dijsnoyu abo fokalnoyu vissyu vis ordinat sho zvetsya uyavnoyu vissyu tochka O 0 0 displaystyle O 0 0 sho zvetsya centrom tochki a 0 displaystyle pm a 0 sho zvutsya vershinami tochki c 0 displaystyle pm c 0 sho zvutsya fokusami pryami x a e displaystyle x pm frac a e sho zvutsya direktrisami Polyarni koordinati Redaguvati Giperbola Polyarni koordinati v yakih polyus fokusu Giperbola Polyarni koordinati v yakih polyus centrupolyus fokus Polyarni koordinati dlya giperboli zazvichaj vikoristovuyutsya dlya dekartovoyi sistemi koordinat takim chinom sho yih pochatok koordinat znahoditsya u fokusi a vis x napravlena v pochatok kanonichnoyi sistemi koordinat yak pokazano na pershomu grafiku V takomu vipadku kut f varphi nazivayut spravzhnoyu anomaliyeyu Vidpovidno do ciyeyi sistemi koordinat mayemo r p 1 e cos f p b 2 a displaystyle r frac p 1 mp e cos varphi quad p tfrac b 2 a i arccos 1 e lt f lt arccos 1 e displaystyle arccos left frac 1 e right lt varphi lt arccos left frac 1 e right polyus centr Yaksho polyarni koordinati vidpovidayut kanonichnij sistemi koordinat div drugij grafik budemo mati r b e 2 cos 2 f 1 displaystyle r frac b sqrt e 2 cos 2 varphi 1 Dlya pravoyi gilki giperboli diapazon dlya f varphi stanovit arccos 1 e lt f lt arccos 1 e displaystyle arccos left frac 1 e right lt varphi lt arccos left frac 1 e right Eliptichni koordinati RedaguvatiSukupnist konfokalnih giperbol utvoryuyut bazis sistemi eliptichnih koordinat en dlya dvoh vimiriv Giperboli opisuyutsya nastupnim rivnyannyam x c cos 8 2 y c sin 8 2 1 displaystyle left frac x c cos theta right 2 left frac y c sin theta right 2 1 de fokusi znahodyatsya na vidstani c vid pochatku osi x i de 8 ye kutom asimptoti utvorenim iz vissyu x Kozhna giperbola v cij rodini giperbol ye ortogonalnoyu do kozhnogo elipsa sho mayut spilni fokusi Ortogonalnist mozhna pokazati za dopomogoyu konformnogo vidobrazhennya Dekartovoyi sistemi koordinat w z 1 z de z x iy ye pochatkovimi dekartovimi koordinatami a w u iv ye koordinatami sho otrimani pislya peretvorennya Inshu ortogonalni dvovimirni sistemi koordinat sho mayut spravu z giperbolami mozhna otrimati za dopomogoyu inshogo konformnogo vidobrazhennya Napriklad vidobrazhennya w z2 peretvoryuye dekartovu sistemu koordinat na dvi sukupnosti ortogonalnih giperbol Parametrichni rivnyannya RedaguvatiGiperbola predstavlena rivnyannyam x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle tfrac x 2 a 2 tfrac y 2 b 2 1 mozhe buti zadana za dopomogoyu dekilkoh parametrichnih rivnyan 1 x a cosh t y b sinh t t R displaystyle left begin matrix quad x pm a cosh t y b sinh t end matrix right quad t in mathbb R 2 x a t 2 1 2 t y b t 2 1 2 t t gt 0 displaystyle left begin matrix quad x pm a tfrac t 2 1 2t y b tfrac t 2 1 2t end matrix right quad t gt 0 racionalne predstavlennya 3 x a cos t a sec t y b tan t 0 t lt 2 p t p 2 t 3 2 p displaystyle left begin matrix quad x frac a cos t a sec t y pm b tan t end matrix right quad 0 leq t lt 2 pi t neq frac pi 2 t neq frac 3 2 pi Ortogonalni dotichni ortoptika Redaguvati Giperbola i yiyi ortoptika fioletovim Dlya giperboli x 2 a 2 y 2 b 2 1 a gt b displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 a gt b tochki peretinu ortogonalnih dotichnih lezhat na koli x 2 y 2 a 2 b 2 displaystyle x 2 y 2 a 2 b 2 Ce kolo nazivayut ortoptikoyu en danoyi giperboli Dotichni mozhut prohoditi cherez tochki riznih gilok giperboli U vipadku a b displaystyle a leq b ne isnuye zhodnoyi pari ortogonalnih dotichnih Inshi matematichni viznachennya RedaguvatiKvadratichne rivnyannya Redaguvati Giperbolu mozhna zadati za dopomogoyu rivnyannya drugogo stepenya u dekartovij sistemi koordinat x y na ploshini A x x x 2 2 A x y x y A y y y 2 2 B x x 2 B y y C 0 displaystyle A xx x 2 2A xy xy A yy y 2 2B x x 2B y y C 0 za umovi sho konstanti Axx Axy Ayy Bx By i C zadovolnyayut umovu determinanta D A x x A x y A x y A y y lt 0 displaystyle D begin vmatrix A xx amp A xy A xy amp A yy end vmatrix lt 0 Cej determinant zazvichaj nazivayut diskriminantom konichnogo peretinu 6 Osoblivim vipadkom giperboli ye virodzhena giperbola en sho ye dvoma pryamimi sho peretinayutsya u vipadku koli determinant dorivnyuye nulyu D A x x A x y B x A x y A y y B y B x B y C 0 displaystyle Delta begin vmatrix A xx amp A xy amp B x A xy amp A yy amp B y B x amp B y amp C end vmatrix 0 Determinant poznachayut yak D i inodi nazivayut diskriminantom konichnogo peretinu 7 Iz zadanoyi zagalnoyi parametrizaciyi giperboli u dekartovij ploshini ekscentrisitet mozhna znajti vikoristovuyuchi formulu e 2 A C 2 B 2 h A C A C 2 B 2 displaystyle e sqrt frac 2 sqrt A C 2 B 2 eta A C sqrt A C 2 B 2 Centr xc yc giperboli mozhna znajti za dopomogoyu formuli x c 1 D B x A x y B y A y y displaystyle x c frac 1 D begin vmatrix B x amp A xy B y amp A yy end vmatrix y c 1 D A x x B x A x y B y displaystyle y c frac 1 D begin vmatrix A xx amp B x A xy amp B y end vmatrix V ramkah cih novih koordinat 3 x xc i h y yc rivnyannya dlya viznachennya giperboli mozhna zapisati nastupnim chinom A x x 3 2 2 A x y 3 h A y y h 2 D D 0 displaystyle A xx xi 2 2A xy xi eta A yy eta 2 frac Delta D 0 Golovni osi giperboli utvoryuyut kut f iz dodatnoyu chastinoyu osi x yakij viznachayetsya rivnyannyam tan 2 f 2 A x y A x x A y y displaystyle tan 2 varphi frac 2A xy A xx A yy Povorot koordinatnih osej takim chinom sho vis x bude virivnyana iz poperechnoyu vissyu privodit ce rivnyannya u vidomu kanonichnu formu x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 Velika i mala pivosi a i b viznachayutsya rivnyannyami a 2 D l 1 D D l 1 2 l 2 displaystyle a 2 frac Delta lambda 1 D frac Delta lambda 1 2 lambda 2 b 2 D l 2 D D l 1 l 2 2 displaystyle b 2 frac Delta lambda 2 D frac Delta lambda 1 lambda 2 2 de l1 and l2 ye korenyami kvadratnogo rivnyannya l 2 A x x A y y l D 0 displaystyle lambda 2 left A xx A yy right lambda D 0 Dlya porivnyannya vidpovidne rivnyannya dlya virodzhenoyi giperboli sho skladayetsya iz dvoh pryamih yaki peretinayutsya ye nastupnim x 2 a 2 y 2 b 2 0 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 0 Dotichna pryama u zadanij tochci x0 y0 sho nalezhit giperboli viznachayetsya rivnyannyam E x F y G 0 displaystyle Ex Fy G 0 de E F i G zadayutsya yak E A x x x 0 A x y y 0 B x displaystyle E A xx x 0 A xy y 0 B x F A x y x 0 A y y y 0 B y displaystyle F A xy x 0 A yy y 0 B y G B x x 0 B y y 0 C displaystyle G B x x 0 B y y 0 C Pryama normali vidnosno giperboli v tij samij tochci bude zadavatisya danim rivnyannyam F x x 0 E y y 0 0 displaystyle F x x 0 E y y 0 0 Normal perpendikulyarna dotichnij pryamij i obidvi voni prohodyat cherez odnu zadanu tochku x0 y0 Iz rivnyannya x 2 a 2 y 2 b 2 1 0 lt b a displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 qquad 0 lt b leq a livim fokusom ye a e 0 displaystyle ae 0 i pravim fokusom ye a e 0 displaystyle ae 0 de e ye ekscentrisitetom Poznachimo vidstani vid tochki x y do livogo i pravogo fokusiv yak r 1 displaystyle r 1 i r 2 displaystyle r 2 Dlya tochki na pravij gilci r 1 r 2 2 a displaystyle r 1 r 2 2a dlya tochki livoyi gilki r 2 r 1 2 a displaystyle r 2 r 1 2a Ce mozhna dovesti nastupnim chinom Yaksho x y ye tochkoyu sho nalezhit giperboli vidstan do tochki livogo fokusu bude r 1 2 x a e 2 y 2 x 2 2 x a e a 2 e 2 x 2 a 2 e 2 1 e x a 2 displaystyle r 1 2 x ae 2 y 2 x 2 2xae a 2 e 2 x 2 a 2 e 2 1 ex a 2 Tochka pravogo fokusu bude na vidstani r 2 2 x a e 2 y 2 x 2 2 x a e a 2 e 2 x 2 a 2 e 2 1 e x a 2 displaystyle r 2 2 x ae 2 y 2 x 2 2xae a 2 e 2 x 2 a 2 e 2 1 ex a 2 Yaksho x y ye tochkoyu pravoyi gilki giperboli todi e x gt a displaystyle ex gt a i r 1 e x a displaystyle r 1 ex a r 2 e x a displaystyle r 2 ex a Vidnimayuchi ci rivnyannya otrimuyemo r 1 r 2 2 a displaystyle r 1 r 2 2a Yaksho x y ye tochkoyu livoyi gilki giperboli todi e x lt a displaystyle ex lt a i r 1 e x a displaystyle r 1 ex a r 2 e x a displaystyle r 2 ex a Vidnimayuchi ci rivnyannya otrimuyemo r 2 r 1 2 a displaystyle r 2 r 1 2a Analiz konichnih peretiniv giperbolichnogo predstavlennya kil Redaguvati Centralna proyekciya kil na sferi Centr proyekciyi O znahoditsya v seredini sferi ploshina proyektuvannya pokazana chervonim Pri proyektuvannya kil mozhe buti otrimane kolo fioletove elipsi giperboli i pryami Osoblivij vipadok parabola ne pokazana v comu prikladi Yakbi centr O znahodivsya b na sferi vsi proyekciyi kil buli b kolami abo liniyami div stereografichni proyekciyi Krim zabezpechennya zagalnogo opisannya dlya kil elipsiv parabol i giperbol konichni peretini mozhna rozumiti yak prirodnu model dlya vivchennya geometriyi perspektivi yaksho vvazhati sho scena yaku sposterigayut skladayetsya iz kil abo v bilsh zagalnomu viglyadi iz elipsiv Sposterigach zazvichaj ce kamera abo oko lyudini proyektuyut scenu u viglyadi centralnoyi proyekciyi na ploshinu proyektuvannya zobrazhennya tobto vsi promeni proyekciyi prohodyat cherez odnu fiksovanu tochku O sho ye centrom Ploshinoyu linzi ye ploshina paralelna ploshini zobrazhennya i sho prohodit cherez centr linzi O Proyekciyeyu kola c bude a kolo yaksho kolo c maye osoblivu poziciyu napriklad znahoditsya paralelno do ploshini proyektuvannya abo inshi div stereografichni proyekciyi b elips yaksho c ne maye spilnoyi tochki iz ploshinoyu linzi c parabola yaksho c maye odnu spilnu tochku iz ploshinoyu linzi i d giperbola yaksho c maye dvi spilni tochki iz ploshinoyu linzi Osoblivij vipadok koli ploshina kola mistit tochku O opuskayetsya Ci visnovki mozhna zrozumiti yaksho uyaviti yak proces proyektuvannya mozhna rozbiti na dva kroki 1 kolo c i tochka O utvoryuyut konus yakij 2 zrizanij ploshinoyu proyektuvannya dlya togo shob utvoriti zobrazhennya Sposterigach bude bachiti giperbolu koli bachit chastinu kola yake peretinaye ploshina linzi Ne mozhlivist pobachiti dosit veliku chastinu rozgaluzhenih gilok giperboli ne daye faktichno lyudskij sistemi zoru identifikuvati zv yazok iz giperbolami Zastosuvannya Redaguvati Giperbolichni liniyi vidhilennya na sonyachnomu godinnikuSonyachnij godinnik Redaguvati Giperbolu mozhna pobachiti pri vikoristanni bagatoh sonyachnih godinnikiv U bud yakij den Sonce prohodit kolo po nebesnij sferi a jogo promeni sho potraplyayut na vkazivnik sonyachnogo godinnika vipisuyut konus svitla Peretin cogo konusa iz gorizontalnoyu ploshinoyu zemli utvoryuye konichnij peretin U bilsh naselenih shirotah i v bilshij chastini roku cej konichnij peretin utvoryuye giperbolu V bilsh prostih terminah tin kinchika vkazivnika opisuye giperbolu na zemli iz prohodom dnya cyu trayektoriyu nazivayut liniyeyu vidhilennya Forma ciyeyi giperboli zminyuyetsya v zalezhnosti vid geografichnoyi shiroti i z periodom roku oskilki ci faktori vplivayut na te yak bude padati konus sonyachnih promeniv vidnosno gorizontu Sukupnist takih giperbol dlya vsogo roku dlya danoyi miscevosti greckoyu movoyu nazivayetsya pelekinon oskilki vona nagaduye podvijnu sokiru Multilateraciya Redaguvati Giperbola ye osnovoyu dlya virishennya zadachi multilateraciyi zadachi viznachennya tochki misceznahodzhennya za rizniceyu vidstanej do zadanoyi mnozhini tochok abo ekvivalentno po riznici chasu nadhodzhennya sinhronizovanih signaliv mizh tochkoyu misceznahodzhennya i zadanimi tochkami Cya zadacha ye vazhliva dlya navigaciyi zokrema na vodi koli korabel mozhe viznachiti svoye misceznahodzhennya po riznici chasu prohodzhennya signalu vid peredavachiv LORAN abo GPS Trayektoriya ruhu chastinki Redaguvati Shlyah po yakomu ruhayetsya chastinka v klasichnij zadachi Keplera ye konichnim peretinom Zokrema zagalna energiya E chastinki ye bilshoyu za nul koli chastinka ye vilnoyu trayektoriyeyu ruhu takoyi chastinki bude giperbola Cya vlastivist ye korisnoyu dlya vivchennya atomnih i sub atomnih sil za dopomogoyu rozsiyuvannya chastinok sho mayut visoku energiyu napriklad Eksperiment Gejgera Marsdena yakij prodemonstruvav isnuvannya yadra atoma cherez doslidzhennya rozsiyuvannya alfa chastinok atomiv zolota Yaksho ignoruvati yadernu vzayemodiyu na korotkij vidstani atomni yadra i alfa chastinki vzayemodiyut lishe cherez sili vidshtovhuvannya iz zakonu Kulona sho vidpovidaye vimogam zakonu obernenih kvadrativ dlya zadachi Keplera Rivnyannya Kortevega de Friza Redaguvati Giperbolichna trigonometrichna funkciya sech x displaystyle operatorname sech x ye odnim iz rishen rivnyannya Kortevega de Friza yake opisuye ruh solitonnoyi hvili v kanali Inshi krivi drugogo poryadku RedaguvatiParabola ElipsDiv takozh Redaguvati Portal Matematika Trisektrisa MaklorenaPrimitki Redaguvati Heath Sir Thomas Little 1896 Chapter I The discovery of conic sections Menaechmus Apollonius of Perga Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject Cambridge University Press s xvii xxx Arhiv originalu za 9 zhovtnya 2016 Procitovano 16 sichnya 2018 Boyer Carl B Merzbach Uta C 2011 A History of Mathematics Wiley s 73 ISBN 9780470630563 Arhiv originalu za 27 chervnya 2014 Procitovano 16 sichnya 2018 It was Apollonius possibly following up a suggestion of Archimedes who introduced the names ellipse and hyperbola in connection with these curves Eves Howard 1963 A Survey of Geometry Vol One Allyn and Bacon s 30 31 a b Korn G Korn T 1984 2 4 8 Spravochnik po matematike dlya nauchnih rabotnikov i inzhenerov ros vid druge Moskva Nauka a b v g Postnikov M M 1979 Analiticheskaya geometriya Nauka Fanchi John R 2006 Math refresher for scientists and engineers John Wiley and Sons s 44 45 ISBN 0 471 75715 2 Arhiv originalu za 29 travnya 2016 Procitovano 18 sichnya 2018 Section 3 2 page 45 Arhivovano 26 kvitnya 2016 u Wayback Machine Korn Granino A and Korn Theresa M Mathematical Handbook for Scientists and Engineers Definitions Theorems and Formulas for Reference and Review Dover Publ second edition 2000 p 40 Literatura Redaguvati Postnikov M M 1979 Analiticheskaya geometriya Nauka Posilannya RedaguvatiGiperbola Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 110 112 594 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Giperbola matematika amp oldid 37722150