www.wikidata.uk-ua.nina.az

Парабола Пара бола від грец παραβολή геометричне місце точок що рівновіддалені від точки і прямої Одна з кривих другого

Парабола

Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.

Точка зветься фокусом, а пряма — директрисою.

Парабола, гіпербола та еліпс є конічними перерізами. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом. Якщо точкове джерело світла розміщене у фокусі параболоїдного дзеркала, то відбиті від поверхні промені будуть розповсюджуватися паралельно.

Графік функції, що задається за допомогою полінома другого степеня від однієї змінної, є параболою.

Історія

Параболічний циркуль, винайдений Леонардо да Вінчі

Найранішою відомою роботою із конічних перетинів є роботаМенехма в четвертому столітті до н. е.. Він знайшов спосіб вирішити задачу подвоєння куба із використанням парабол. (Але це рішення, однак, не відповідало вимогам щодо побудови за допомогою циркуля і лінійки.) Площа, що обмежена параболою і лінійним відрізком, так званий «параболічний сегмент», була розрахована Архімедом за допомогою метода вичерпування в третьому столітті до н. е., і виклав це в своїй роботі «Квадратура параболи[en]». Назва «парабола» виникла завдяки Аполлонію, який дослідив багато властивостей конічних перетинів. Він означає «прикладання», що посилається на концепцію «прикладання або зіставлення площ», що має відношення і до цієї кривої, як довів Аполлоній. Властивість фокуса і директриси параболи і інших конічних перетинів знайшов Папп Александрійський.

Галілео показав, що снаряд падає по параболічній траєкторії, що є наслідком постійного прискорення через дію сили тяжіння.

Ідея, що за допомогою параболічного рефлектора[en] можна утворити зображення була відома задовго до винайдення першого рефлекторного телескопа. Дизайн був запропонований на початку і в середині сімнадцятого століття багатьма математиками, серед яких були Рене Декарт, Марен Мерсенн, і Джеймс Грегорі. Коли Ісаак Ньютон в 1668 побудував перший рефлекторний телескоп, він не став використовувати параболічне дзеркало через складність його виготовлення, і обрав оптимальним сферичне дзеркало. Параболічні дзеркала використовуються у більшості сучасних рефлекторних телескопах, а також у супутникових тарілках і радіолокаторах.

Визначення параболи як геометричного місця точок

Параболу можна визначити геометрично як множину точок (геометричне місце точок) в Евклідовому просторі:

  • Парабола це множина точок, таких, що для будь-якої точкиt в множині відстань до фіксованої точки , фокусу, дорівнює відстані до фіксованої прямої , директриси:

Середня точка утворена перпендикуляром із фокусу до директриси називається вершиною а пряма віссю симетрії параболи.

Рівняння

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:

Квадратне рівняння при також являє собою параболу і графічно зображаєтся тією ж параболою, що і , але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці , координати якої обчислюються за формулами :

Рівняння може бути представлено у вигляді , а у випадку переносу початку координат в точку канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.

Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння

Якщо для рівняння відомі координати 3-х різних точок його графіка , , , то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

Властивості

  • Парабола — крива другого порядку.
  • Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
  • Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що розміщене у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
  • Для параболи фокус розміщений у точці (0,25; 0).
  • Якщо фокус параболи дзеркально відобразити щодо дотичної, то його образ буде лежати на директрисі.
  • Парабола є антиподерою прямій.
  • Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
  • При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.
  • Еволютою параболи є напівкубічна парабола.

Побудова

Параболу y=ax2+bx+с будують за алгоритмом (через п'ять основних точок):

  • Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0 — роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи направлені вниз.
  • Обчислити координати вершини параболи x0= -b/2a і y0=y(x0)
  • Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x0
  • Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну
  • Розв'язати квадратне рівняння ax2+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x1;0) (x2;0)
  • Через відмічені п'ять точок провести параболу.

Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.

Властивості дотичних

Перпендикулярні дотичні перетинаються на директрисі

Дві властивості пов'язані з фокальним параметром

Нехай лінія симетрії перетинає параболу в точці Q, точку фокуса позначимо як F а відстань від неї до точки Q позначимо як f. Нехай перпендикуляр до лінії симетрії, що проходить крізь фокус, перетинає параболу в точці T. Тоді (1) відстань від F до T дорівнює 2f, а (2) дотична до параболи в точці T перетинає лінію симетрії під кутом 45°.:p.26

Ортоптична властивість

Якщо дві дотичні параболи перпендикулярні одна одній, тоді вони перетинаються в точці на директрисі. І навпаки, дві дотичні, що перетинаються на директрисі — перпендикулярні.

Теорема Ламберта

Нехай три дотичні до параболи утворюють трикутник. Тоді теорема Ламберта стверджує, що фокус параболи знаходиться на колі, що описує трикутник.:Corollary 20

Парабола у декартовій системі координат

Вісь симетрії параболи паралельна осі y

Парабола: Визначення, p: половини фокусного параметра
Парабола: вісь паралельна осі y
Парабола: загальний випадок

Якщо обрати декартові координати таким чином, що і деректриса матиме рівняння отримаємо точку із що задає рівняння . Розв'язавши його для отримаємо

Парабола має U-подібну форму (відкриту до гори).

Довжина горизонтальної хорди, що проходить через точку фокусу (див. малюнок) називається фокусним параметром, половина якого є половиною фокусного параметра що позначається як . Із зображення отримаємо

Фокусний параметр визначається аналогічним чином для еліпса і гіперболи. Для параболи це відстань від фокусу до директриси. Використовуючи параметр , рівняння параболи можна записати наступним чином

У більш загальному випадку, якщо вершина дорівнює , фокус і директриса має рівняння отримаємо рівняння

Зауваження:

  1. У випадку коли парабола відкрита вниз.
  2. Припущення, що вісь симетрії паралельна осі y дозволяє розглядати параболу у вигляді графіку полінома із степенем 2 і навпаки: Графіком довільного полінома із степенем 2 є парабола.
  3. Якщо замінити місцями і , отримаємо рівняння парабол, в яких відкрита частина направлена ліворуч (якщо ) або праворуч (якщо ).

Загальний випадок

Якщо фокус дорівнює а директриса отримаємо наступне рівняння

(В лівій частині рівняння для розрахунку відстані використана Нормальна форма Гессе[en] для прямої.)

неявне рівняння параболи визначено незвідним багаточленом із степенем два

Парабола як графік функції

Графіки парабол

Будь-яку параболу із вершиною у початку координат і віссю , що є віссю симетрії параболи можна розглянути у вигляді графіку функції

Для направлено відкритою частиною в гору, а при відкрита вниз. Із попередніх розділів отримуємо:

  • Фокус це ,
  • фокусна відстань — , фокальний параметр дорівнює ,
  • вершина це ,
  • директриса має рівняння ,
  • дотична в точці має рівняння ,

Для парабола є одиничною параболою і задається рівнянням . Її фокусом є , фокальним параметр дорівнює і директриса має рівняння .

Загальний вигляд рівняння функції із степенем 2 буде наступним

Доповнюючи до повного квадрата, отримаємо

що є рівнянням параболі із

  • віссю (паралельною осі y),
  • фокусною відстанню , і фокальним параметром ,
  • вершиною ,
  • фокусом ,
  • директрисою ,
  • точкою, в якій парабола перетинає вісь y матиме координати ,
  • дотична в точці на осі y матиме рівняння .

Парабола як особливий випадок конічного перетину

Конічні перетини із спільною вершиною

Родину конічних перетинів в яких вісь x є віссю симетрії, одна вершина знаходиться в початку координат (0,0) і які мають однакове значення половини фокусного параметра можна задати наступним рівнянням

де задає Ексцентриситет.

  • При конічним перетином є коло,
  • При  — еліпс,
  • При  — парабола із рівнянням і
  • При буде отримана гіпербола (див. малюнок).

Парабола в полярних координатах

Родина конічних кривих із спільним фокусом

Якщо p > 0, парабола із рівнянням (із відритою частиною направленою праворуч) матиме полярні координати наступного вигляду:

Її вершина матиме координати а фокус буде заданий як .

Якщо в початок координат розмістити фокус, тобто, , отримаємо рівняння

Зауваження 1: Шляхом інвертування цієї полярної форми можна показати: що парабола це обернена до кардіоїди.

Зауваження 2: Друга форма полярних координат є особливим випадком із родини конічних перетинів із фокусом (див. зображення):

Властивість відбивання променів

Рефлективна властивість параболи

Рефлективна властивість параболи означає що, якщо парабола може відбивати промені світла, тоді те світло, що потрапляє на неї і проходить паралельно осі симетрії відбивається в її точку фокуса. Цей висновок можна отримати із хвильової природи світла. Він правильний, але таке обґрунтування може бути недостатнім, аби бути математичним доказом. В наведеному далі доказі, факт, що кожна точка параболи є рівновіддаленою від фокусу і директриси приймається як аксіома.

Розглянемо параболу y = x2. Оскільки всі параболи подібні, цей простий випадок відповідатиме усім іншим. Діаграма праворуч показує частину такої параболи.

Побудова і визначення

Точка E є довільною точку на параболі, із координатами (x, x2). Фокус позначено як F, а вершину параболи як A (знаходиться у початку координат), а пряма FA (вісь y) є віссю симетрії. Пряма EC паралельна осі симетрії, і перетинає вісь x в точці D. Точка C розміщена на директрисі (яка не показана, аби спростити діаграму). Точка B є серединою лінійного відрізку FC.

Дедукція

Якщо вимірювати здовж осі симетрії, вершина A є рівновіддаленою від фокусу F і від директриси. Відповідно до теореми Фалеса про пропорційні відрізки, оскільки C знаходиться на директрисі, y-координати точки F і C є рівними за абсолютним значенням але мають протилежний знак. B є середньою точкою відрізку FC, тому її y-координата дорівнює нулю, тому вона знаходиться на осі x. Її x-координата є половиною від значення координати точок E, D, і C, тобто, x2. Кутовий коефіцієнт прямого відрізку BE задається довжинами відрізків ED і BD, і становить x2x/2, що зводиться до значення 2x. Але 2x є також кутових коефіцієнтом (першою похідною) параболи в точці E. Тому, пряма BE є дотичною до параболи в точці E.

Відстані EF і EC є рівними, оскільки E є точкою параболи, F є точкою фокусу а C — директриси. Тому, оскільки B є середньою точкою відрізку FC, трикутники △FEB і △CEB є конгруентними (по трьом сторонам), наслідком чого є те, що кути відмічені літерою α є також конгруентними. (кут над E є вертикально протилежним кутом ∠BEC.) Це означає, що промінь світла, який потрапляє на параболу і проходить до точки E паралельно осі симетрії, буде відбиватися від прямої BE і в результаті буде слідувати по прямій EF, що показано червоним на малюнку (припускаючи що світло може відбиватися від прямих). Оскільки BE є дотичною до параболи в точці E, так само світло відбиватиметься від нескінченно малої ділянки дуги параболи в точці E. Таким чином, світло, яке потрапляє до параболи і проходить до точки E паралельно осі симетрії параболи відбивається параболою в точку фокусу.

Точка E не має особливих властивостей. Цей висновок щодо відбитого світла є вірним для усіх точок параболи, як показано в лівій частині зображення. Це є властивістю параболи.

Параболічні форми у природі, техніці та архітектурі

Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зорі або іншого масивного об'єкта на досить великій швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються гравітаційним полем зорі і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в однорідному гравітаційному полі є параболою.

При обертанні посудини з рідиною навколо вертикальної осі поверхня рідини в посудині і вертикальна площина перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо тощо), в конструкції вузькоспрямованих (супутникових та інших) антен, необхідних для передавання даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших галузях.

Форма параболи іноді використовується в архітектурі під час будівництва дахів і куполів.

Див. також

Джерела

  • Стаття в довіднику «Прикладная математика».
  • Анімовані рисунки, які ілюструють властивості параболи.
  • Інформация про связок параболи с фізикою.
  • Бронштейн И., Парабола, журнал"Квант, № 4, 1975.
  • А. А. Акопян, А. В. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка. Москва, Издательство МЦНМО, 2007 год.

Посилання

Примітки

  1. Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? - Deriving the Symptom of the Parabola - Mathematical Association of America. Процитовано 30 вересня 2016. 
  2. Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (вид. 2). Springer. с. 3. ISBN 3-540-40106-7.  Extract of page 3
  3. Stargazer, p. 115.
  4. Stargazer, pp. 123 and 132
  5. Fitzpatrick, Richard (14 липня 2007). Spherical Mirrors. Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Процитовано 5 жовтня 2011. 
  6. Downs, J. W. (2003). Practical Conic Sections. Dover Publishing. [ISBN відсутній]
  7. Sondow, Jonathan (2013). The parbelos, a parabolic analog of the arbelos. American Mathematical Monthly 120: 929–935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. 
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Парабола
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Para bola vid grec parabolh geometrichne misce tochok sho rivnoviddaleni vid tochki i pryamoyi Odna z krivih drugogo poryadku Tochka zvetsya fokusom a pryama direktrisoyu Parabola giperbola ta elips ye konichnimi pererizami Parabola ye konichnim pererizom z odinichnim ekscentrisitetom Yaksho tochkove dzherelo svitla rozmishene u fokusi paraboloyidnogo dzerkala to vidbiti vid poverhni promeni budut rozpovsyudzhuvatisya paralelno Grafik funkciyi sho zadayetsya za dopomogoyu polinoma drugogo stepenya vid odniyeyi zminnoyi ye paraboloyu Zmist 1 Istoriya 2 Viznachennya paraboli yak geometrichnogo miscya tochok 3 Rivnyannya 3 1 Rozrahunok koeficiyentiv kvadratnogo rivnyannya 4 Vlastivosti 5 Pobudova 5 1 Vlastivosti dotichnih 5 1 1 Dvi vlastivosti pov yazani z fokalnim parametrom 5 1 2 Ortoptichna vlastivist 5 1 3 Teorema Lamberta 6 Parabola u dekartovij sistemi koordinat 6 1 Vis simetriyi paraboli paralelna osi y 6 2 Zagalnij vipadok 7 Parabola yak grafik funkciyi 8 Parabola yak osoblivij vipadok konichnogo peretinu 9 Parabola v polyarnih koordinatah 10 Vlastivist vidbivannya promeniv 10 1 Pobudova i viznachennya 10 2 Dedukciya 11 Parabolichni formi u prirodi tehnici ta arhitekturi 12 Div takozh 13 Dzherela 14 Posilannya 15 PrimitkiIstoriya Redaguvati Parabolichnij cirkul vinajdenij Leonardo da Vinchi Najranishoyu vidomoyu robotoyu iz konichnih peretiniv ye robotaMenehma v chetvertomu stolitti do n e Vin znajshov sposib virishiti zadachu podvoyennya kuba iz vikoristannyam parabol Ale ce rishennya odnak ne vidpovidalo vimogam shodo pobudovi za dopomogoyu cirkulya i linijki Plosha sho obmezhena paraboloyu i linijnim vidrizkom tak zvanij parabolichnij segment bula rozrahovana Arhimedom za dopomogoyu metoda vicherpuvannya v tretomu stolitti do n e i viklav ce v svoyij roboti Kvadratura paraboli en Nazva parabola vinikla zavdyaki Apolloniyu yakij doslidiv bagato vlastivostej konichnih peretiniv Vin oznachaye prikladannya sho posilayetsya na koncepciyu prikladannya abo zistavlennya plosh sho maye vidnoshennya i do ciyeyi krivoyi yak doviv Apollonij 1 Vlastivist fokusa i direktrisi paraboli i inshih konichnih peretiniv znajshov Papp Aleksandrijskij Galileo pokazav sho snaryad padaye po parabolichnij trayektoriyi sho ye naslidkom postijnogo priskorennya cherez diyu sili tyazhinnya Ideya sho za dopomogoyu parabolichnogo reflektora en mozhna utvoriti zobrazhennya bula vidoma zadovgo do vinajdennya pershogo reflektornogo teleskopa 2 Dizajn buv zaproponovanij na pochatku i v seredini simnadcyatogo stolittya bagatma matematikami sered yakih buli Rene Dekart Maren Mersenn 3 i Dzhejms Gregori 4 Koli Isaak Nyuton v 1668 pobuduvav pershij reflektornij teleskop vin ne stav vikoristovuvati parabolichne dzerkalo cherez skladnist jogo vigotovlennya i obrav optimalnim sferichne dzerkalo Parabolichni dzerkala vikoristovuyutsya u bilshosti suchasnih reflektornih teleskopah a takozh u suputnikovih tarilkah i radiolokatorah 5 Viznachennya paraboli yak geometrichnogo miscya tochok RedaguvatiParabolu mozhna viznachiti geometrichno yak mnozhinu tochok geometrichne misce tochok v Evklidovomu prostori Parabola ce mnozhina tochok takih sho dlya bud yakoyi tochkit P displaystyle P v mnozhini vidstan P F displaystyle PF do fiksovanoyi tochki F displaystyle F fokusu dorivnyuye vidstani P l displaystyle Pl do fiksovanoyi pryamoyi l displaystyle l direktrisi P P F P l displaystyle P PF Pl Serednya tochka V displaystyle V utvorena perpendikulyarom iz fokusu F displaystyle F do direktrisi l displaystyle l nazivayetsya vershinoyu a pryama F V displaystyle FV vissyu simetriyi paraboli Rivnyannya RedaguvatiKanonichne rivnyannya paraboli v pryamokutnij sistemi koordinat y 2 2 p x displaystyle textstyle y 2 2px abo x 2 2 p y displaystyle textstyle x 2 2py yaksho pominyati miscyami osi Visnovok Rivnyannya direktrisi P Q displaystyle PQ x p 2 0 displaystyle textstyle x frac p 2 0 fokus F p 2 0 displaystyle textstyle F left frac p 2 0 right takim chinom pochatok koordinat O displaystyle O seredina vidrizu C F displaystyle CF Za oznachennyam paraboli dlya bud yakoyi tochki M displaystyle M sho lezhit na nij vikonuyetsya rivnist K M F M displaystyle KM FM K M K D D M p 2 x displaystyle textstyle KM KD DM frac p 2 x i F M x p 2 2 y 2 displaystyle textstyle FM sqrt left x frac p 2 right 2 y 2 todi rivnist prijmaye viglyad x p 2 2 y 2 p 2 x displaystyle sqrt left x frac p 2 right 2 y 2 frac p 2 x Pislya pidnyattya v kvadrat i deyakih peretvoren vihodit rivnosilne rivnyannya y 2 2 p x displaystyle y 2 2px Kvadratne rivnyannya y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c pri a 0 displaystyle a neq 0 takozh yavlyaye soboyu parabolu i grafichno zobrazhayetsya tiyeyu zh paraboloyu sho i y a x 2 displaystyle y ax 2 ale na vidminu vid ostannoyi maye vershinu ne v pochatku koordinat a v deyakij tochci A displaystyle A koordinati yakoyi obchislyuyutsya za formulami x B b 2 a y B D 4 a y B F x B displaystyle x B frac b 2a y B frac D 4a y B F x B Rivnyannya y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c mozhe buti predstavleno u viglyadi y a x x A 2 y A displaystyle y a x x A 2 y A a u vipadku perenosu pochatku koordinat v tochku A displaystyle A kanonichnim rivnyannyam Takim chinom dlya kozhnogo kvadratnogo rivnyannya mozhna znajti sistemu koordinat taku sho v cij sistemi vono predstavitsya kanonichnim Rozrahunok koeficiyentiv kvadratnogo rivnyannya Redaguvati Yaksho dlya rivnyannya y a x 2 b x c displaystyle y ax 2 bx c vidomi koordinati 3 h riznih tochok jogo grafika x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 x 3 y 3 displaystyle x 3 y 3 to jogo koeficiyenti mozhut buti znajdeni tak a y 3 x 3 y 2 y 1 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 b y 2 y 1 x 2 x 1 a x 1 x 2 c x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 a x 1 x 2 displaystyle a frac y 3 frac x 3 y 2 y 1 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 b frac y 2 y 1 x 2 x 1 a x 1 x 2 c frac x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 ax 1 x 2 Vlastivosti RedaguvatiParabola kriva drugogo poryadku Vona maye vis simetriyi sho nazivayetsya vissyu paraboli Vis prohodit cherez fokus i perpendikulyarna direktrisi Optichna vlastivist Puchok promeniv paralelnih osi paraboli vidbivayuchis u paraboli zbirayetsya v yiyi fokusi I navpaki svitlo vid dzherela sho rozmishene u fokusi vidobrazhayetsya paraboloyu v puchok paralelnih yiyi osi promeniv Dlya paraboli y 2 x displaystyle y 2 x fokus rozmishenij u tochci 0 25 0 Yaksho fokus paraboli dzerkalno vidobraziti shodo dotichnoyi to jogo obraz bude lezhati na direktrisi Parabola ye antipoderoyu pryamij Vsi paraboli podibni Vidstan mizh fokusom i direktrisoyu viznachaye masshtab Pri obertanni paraboli navkolo osi simetriyi vihodit eliptichnij paraboloyid Evolyutoyu paraboli ye napivkubichna parabola Pobudova RedaguvatiParabolu y ax2 bx s buduyut za algoritmom cherez p yat osnovnih tochok Viznachiti napryam rogiv paraboli za znakom pershogo koeficiyenta a gt 0 rogi napravleni vverh Yaksho a lt 0 to rogi paraboli napravleni vniz Obchisliti koordinati vershini paraboli x0 b 2a i y0 y x0 Vidmititi vershinu paraboli na koordinatnij ploshini i cherez neyi provesti os simetriyi paraboli x x0Znajti tochku peretinu paraboli z vissyu OY 0 s i vidmititi yij simetrichnuRozv yazati kvadratne rivnyannya ax2 bx s 0 i vidmititi tochki na osi OX x1 0 x2 0 Cherez vidmicheni p yat tochok provesti parabolu Parabolu mozhna pobuduvati po tochkah ne znayuchi rivnyannya i mayuchi v nayavnosti tilki fokus i direktrisu Vershina ye seredinoyu vidrizka mizh fokusom i direktrisoyu Na direktrisi zadayetsya dovilna sistema vidliku z potribnim odinichnim vidrizkom Kozhna nastupna tochka ye peretinom seredinnogo perpendikulyara vidrizka mizh fokusom i tochkoyu direktrisi sho znahoditsya na kratnomu odinichnomu vidrizku vidstani vid pochatku vidliku i pryamoyi sho prohodit cherez cyu tochku i paralelna osi paraboli Vlastivosti dotichnih Redaguvati Perpendikulyarni dotichni peretinayutsya na direktrisi Dvi vlastivosti pov yazani z fokalnim parametrom Redaguvati Nehaj liniya simetriyi peretinaye parabolu v tochci Q tochku fokusa poznachimo yak F a vidstan vid neyi do tochki Q poznachimo yak f Nehaj perpendikulyar do liniyi simetriyi sho prohodit kriz fokus peretinaye parabolu v tochci T Todi 1 vidstan vid F do T dorivnyuye 2f a 2 dotichna do paraboli v tochci T peretinaye liniyu simetriyi pid kutom 45 6 p 26 Ortoptichna vlastivist Redaguvati Yaksho dvi dotichni paraboli perpendikulyarni odna odnij todi voni peretinayutsya v tochci na direktrisi I navpaki dvi dotichni sho peretinayutsya na direktrisi perpendikulyarni Teorema Lamberta Redaguvati Nehaj tri dotichni do paraboli utvoryuyut trikutnik Todi teorema Lamberta stverdzhuye sho fokus paraboli znahoditsya na koli sho opisuye trikutnik 7 Corollary 20Parabola u dekartovij sistemi koordinat RedaguvatiVis simetriyi paraboli paralelna osi y Redaguvati Parabola Viznachennya p polovini fokusnogo parametra Parabola vis paralelna osi y Parabola zagalnij vipadok Yaksho obrati dekartovi koordinati takim chinom sho F 0 f f gt 0 displaystyle F 0 f f gt 0 i derektrisa matime rivnyannya y f displaystyle y f otrimayemo tochku P x y displaystyle P x y iz P F 2 P l 2 displaystyle PF 2 Pl 2 sho zadaye rivnyannya x 2 y f 2 y f 2 displaystyle x 2 y f 2 y f 2 Rozv yazavshi jogo dlya y displaystyle y otrimayemo y 1 4 f x 2 displaystyle y frac 1 4f x 2 Parabola maye U podibnu formu vidkritu do gori Dovzhina gorizontalnoyi hordi sho prohodit cherez tochku fokusu div malyunok nazivayetsya fokusnim parametrom polovina yakogo ye polovinoyu fokusnogo parametra sho poznachayetsya yak p displaystyle p Iz zobrazhennya otrimayemo p 2 f displaystyle p 2f Fokusnij parametr viznachayetsya analogichnim chinom dlya elipsa i giperboli Dlya paraboli p displaystyle p ce vidstan vid fokusu do direktrisi Vikoristovuyuchi parametr p displaystyle p rivnyannya paraboli mozhna zapisati nastupnim chinom x 2 2 p y displaystyle x 2 2py U bilsh zagalnomu vipadku yaksho vershina dorivnyuye V v 1 v 2 displaystyle V v 1 v 2 fokus F v 1 v 2 f displaystyle F v 1 v 2 f i direktrisa maye rivnyannya y v 2 f displaystyle y v 2 f otrimayemo rivnyannya y 1 4 f x v 1 2 v 2 1 4 f x 2 v 1 2 f x v 1 2 4 f v 2 displaystyle y frac 1 4f x v 1 2 v 2 frac 1 4f x 2 frac v 1 2f x frac v 1 2 4f v 2 Zauvazhennya U vipadku koli f lt 0 displaystyle f lt 0 parabola vidkrita vniz Pripushennya sho vis simetriyi paralelna osi y dozvolyaye rozglyadati parabolu u viglyadi grafiku polinoma iz stepenem 2 i navpaki Grafikom dovilnogo polinoma iz stepenem 2 ye parabola Yaksho zaminiti miscyami x displaystyle x i y displaystyle y otrimayemo rivnyannya y 2 2 p x displaystyle y 2 2px parabol v yakih vidkrita chastina napravlena livoruch yaksho p lt 0 displaystyle p lt 0 abo pravoruch yaksho p gt 0 displaystyle p gt 0 Zagalnij vipadok Redaguvati Yaksho fokus dorivnyuye F f 1 f 2 displaystyle F f 1 f 2 a direktrisa a x b y c 0 displaystyle ax by c 0 otrimayemo nastupne rivnyannya a x b y c 2 a 2 b 2 x f 1 2 y f 2 2 displaystyle frac left ax by c right 2 a 2 b 2 left x f 1 right 2 left y f 2 right 2 V livij chastini rivnyannya dlya rozrahunku vidstani P l displaystyle Pl vikoristana Normalna forma Gesse en dlya pryamoyi neyavne rivnyannya paraboli viznacheno nezvidnim bagatochlenom iz stepenem dva a x 2 b x y c y 2 d x e y f 0 displaystyle ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 Parabola yak grafik funkciyi Redaguvati Grafiki parabol y a x 2 displaystyle y ax 2 Bud yaku parabolu iz vershinoyu u pochatku koordinat i vissyu y displaystyle y sho ye vissyu simetriyi paraboli mozhna rozglyanuti u viglyadi grafiku funkciyi f x a x 2 with a 0 displaystyle f x ax 2 text with a neq 0 Dlya a gt 0 displaystyle a gt 0 napravleno vidkritoyu chastinoyu v goru a pri a lt 0 displaystyle a lt 0 vidkrita vniz Iz poperednih rozdiliv otrimuyemo Fokus ce 0 1 4 a displaystyle left 0 frac 1 4a right fokusna vidstan 1 4 a displaystyle frac 1 4a fokalnij parametr dorivnyuye p 1 2 a displaystyle p frac 1 2a vershina ce 0 0 displaystyle left 0 0 right direktrisa maye rivnyannya y 1 4 a displaystyle y frac 1 4a dotichna v tochci x 0 a x 0 2 displaystyle left x 0 ax 0 2 right maye rivnyannya y 2 a x 0 x a x 0 2 displaystyle y 2ax 0 x ax 0 2 Dlya a 1 displaystyle a 1 parabola ye odinichnoyu paraboloyu i zadayetsya rivnyannyam y x 2 displaystyle y x 2 Yiyi fokusom ye 0 1 4 displaystyle left 0 tfrac 1 4 right fokalnim parametr dorivnyuye p 1 2 displaystyle p tfrac 1 2 i direktrisa maye rivnyannya y 1 4 displaystyle y tfrac 1 4 Zagalnij viglyad rivnyannya funkciyi iz stepenem 2 bude nastupnim f x a x 2 b x c with a b c R a 0 displaystyle f x ax 2 bx c text with a b c in mathbb R a neq 0 Dopovnyuyuchi do povnogo kvadrata otrimayemo f x a x b 2 a 2 4 a c b 2 4 a displaystyle f x a left x frac b 2a right 2 frac 4ac b 2 4a sho ye rivnyannyam paraboli iz vissyu x b 2 a displaystyle x frac b 2a paralelnoyu osi y fokusnoyu vidstannyu 1 4 a displaystyle frac 1 4a i fokalnim parametrom p 1 2 a displaystyle p frac 1 2a vershinoyu V b 2 a 4 a c b 2 4 a displaystyle V left frac b 2a frac 4ac b 2 4a right fokusom F b 2 a 4 a c b 2 1 4 a displaystyle F left frac b 2a frac 4ac b 2 1 4a right direktrisoyu y 4 a c b 2 1 4 a displaystyle y frac 4ac b 2 1 4a tochkoyu v yakij parabola peretinaye vis y matime koordinati 0 c displaystyle left 0 c right dotichna v tochci na osi y matime rivnyannya y b x c displaystyle y bx c Parabola yak osoblivij vipadok konichnogo peretinu Redaguvati Konichni peretini iz spilnoyu vershinoyu Rodinu konichnih peretiniv v yakih vis x ye vissyu simetriyi odna vershina znahoditsya v pochatku koordinat 0 0 i yaki mayut odnakove znachennya polovini fokusnogo parametra p displaystyle p mozhna zadati nastupnim rivnyannyam y 2 2 p x e 2 1 x 2 e 0 displaystyle y 2 2px e 2 1 x 2 qquad e geq 0 de e displaystyle e zadaye Ekscentrisitet Pri e 0 displaystyle e 0 konichnim peretinom ye kolo Pri 0 lt e lt 1 displaystyle 0 lt e lt 1 elips Pri e 1 displaystyle e 1 parabola iz rivnyannyam y 2 2 p x displaystyle y 2 2px i Pri e gt 1 displaystyle e gt 1 bude otrimana giperbola div malyunok Parabola v polyarnih koordinatah Redaguvati Rodina konichnih krivih iz spilnim fokusom Yaksho p gt 0 parabola iz rivnyannyam y 2 2 p x displaystyle y 2 2px iz vidritoyu chastinoyu napravlenoyu pravoruch matime polyarni koordinati nastupnogo viglyadu r 2 p cos f sin 2 f with f p 2 p 2 0 displaystyle r 2p frac cos varphi sin 2 varphi text with varphi in left tfrac pi 2 tfrac pi 2 right setminus 0 r 2 x 2 y 2 x r cos f displaystyle r 2 x 2 y 2 x r cos varphi Yiyi vershina matime koordinati V 0 0 displaystyle V 0 0 a fokus bude zadanij yak F p 2 0 displaystyle F left tfrac p 2 0 right Yaksho v pochatok koordinat rozmistiti fokus tobto F 0 0 displaystyle F 0 0 otrimayemo rivnyannya r p 1 cos f with f 2 p k displaystyle r frac p 1 cos varphi text with varphi neq 2 pi k Zauvazhennya 1 Shlyahom invertuvannya ciyeyi polyarnoyi formi mozhna pokazati sho parabola ce obernena do kardioyidi Zauvazhennya 2 Druga forma polyarnih koordinat ye osoblivim vipadkom iz rodini konichnih peretiniv iz fokusom F 0 0 displaystyle F 0 0 div zobrazhennya r p 1 e cos f displaystyle r frac p 1 e cos varphi e displaystyle e ekscentrisitet Vlastivist vidbivannya promeniv Redaguvati Reflektivna vlastivist paraboli Reflektivna vlastivist paraboli oznachaye sho yaksho parabola mozhe vidbivati promeni svitla todi te svitlo sho potraplyaye na neyi i prohodit paralelno osi simetriyi vidbivayetsya v yiyi tochku fokusa Cej visnovok mozhna otrimati iz hvilovoyi prirodi svitla Vin pravilnij ale take obgruntuvannya mozhe buti nedostatnim abi buti matematichnim dokazom V navedenomu dali dokazi fakt sho kozhna tochka paraboli ye rivnoviddalenoyu vid fokusu i direktrisi prijmayetsya yak aksioma Rozglyanemo parabolu y x2 Oskilki vsi paraboli podibni cej prostij vipadok vidpovidatime usim inshim Diagrama pravoruch pokazuye chastinu takoyi paraboli Pobudova i viznachennya Redaguvati Tochka E ye dovilnoyu tochku na paraboli iz koordinatami x x2 Fokus poznacheno yak F a vershinu paraboli yak A znahoditsya u pochatku koordinat a pryama FA vis y ye vissyu simetriyi Pryama EC paralelna osi simetriyi i peretinaye vis x v tochci D Tochka C rozmishena na direktrisi yaka ne pokazana abi sprostiti diagramu Tochka B ye seredinoyu linijnogo vidrizku FC Dedukciya Redaguvati Yaksho vimiryuvati zdovzh osi simetriyi vershina A ye rivnoviddalenoyu vid fokusu F i vid direktrisi Vidpovidno do teoremi Falesa pro proporcijni vidrizki oskilki C znahoditsya na direktrisi y koordinati tochki F i C ye rivnimi za absolyutnim znachennyam ale mayut protilezhnij znak B ye serednoyu tochkoyu vidrizku FC tomu yiyi y koordinata dorivnyuye nulyu tomu vona znahoditsya na osi x Yiyi x koordinata ye polovinoyu vid znachennya koordinati tochok E D i C tobto x 2 Kutovij koeficiyent pryamogo vidrizku BE zadayetsya dovzhinami vidrizkiv ED i BD i stanovit x2 x 2 sho zvoditsya do znachennya 2x Ale 2x ye takozh kutovih koeficiyentom pershoyu pohidnoyu paraboli v tochci E Tomu pryama BE ye dotichnoyu do paraboli v tochci E Vidstani EF i EC ye rivnimi oskilki E ye tochkoyu paraboli F ye tochkoyu fokusu a C direktrisi Tomu oskilki B ye serednoyu tochkoyu vidrizku FC trikutniki FEB i CEB ye kongruentnimi po trom storonam naslidkom chogo ye te sho kuti vidmicheni literoyu a ye takozh kongruentnimi kut nad E ye vertikalno protilezhnim kutom BEC Ce oznachaye sho promin svitla yakij potraplyaye na parabolu i prohodit do tochki E paralelno osi simetriyi bude vidbivatisya vid pryamoyi BE i v rezultati bude sliduvati po pryamij EF sho pokazano chervonim na malyunku pripuskayuchi sho svitlo mozhe vidbivatisya vid pryamih Oskilki BE ye dotichnoyu do paraboli v tochci E tak samo svitlo vidbivatimetsya vid neskinchenno maloyi dilyanki dugi paraboli v tochci E Takim chinom svitlo yake potraplyaye do paraboli i prohodit do tochki E paralelno osi simetriyi paraboli vidbivayetsya paraboloyu v tochku fokusu Tochka E ne maye osoblivih vlastivostej Cej visnovok shodo vidbitogo svitla ye virnim dlya usih tochok paraboli yak pokazano v livij chastini zobrazhennya Ce ye vlastivistyu paraboli Parabolichni formi u prirodi tehnici ta arhitekturi RedaguvatiTrayektoriyi deyakih kosmichnih til komet asteroyidiv ta inshih sho prohodyat poblizu zori abo inshogo masivnogo ob yekta na dosit velikij shvidkosti mayut formu paraboli abo giperboli Ci tila vnaslidok svoyeyi velikoyi shvidkosti i maloyi masi ne zahoplyuyutsya gravitacijnim polem zori i prodovzhuyut vilnij polit Ce yavishe vikoristovuyetsya dlya gravitacijnih manevriv kosmichnih korabliv zokrema aparativ Voyadzher Pri vidsutnosti oporu povitrya trayektoriya polotu tila v odnoridnomu gravitacijnomu poli ye paraboloyu Pri obertanni posudini z ridinoyu navkolo vertikalnoyi osi poverhnya ridini v posudini i vertikalna ploshina peretinayutsya po paraboli Vlastivist paraboli fokusuvati puchok promeniv paralelnih osi paraboli vikoristovuyetsya v konstrukciyah prozhektoriv lihtariv far a takozh teleskopiv reflektoriv optichnih infrachervonih radio tosho v konstrukciyi vuzkospryamovanih suputnikovih ta inshih anten neobhidnih dlya peredavannya danih na veliki vidstani sonyachnih elektrostancij i v inshih galuzyah Forma paraboli inodi vikoristovuyetsya v arhitekturi pid chas budivnictva dahiv i kupoliv Parabolichna orbita suputnika Padinnya basketbolnogo m yacha Parabolichna sonyachna elektrostanciya v Kaliforniyi SShA Biblioteka z dahom u formi paraboli norvezke misto Tromso Parabolichna forma poverhni ridini pid chas obertannya Dvi ridini riznoyi gustini povnistyu zapovnyuyut vuzkij prostir mizh dvoma listami prozorogo plastiku Promizhok mizh listami zakrito znizu z bokiv i zverhu Vsya konstrukciya obertayetsya navkolo vertikalnoyi osi sho prohodit cherez centr Div takozh RedaguvatiKubichna parabola Konichni peretini Elips Giperbola Kolo Lancyugova liniya Kvadratne rivnyannya Sinusoyidalna spiral Trisektrisa Maklorena podera paraboliDzherela RedaguvatiStattya v dovidniku Prikladnaya matematika Animovani risunki yaki ilyustruyut vlastivosti paraboli Informaciya pro svyazok paraboli s fizikoyu Uchebnyj film o parabole Bronshtejn I Parabola zhurnal Kvant 4 1975 A A Akopyan A V Zaslavskij Geometricheskie svojstva krivyh vtorogo poryadka Moskva Izdatelstvo MCNMO 2007 god Posilannya RedaguvatiParabola Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 112 114 594 s Parabola Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 145 ISBN 978 966 7407 83 4 Primitki Redaguvati Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone Deriving the Symptom of the Parabola Mathematical Association of America Procitovano 30 veresnya 2016 Wilson Ray N 2004 Reflecting Telescope Optics Basic design theory and its historical development vid 2 Springer s 3 ISBN 3 540 40106 7 Extract of page 3 Stargazer p 115 Stargazer pp 123 and 132 Fitzpatrick Richard 14 lipnya 2007 Spherical Mirrors Electromagnetism and Optics lectures University of Texas at Austin Paraxial Optics Procitovano 5 zhovtnya 2011 Downs J W 2003 Practical Conic Sections Dover Publishing ISBN vidsutnij Sondow Jonathan 2013 The parbelos a parabolic analog of the arbelos American Mathematical Monthly 120 929 935 arXiv 1210 2279 doi 10 4169 amer math monthly 120 10 929 Vikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Parabola Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Parabola amp oldid 38290480