www.wikidata.uk-ua.nina.az

Неявна функція У математиці неявне рівняння це співвідношення en вигляду R x 1 x n 0 displaystyle R x 1 dots x n 0 де R

Неявна функція

У математиці неявне рівняння — це співвідношення[en] вигляду

де — функція кількох змінних (часто многочлен).

Неявна функція — це функція, яка визначається неявним рівнянням, яке пов'язує одну зі змінних, що розглядається як значення[en] функції, з іншими, які розглядаються як аргументи.:204–206

Наприклад, рівняння одиничного кола

визначає змінну як неявну функцію змінної , якщо , і обмежує невід'ємними значеннями.

Теорема про неявну функцію забезпечує умови, за яких деякі типи співвідношень визначають неявну функцію, а саме, співвідношення визначені як характеристична функція нульової множини деякої неперервно диференційованої функції багатьох змінних.

Приклади Редагувати

Обернені функції Редагувати

Поширеним типом неявної функції є обернена функція. Не всі функції мають єдину обернену функцію. Якщо є функцією змінної , яка має єдину обернену, тоді функція обернена до функції , яку позначають , є єдиною функцією, що є розв'язком рівняння

для змінної у термінах змінної . Цей розв'язок можна записати як

Визначення функції як оберненої до функції є неявним означенням. Для деяких функцій , функцію можна явно записати як співвідношення у замкненій формі[en]. Наприклад, якщо , то . Однак це часто неможливо або можливо лише шляхом введення нового позначення (як для -функції Ламберта нижче).

Інтуїтивно, обернену функцію можна отримати з функції , коли поміняти місцями залежну та незалежну змінні.

Приклад: -функція Ламберта є неявною функцією, що задає розв'язок рівняння .

Алгебрична функція Редагувати

Основна стаття: алгебрична функція

Алгебрична функція — це функція, яка задовольняє поліноміальне рівняння, коефіцієнти якого самі є многочленами. Наприклад, алгебрична функція для одної змінної є розв'язком для рівняння

де коефіцієнти є поліноміальними функціями змінної . Цю алгебричну функцію можна записати як праву частину для розв'язку рівняння . Якщо функцію записати таким чином, то є багатозначною неявною функцією.

Алгебричні функції відіграють важливу роль у математичному аналізі та алгебричній геометрії. Простий приклад алгебричної функції можна отримати з лівої частини рівняння одиничного кола:

Розв'язавши відносно , отримуємо явний розв'язок рівняння

Але навіть не вказуючи цей явний розв'язок, можна посилатися на неявний розв'язок рівняння одиничного кола як , де — багатозначна неявна функція.

Хоча явні розв'язки можна знайти для рівнянь другого, третього та четвертого степенів відносно змінної , але це у загальному випадку не справедливо для рівнянь п'ятого і вище степенів таких як

Тим не менш, все ще можна посилатися на неявний розв'язок , що включає багатозначну неявну функцію .

Застереження Редагувати

Не кожне рівняння визначає графік однозначної функції, одним із яскравих прикладів є рівняння кола. Іншим прикладом є неявна функція, що задається рівнянням , де — кубічний многочлен, і яка на своєму графіку має "горб". Таким чином, щоб неявна функція була справжньою (однозначною) функцією, може знадобитися використання лише частини графіка. Неявну функцію іноді можна успішно визначити як справжню функцію лише після "збільшення масштабу" певної частини осі і "відрізання" деяких небажаних гілок функції. Тоді можна записати рівняння, що виражає як неявну функцію інших змінних.

Визначальне рівняння також може мати інші патології. Наприклад, рівняння взагалі не визначає функцію , що дає розв'язки для всіх ; це вертикальна лінія. Щоб уникнути подібної проблеми, часто накладаються різні обмеження на допустимі види рівнянь, або на область визначення. Теорема про неявну функцію забезпечує універсальний спосіб обробки подібних патологій.

Диференціювання неявної функції Редагувати

У диференціальному та інтегральному численні метод, який називається неявним диференціюванням, використовують правило ланцюжка для диференціювання неявно заданих функцій.

Щоб продиференціювати неявну функцію , яка задана рівнянням , у загальному випадку неможливо розв'язати її явно відносно , а потім провести диференціювання. Замість цього можна знайти повну похідну виразу відносно змінних та , а потім розв'язати отримане лінійне рівняння відносно , щоб отримати похідну у явному вигляді у термінах змінних та . Навіть, якщо можна явно розв'язати початкове рівняння, то формула, отримана в результаті повного диференціювання, загалом набагато простіша і зручніша у використанні.

Приклади Редагувати

Приклад 1 Редагувати

Розглянемо

Це рівняння легко розв'язати відносно :

де права частина — явний вигляд функції . Після диференціювання отримаємо

З іншої сторони можна обчислити повну похідну для початкового рівняння

Розв'язавши відносно , отримаємо

така ж відповідь, що й отримали раніше.

Приклад 2 Редагувати

Прикладом неявної функції для якої неявне диференціювання простіше ніж використання явного диференціювання є функція , яка визначена рівнянням

Для того, щоб продиференціювати явно відносно , треба спочатку знайти

а потім продиференціювати цю функцію. Звідси отримаємо дві похідні: одну для та іншу для .

Суттєво простіше неявне диференціювання початкового рівняння:

Отже,

Приклад 3 Редагувати

Часто важко або неможливо розв'язати початкове рівняння відносно , а неявне диференціювання є єдиним можливим методом диференціювання. Прикладом є рівняння

Неможливо явно алгебраїчно виразити як функцію від змінної , а тому неможливо знайти шляхом явного диференціювання. Використовуючи неявний метод, можна отримати шляхом диференціювання початкового рівняння:

де . Після того як винесемо за дужки отримаємо рівняння виду

яке у результаті дає

і є визначеним для

Загальна формула для похідної неявної функції Редагувати

Якщо , то похідна неявної функції визначається як:§11.5

де і — частинні похідні функції відносно змінних і .

Наведена вище формула отримується після застосування узагальненого ланцюгового правила для знаходження повної похідної відносно змінної до обох частин рівняння :

Отже,

і після розв'язування відносно отримуємо потрібну формулу.

Теорема про неявну функцію Редагувати

Основна стаття: Теорема про неявну функцію

Нехай — диференційовна функція двох змінних, — пара дійсних чисел таких, що . Якщо , то умова визначає неявну функцію, яка диференційовна в достатньо малому околі точки . Іншими словами, існує диференційовна функція , яка визначена і диференційовна в деякому околі точки , така, що для значень з цього околу.

Умова означає, що є регулярною точкою неявної кривої, що задається неявним рівнянням , для якої дотична не є вертикальною.

На менш технічній мові, неявні функції існують і можуть бути диференційовні, якщо крива не має вертикальної дотичної.:§11.5

В алгебричній геометрії Редагувати

Розглянемо співвідношення[en] виду , де — многочлен багатьох змінних. Множина значень змінних, які задовольняють це співвідношення, називається неявною кривою у випадку, коли і неявною поверхнею у випадку, коли . Неявні рівняння є основою алгебричної геометрії, основним предметом вивчення якої є сумісні розв'язки кількох неявних рівнянь, ліві частини яких є многочленами. Такі множини сумісних розв'язків називаються афінними алгебраїчними множинами[en].

У диференціальних рівняннях Редагувати

Розв'язки диференціальних рівнянь зазвичай задаються за допомогою неявних функцій.

Застосування в економіці Редагувати

Гранична норма заміщення Редагувати

В економіці, коли множина рівня умови є кривою байдужості для величин і двох товарів, що споживаються, абсолютне значення неявної похідної інтерпретується як гранична норма заміщення двох товарів: скільки більше потрібно отримати товару , щоб бути байдужим до втрати однієї одиниці товару .

Гранична норма технічного заміщення Редагувати

Аналогічно, іноді множина рівнів є ізоквантою, що показує різні комбінації використаних величин праці і реального капіталу , кожна з яких призведе до виробництва однієї і тієї ж заданої кількості продукції певного товару. У цьому випадку абсолютне значення неявної похідної трактується як гранична норма технічного заміщення[en] між двома факторами виробництва: на скільки більше капіталу фірма повинна використовувати для виробництва, щоб виробити такий самий об'єм продукції з меншими витратами на одну одиницю праці.

Оптимізація Редагувати

Основна стаття: Математична економіка § Математична оптимізація

Часто в економічній теорії, деякі функції, такі як функція корисності або функція прибутку, повинні бути максимізовані відносно вектора вибору , навіть, якщо об'єктивна функція не обмежена будь-якою конкретною функціональною формою. Теорема про неявну функцію гарантує, що умови оптимізації першого порядку[en] визначають неявну функцію для кожного елемента оптимального вектора заданого вектора вибору . Коли максимізується прибуток, то як правило отримані неявні функції є функцією попиту на працю[en] та функціями пропозиції[en] різних товарів. Коли максимізується корисність, то зазвичай отримані неявні функції є функцією пропозиції праці[en] та функціями попиту на різні товари.

При цьому вплив параметрів задачі на — частинні похідні від неявної функції — можна виразити через повні похідні системи умов першого порядку, що знаходяться за допомогою повного диференціювання.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (вид. Third). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7. 
  2. ↑ Stewart, James (1998). Calculus Concepts And Contexts. Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9. 
  3. Kaplan, Wilfred (2003). Advanced Calculus. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5. 

Додаткова література Редагувати

  • Binmore, K. G. (1983). Implicit Functions. Calculus. New York: Cambridge University Press. с. 198–211. ISBN 0-521-28952-1. 
  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Boston: McGraw-Hill. рр. 223-228. ISBN 0-07-054235-X.
  • Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). Implicit Functions and Their Derivatives. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. с. 334–371. ISBN 0-393-95733-0. 

Зовнішні посилання Редагувати

  • Archived at Ghostarchive and the : Implicit Differentiation, What's Going on Here?. 3Blue1Brown. Essence of Calculus. 3 травня 2017 — через YouTube. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici neyavne rivnyannya ce spivvidnoshennya en viglyadu R x 1 x n 0 displaystyle R x 1 dots x n 0 de R displaystyle R funkciya kilkoh zminnih chasto mnogochlen Neyavna funkciya ce funkciya yaka viznachayetsya neyavnim rivnyannyam yake pov yazuye odnu zi zminnih sho rozglyadayetsya yak znachennya en funkciyi z inshimi yaki rozglyadayutsya yak argumenti 1 204 206Napriklad rivnyannya odinichnogo kola x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 viznachaye zminnu y displaystyle y yak neyavnu funkciyu zminnoyi x displaystyle x yaksho 1 x 1 displaystyle 1 leq x leq 1 i obmezhuye y displaystyle y nevid yemnimi znachennyami Teorema pro neyavnu funkciyu zabezpechuye umovi za yakih deyaki tipi spivvidnoshen viznachayut neyavnu funkciyu a same spivvidnoshennya viznacheni yak harakteristichna funkciya nulovoyi mnozhini deyakoyi neperervno diferencijovanoyi funkciyi bagatoh zminnih Zmist 1 Prikladi 1 1 Oberneni funkciyi 1 2 Algebrichna funkciya 2 Zasterezhennya 3 Diferenciyuvannya neyavnoyi funkciyi 3 1 Prikladi 3 1 1 Priklad 1 3 1 2 Priklad 2 3 1 3 Priklad 3 3 2 Zagalna formula dlya pohidnoyi neyavnoyi funkciyi 4 Teorema pro neyavnu funkciyu 5 V algebrichnij geometriyi 6 U diferencialnih rivnyannyah 7 Zastosuvannya v ekonomici 7 1 Granichna norma zamishennya 7 2 Granichna norma tehnichnogo zamishennya 7 3 Optimizaciya 8 Div takozh 9 Primitki 10 Dodatkova literatura 11 Zovnishni posilannyaPrikladi RedaguvatiOberneni funkciyi Redaguvati Poshirenim tipom neyavnoyi funkciyi ye obernena funkciya Ne vsi funkciyi mayut yedinu obernenu funkciyu Yaksho g displaystyle g nbsp ye funkciyeyu zminnoyi x displaystyle x nbsp yaka maye yedinu obernenu todi funkciya obernena do funkciyi g displaystyle g nbsp yaku poznachayut g 1 displaystyle g 1 nbsp ye yedinoyu funkciyeyu sho ye rozv yazkom rivnyannya y g x displaystyle y g x nbsp dlya zminnoyi x displaystyle x nbsp u terminah zminnoyi y displaystyle y nbsp Cej rozv yazok mozhna zapisati yak x g 1 y displaystyle x g 1 y nbsp Viznachennya funkciyi g 1 displaystyle g 1 nbsp yak obernenoyi do funkciyi g displaystyle g nbsp ye neyavnim oznachennyam Dlya deyakih funkcij g displaystyle g nbsp funkciyu g 1 y displaystyle g 1 y nbsp mozhna yavno zapisati yak spivvidnoshennya u zamknenij formi en Napriklad yaksho g x 2 x 1 displaystyle g x 2x 1 nbsp to g 1 y 1 2 y 1 displaystyle g 1 y dfrac 1 2 y 1 nbsp Odnak ce chasto nemozhlivo abo mozhlivo lishe shlyahom vvedennya novogo poznachennya yak dlya W displaystyle W nbsp funkciyi Lamberta nizhche Intuyitivno obernenu funkciyu mozhna otrimati z funkciyi g displaystyle g nbsp koli pominyati miscyami zalezhnu ta nezalezhnu zminni Priklad W displaystyle W nbsp funkciya Lamberta ye neyavnoyu funkciyeyu sho zadaye rozv yazok rivnyannya y x e x 0 displaystyle y x rm e x 0 nbsp Algebrichna funkciya Redaguvati Osnovna stattya algebrichna funkciyaAlgebrichna funkciya ce funkciya yaka zadovolnyaye polinomialne rivnyannya koeficiyenti yakogo sami ye mnogochlenami Napriklad algebrichna funkciya dlya odnoyi zminnoyi x displaystyle x nbsp ye rozv yazkom dlya y displaystyle y nbsp rivnyannya a n x y n a n 1 x y n 1 a 0 x 0 displaystyle a n x y n a n 1 x y n 1 cdots a 0 x 0 nbsp de koeficiyenti a i x displaystyle a i x nbsp ye polinomialnimi funkciyami zminnoyi x displaystyle x nbsp Cyu algebrichnu funkciyu mozhna zapisati yak pravu chastinu dlya rozv yazku rivnyannya y f x displaystyle y f x nbsp Yaksho funkciyu zapisati takim chinom to f displaystyle f nbsp ye bagatoznachnoyu neyavnoyu funkciyeyu Algebrichni funkciyi vidigrayut vazhlivu rol u matematichnomu analizi ta algebrichnij geometriyi Prostij priklad algebrichnoyi funkciyi mozhna otrimati z livoyi chastini rivnyannya odinichnogo kola x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 nbsp Rozv yazavshi vidnosno y displaystyle y nbsp otrimuyemo yavnij rozv yazok rivnyannya y 1 x 2 displaystyle y pm sqrt 1 x 2 nbsp Ale navit ne vkazuyuchi cej yavnij rozv yazok mozhna posilatisya na neyavnij rozv yazok rivnyannya odinichnogo kola yak y f x displaystyle y f x nbsp de f displaystyle f nbsp bagatoznachna neyavna funkciya Hocha yavni rozv yazki mozhna znajti dlya rivnyan drugogo tretogo ta chetvertogo stepeniv vidnosno zminnoyi y displaystyle y nbsp ale ce u zagalnomu vipadku ne spravedlivo dlya rivnyan p yatogo i vishe stepeniv takih yak y 5 2 y 4 7 y 3 3 y 2 6 y x 0 displaystyle y 5 2y 4 7y 3 3y 2 6y x 0 nbsp Tim ne mensh vse she mozhna posilatisya na neyavnij rozv yazok y f x displaystyle y f x nbsp sho vklyuchaye bagatoznachnu neyavnu funkciyu f displaystyle f nbsp Zasterezhennya RedaguvatiNe kozhne rivnyannya R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp viznachaye grafik odnoznachnoyi funkciyi odnim iz yaskravih prikladiv ye rivnyannya kola Inshim prikladom ye neyavna funkciya sho zadayetsya rivnyannyam x C y 0 displaystyle x C y 0 nbsp de C displaystyle C nbsp kubichnij mnogochlen i yaka na svoyemu grafiku maye gorb Takim chinom shob neyavna funkciya bula spravzhnoyu odnoznachnoyu funkciyeyu mozhe znadobitisya vikoristannya lishe chastini grafika Neyavnu funkciyu inodi mozhna uspishno viznachiti yak spravzhnyu funkciyu lishe pislya zbilshennya masshtabu pevnoyi chastini osi x displaystyle x nbsp i vidrizannya deyakih nebazhanih gilok funkciyi Todi mozhna zapisati rivnyannya sho virazhaye y displaystyle y nbsp yak neyavnu funkciyu inshih zminnih Viznachalne rivnyannya R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp takozh mozhe mati inshi patologiyi Napriklad rivnyannya x 0 displaystyle x 0 nbsp vzagali ne viznachaye funkciyu f x displaystyle f x nbsp sho daye rozv yazki dlya vsih y displaystyle y nbsp ce vertikalna liniya Shob uniknuti podibnoyi problemi chasto nakladayutsya rizni obmezhennya na dopustimi vidi rivnyan abo na oblast viznachennya Teorema pro neyavnu funkciyu zabezpechuye universalnij sposib obrobki podibnih patologij Diferenciyuvannya neyavnoyi funkciyi RedaguvatiU diferencialnomu ta integralnomu chislenni metod yakij nazivayetsya neyavnim diferenciyuvannyam vikoristovuyut pravilo lancyuzhka dlya diferenciyuvannya neyavno zadanih funkcij Shob prodiferenciyuvati neyavnu funkciyu y x displaystyle y x nbsp yaka zadana rivnyannyam R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp u zagalnomu vipadku nemozhlivo rozv yazati yiyi yavno vidnosno y displaystyle y nbsp a potim provesti diferenciyuvannya Zamist cogo mozhna znajti povnu pohidnu virazu R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp vidnosno zminnih x displaystyle x nbsp ta y displaystyle y nbsp a potim rozv yazati otrimane linijne rivnyannya vidnosno d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp shob otrimati pohidnu u yavnomu viglyadi u terminah zminnih x displaystyle x nbsp ta y displaystyle y nbsp Navit yaksho mozhna yavno rozv yazati pochatkove rivnyannya to formula otrimana v rezultati povnogo diferenciyuvannya zagalom nabagato prostisha i zruchnisha u vikoristanni Prikladi Redaguvati Priklad 1 Redaguvati Rozglyanemo y x 5 0 displaystyle y x 5 0 nbsp Ce rivnyannya legko rozv yazati vidnosno y displaystyle y nbsp y x 5 displaystyle y x 5 nbsp de prava chastina yavnij viglyad funkciyi y x displaystyle y x nbsp Pislya diferenciyuvannya otrimayemo d y d x 1 displaystyle frac rm d y rm d x 1 nbsp Z inshoyi storoni mozhna obchisliti povnu pohidnu dlya pochatkovogo rivnyannya d y d x d x d x d d x 5 0 d y d x 1 0 0 displaystyle begin aligned amp frac rm d y rm d x frac rm d x rm d x frac rm d rm d x 5 0 amp frac rm d y rm d x 1 0 0 end aligned nbsp Rozv yazavshi vidnosno d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp otrimayemo d y d x 1 displaystyle frac rm d y rm d x 1 nbsp taka zh vidpovid sho j otrimali ranishe Priklad 2 Redaguvati Prikladom neyavnoyi funkciyi dlya yakoyi neyavne diferenciyuvannya prostishe nizh vikoristannya yavnogo diferenciyuvannya ye funkciya y x displaystyle y x nbsp yaka viznachena rivnyannyam x 4 2 y 2 8 displaystyle x 4 2y 2 8 nbsp Dlya togo shob prodiferenciyuvati yavno vidnosno x displaystyle x nbsp treba spochatku znajti y x 8 x 4 2 displaystyle y x pm sqrt frac 8 x 4 2 nbsp a potim prodiferenciyuvati cyu funkciyu Zvidsi otrimayemo dvi pohidni odnu dlya y 0 displaystyle y geq 0 nbsp ta inshu dlya y 0 displaystyle y leq 0 nbsp Suttyevo prostishe neyavne diferenciyuvannya pochatkovogo rivnyannya 4 x 3 4 y d y d x 0 displaystyle 4x 3 4y frac rm d y rm d x 0 nbsp Otzhe d y d x 4 x 3 4 y x 3 y displaystyle frac rm d y rm d x frac 4x 3 4y frac x 3 y nbsp Priklad 3 Redaguvati Chasto vazhko abo nemozhlivo rozv yazati pochatkove rivnyannya vidnosno y displaystyle y nbsp a neyavne diferenciyuvannya ye yedinim mozhlivim metodom diferenciyuvannya Prikladom ye rivnyannya y 5 y x displaystyle y 5 y x nbsp Nemozhlivo yavno algebrayichno viraziti y displaystyle y nbsp yak funkciyu vid zminnoyi x displaystyle x nbsp a tomu nemozhlivo znajti d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp shlyahom yavnogo diferenciyuvannya Vikoristovuyuchi neyavnij metod d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp mozhna otrimati shlyahom diferenciyuvannya pochatkovogo rivnyannya 5 y 4 d y d x d y d x d x d x displaystyle 5y 4 frac rm d y rm d x frac rm d y rm d x frac rm d x rm d x nbsp de d x d x 1 displaystyle displaystyle frac rm d x rm d x 1 nbsp Pislya togo yak vinesemo za duzhki d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp otrimayemo rivnyannya vidu 5 y 4 1 d y d x 1 displaystyle left 5y 4 1 right frac rm d y rm d x 1 nbsp yake u rezultati daye d y d x 1 5 y 4 1 displaystyle frac rm d y rm d x frac 1 5y 4 1 nbsp i ye viznachenim dlya y 1 5 4 i y i 5 4 displaystyle y neq pm frac 1 sqrt 4 5 quad text i quad y neq pm frac rm i sqrt 4 5 nbsp Zagalna formula dlya pohidnoyi neyavnoyi funkciyi Redaguvati Yaksho R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp to pohidna neyavnoyi funkciyi y x displaystyle y x nbsp viznachayetsya yak 2 11 5 d y d x R x R y R x R y displaystyle frac rm d y rm d x frac dfrac partial R partial x dfrac partial R partial y frac R x R y nbsp de R x displaystyle R x nbsp i R y displaystyle R y nbsp chastinni pohidni funkciyi R displaystyle R nbsp vidnosno zminnih x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp Navedena vishe formula otrimuyetsya pislya zastosuvannya uzagalnenogo lancyugovogo pravila dlya znahodzhennya povnoyi pohidnoyi vidnosno zminnoyi x displaystyle x nbsp do oboh chastin rivnyannya R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp R x d x d x R y d y d x 0 displaystyle frac partial R partial x frac rm d x rm d x frac partial R partial y frac rm d y rm d x 0 nbsp Otzhe R x R y d y d x 0 displaystyle frac partial R partial x frac partial R partial y frac rm d y rm d x 0 nbsp i pislya rozv yazuvannya vidnosno d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp otrimuyemo potribnu formulu Teorema pro neyavnu funkciyu RedaguvatiOsnovna stattya Teorema pro neyavnu funkciyuNehaj R x y displaystyle R x y nbsp diferencijovna funkciya dvoh zminnih a b displaystyle a b nbsp para dijsnih chisel takih sho R a b 0 displaystyle R a b 0 nbsp Yaksho R y 0 displaystyle displaystyle frac partial R partial y neq 0 nbsp to umova R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp viznachaye neyavnu funkciyu yaka diferencijovna v dostatno malomu okoli tochki a b displaystyle a b nbsp Inshimi slovami isnuye diferencijovna funkciya f displaystyle f nbsp yaka viznachena i diferencijovna v deyakomu okoli tochki a displaystyle a nbsp taka sho R x f x 0 displaystyle R x f x 0 nbsp dlya znachen x displaystyle x nbsp z cogo okolu Umova R y 0 displaystyle displaystyle frac partial R partial y neq 0 nbsp oznachaye sho a b displaystyle a b nbsp ye regulyarnoyu tochkoyu neyavnoyi krivoyi sho zadayetsya neyavnim rivnyannyam R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp dlya yakoyi dotichna ne ye vertikalnoyu Na mensh tehnichnij movi neyavni funkciyi isnuyut i mozhut buti diferencijovni yaksho kriva ne maye vertikalnoyi dotichnoyi 2 11 5V algebrichnij geometriyi RedaguvatiRozglyanemo spivvidnoshennya en vidu R x 1 x n 0 displaystyle R x 1 dots x n 0 nbsp de R displaystyle R nbsp mnogochlen bagatoh zminnih Mnozhina znachen zminnih yaki zadovolnyayut ce spivvidnoshennya nazivayetsya neyavnoyu krivoyu u vipadku koli n 2 displaystyle n 2 nbsp i neyavnoyu poverhneyu u vipadku koli n 3 displaystyle n 3 nbsp Neyavni rivnyannya ye osnovoyu algebrichnoyi geometriyi osnovnim predmetom vivchennya yakoyi ye sumisni rozv yazki kilkoh neyavnih rivnyan livi chastini yakih ye mnogochlenami Taki mnozhini sumisnih rozv yazkiv nazivayutsya afinnimi algebrayichnimi mnozhinami en U diferencialnih rivnyannyah RedaguvatiRozv yazki diferencialnih rivnyan zazvichaj zadayutsya za dopomogoyu neyavnih funkcij 3 Zastosuvannya v ekonomici RedaguvatiGranichna norma zamishennya Redaguvati V ekonomici koli mnozhina rivnya umovi R x y 0 displaystyle R x y 0 nbsp ye krivoyu bajduzhosti dlya velichin x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp dvoh tovariv sho spozhivayutsya absolyutne znachennya neyavnoyi pohidnoyi d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x nbsp interpretuyetsya yak granichna norma zamishennya dvoh tovariv skilki bilshe potribno otrimati tovaru y displaystyle y nbsp shob buti bajduzhim do vtrati odniyeyi odinici tovaru x displaystyle x nbsp Granichna norma tehnichnogo zamishennya Redaguvati Analogichno inodi mnozhina rivniv R L K displaystyle R L K nbsp ye izokvantoyu sho pokazuye rizni kombinaciyi vikoristanih velichin praci L displaystyle L nbsp i realnogo kapitalu K displaystyle K nbsp kozhna z yakih prizvede do virobnictva odniyeyi i tiyeyi zh zadanoyi kilkosti produkciyi pevnogo tovaru U comu vipadku absolyutne znachennya neyavnoyi pohidnoyi d K d L displaystyle displaystyle frac rm d K rm d L nbsp traktuyetsya yak granichna norma tehnichnogo zamishennya en mizh dvoma faktorami virobnictva na skilki bilshe kapitalu firma povinna vikoristovuvati dlya virobnictva shob virobiti takij samij ob yem produkciyi z menshimi vitratami na odnu odinicyu praci Optimizaciya Redaguvati Osnovna stattya Matematichna ekonomika Matematichna optimizaciyaChasto v ekonomichnij teoriyi deyaki funkciyi taki yak funkciya korisnosti abo funkciya pributku povinni buti maksimizovani vidnosno vektora viboru x displaystyle x nbsp navit yaksho ob yektivna funkciya ne obmezhena bud yakoyu konkretnoyu funkcionalnoyu formoyu Teorema pro neyavnu funkciyu garantuye sho umovi optimizaciyi pershogo poryadku en viznachayut neyavnu funkciyu dlya kozhnogo elementa optimalnogo vektora x displaystyle x ast nbsp zadanogo vektora viboru x displaystyle x nbsp Koli maksimizuyetsya pributok to yak pravilo otrimani neyavni funkciyi ye funkciyeyu popitu na pracyu en ta funkciyami propoziciyi en riznih tovariv Koli maksimizuyetsya korisnist to zazvichaj otrimani neyavni funkciyi ye funkciyeyu propoziciyi praci en ta funkciyami popitu na rizni tovari Pri comu vpliv parametriv zadachi na x displaystyle x ast nbsp chastinni pohidni vid neyavnoyi funkciyi mozhna viraziti cherez povni pohidni sistemi umov pershogo poryadku sho znahodyatsya za dopomogoyu povnogo diferenciyuvannya Div takozh RedaguvatiNeyavna kriva Funkcionalne rivnyannya Mnozhina rivnya Izoliniya Izopoverhnya Granichna norma zamishennya Teorema pro neyavnu funkciyu Logarifmichne diferenciyuvannya en Poligonizator en Pov yazani shvidkosti en Primitki Redaguvati Chiang Alpha C 1984 Fundamental Methods of Mathematical Economics vid Third New York McGraw Hill ISBN 0 07 010813 7 a b Stewart James 1998 Calculus Concepts And Contexts Brooks Cole Publishing Company ISBN 0 534 34330 9 Kaplan Wilfred 2003 Advanced Calculus Boston Addison Wesley ISBN 0 201 79937 5 Dodatkova literatura RedaguvatiBinmore K G 1983 Implicit Functions Calculus New York Cambridge University Press s 198 211 ISBN 0 521 28952 1 Rudin Walter 1976 Principles of Mathematical Analysis Boston McGraw Hill rr 223 228 ISBN 0 07 054235 X Simon Carl P Blume Lawrence 1994 Implicit Functions and Their Derivatives Mathematics for Economists New York W W Norton s 334 371 ISBN 0 393 95733 0 Zovnishni posilannya RedaguvatiArchived at Ghostarchive and the Wayback Machine Implicit Differentiation What s Going on Here 3Blue1Brown Essence of Calculus 3 travnya 2017 cherez YouTube Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Neyavna funkciya amp oldid 40287518