www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння четвертого степеня У математиці рівняння четвертого степеня є результатом прирівнювання многочлена четвертого с

Рівняння четвертого степеня

У математиці рівняння четвертого степеня є результатом прирівнювання многочлена четвертого степеня до нуля. Воно має такий загальний вигляд

Графік функції

де

Рівняння четвертого степеня є рівнянням найвищого степеня, що дозволяє подання загального розв'язку у радикалах.

Історія

Лодовіко Феррарі

Рівняння четвертого степеня було вперше розглянуто математиками Індії між 400 до н. е. і 200 н. е.

Лодовіко Феррарі першим відкрив розв'язок рівнянь четвертого степеня (1540), проте його робота мала один недолік: він спирався на розв'язок кубічного рівняння, який належав Нікколо Тартальї. Тарталья просив не опубліковувати його, допоки він не надрукує власну книжку. Проте згодом, цей розв'язок було опубліковано разом із розв'язком кубічного рівняння його наставником Джироламо Кардано у книзі «Ars Magna» (1545).

Розв'язок рівнянь вищих степенів (від п'ятого) у загальному випадку не можна подати в радикалах. Але недоведеність цього факту протягом деякого часу підбурювала вчених шукати такі розв'язки. 1824 року було опубліковано теорему Абеля-Руффіні, яка доводила неможливість подати корені рівнянь вищих степенів через радикали у загальному випадку.

Застосування

Поліноми високих степенів часто виникають у проблемах математичних методів оптимізації, де, зокрема, доводиться розглядати поліноми четвертого степеня, хоча і не дуже часто.

Рівняння четвертого степеня часто виникають у комп'ютерній графіці і при обчисленні рей-трейсингу (обтікання променів) проти торичних поверхонь, а також поверхонь четвертого порядку і лінійчастих поверхонь.

Іншою типовою задачею, у процесі розв'язання якої виникає рівняння четвертого степеня, є пошук перетину двох еліпсів, заданих неканонічно.

Досить часто виникає потреба розв'язувати рівняння четвертого степеня у задачах, які полягають у пошуку умов стійкості динамічних систем. Це пов'язано з тим, що потрібно шукати власні значення матриць монодромії вищезгаданих систем, що у випадку матриць 4 на 4 рівнозначно розв'язанню деякого рівняння четвертого степеня.

Програмна версія стійкого розв'язку рівняння четвертого степеня наведена у Graphics Gems.

Розв'язання рівняння четвертого степеня

Окремі випадки

Нульовий вільний член

Якщо то один з коренів а інші можна знайти, поділивши все рівняння на після чого отримавши кубічне рівняння,

розв'язати його і знайти решту коренів.

Очевидні корені: 1 та −1

Згідно з теоремою Вієта, рівняння

  • має корінь 1, якщо Поділивши його на , отримавши кубічне рівняння, продовжити шукати корені.
  • має корінь -1, якщо Тоді, його можна поділити на , і розв'язати кубічне рівняння.

Біквадратні рівняння

Графік функції . Поліном четвертого степеня, що стоїть у правій частині, є біквадратичним і має симетричні корені: 1 і −1, 2 і −2.

Рівняння четвертого степеня, у якому a3 і a1 дорівнюють нулю, набуває вигляду:

Його називають біквадратним рівнянням і застосувавши заміну , перетворимо його на квадратне рівняння

яке має корені:

Використавши обидва значення змінної z, отримаємо чотири корені x вихідного рівняння:

Якщо серед знайдених чисел z є від'ємні або комплексні числа, то деякі з коренів вихідного рівняння будуть комплексними.

Квазісиметричні рівняння

Загальний вигляд рівняння:

, де . Це рівняння можна розв'язати таким способом:

Поділимо обидві частини рівняння на , отримаємо

після цього виконаємо заміну:

Отримаємо:

Розв'язком цього рівняння є 2 корені

Корені початкового рівняння можна дістати, розв'язавши рівняння:

та

Квазісиметричні рівняння четвертого степеня задовольняють таким умовам (вони випливають з формули Вієта): нехай , , і , — корені рівняння, тоді:

  • ;
  • ;
  • .

Загальний випадок, метод Феррарі

Канонізація рівняння

Нехай потрібно розв'язати рівняння четвертого степеня

Спочатку позбавимося члена x3. Для цього поділимо обидві частини на A і зробимо підстановку

Перепозначивши коефіцієнти при u отримаємо рівняння

яке називається канонічним рівнянням четвертого степеня.

Якщо , то ми отримаємо біквадратне рівняння, яке легко розв'язується.

Розв'язок Феррарі

Замість u4 виділимо повний квадрат (u2 + α)2, отримаємо

Введемо нову змінну y для утворення повного квадрата у в лівій частині (2), отримаємо

Виберемо змінну y так, щоб у правій частині рівності (3) утворився повний квадрат. Це станеться, якщо в правій частині дискримінант квадратного рівняння відносно u дорівнюватиме нулю:

Потрібно розв'язати це рівняння щодо параметра y. Звівши множники, отримаємо кубічне рівняння:

Розв'язання похідного кубічного рівняння

Рівняння (4) є похідним кубічним рівнянням від рівняння четвертого степеня. Зробивши заміну

Та перепозначивши його коефіцієнти, отримаємо канонічне кубічне рівняння:

Нас задовольнить будь-який розв'язок рівняння (5).

візьмемо такий розв'язок кубічного рівняння (4):

Видобування кореня з обох частин і завершення розв'язування

Підставивши повний квадрат в праву частину, отримаємо повні квадрати з обох боків:

Отже:

Зведемо подібні доданки при u:

Рівняння (8) є квадратним рівнянням щодо u. Його розв'язок має вигляд

Розв'язок вихідного рівняння має вигляд:

Інші методи

Метод невизначених коефіцієнтів

Попереднє розв'язання рівняння четвертого степеня характеризується досить специфічними і неочевидними підстановками, що робить його важким для запам'ятовування.

Розглянемо інше розв'язання, яке базується на методі невизначених коефіцієнтів. Ідея полягає у тому, що потрібно розкласти поліном четвертого степеня у добуток квадратичних поліномів. Нехай

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x:

Цю систему важче розв'язати, ніж здається, проте якщо почати з канонічного рівняння четвертого степеня, де , ми отримаємо , і:

Тепер можна легко виключити і :

Якщо ми позначимо , то це рівняння перетвориться у кубічне рівняння:

Нехай ми отримали , тоді:

Підставивши отримані параметри p, q, r, s у квадратичні поліноми і розв'язавши їх, ми отримаємо розв'язок вихідного рівняння четвертого степеня. Якщо початкове рівняння було неканонічним, то треба здійснити зворотну заміну.

Чисельний (неаналітичний) розв'язок

Досить ефективним у розв'язанні рівнянь четвертого степеня є метод парабол, що знаходить не лише дійсні (на відміну від методу бісекцій), але й комплексні значення коренів, до того ж цей метод без особливих труднощів розв'язує також рівняння з комплексними коефіцієнтами. Розглянемо цей метод.

Нехай заданий поліном , корені якого треба знайти.

Знайдемо один з цих коренів. Візьмемо три довільні (початкові) точки з комплексної площини, єдина вимога: вони мають бути всі різними, а також різним має бути значення полінома у цих точках (часто беруть точки −1, 0, 1). Розглянемо такі 3 точки: . Оскільки через будь-які 3 точки з різними абсцисами можна провести параболу (яка, щоправда, може вироджуватися у пряму), то проведемо цю параболу. Нехай її рівняння має вигляд . Прирівнявши це рівняння до нуля, ми отримаємо корені (які, взагалі кажучи, є комплексними числами, а тому завжди існують). Візьмемо за те з чисел , яке найменше відрізняється (за модулем) від . Надалі розглядатимемо трійку чисел . І так далі. Варто сказати, що послідовність досить швидко збігається до одного з коренів: відшукання кореня із точністю у 10 значущих цифр може бути досягнуто за 20 кроків.

Після того, як ми знайшли один з коренів (позначимо його через ), слід поділити весь поліном на двочлен . Після цього ми отримаємо кубічний поліном, для якого також можна знайти один з коренів методом парабол. Після відповідного ділення ми отримаємо квадратичний поліном, після розв'язання якого ми отримаємо решту коренів початкового рівняння.

Внаслідок універсальності цього методу, його можна застосовувати не тільки для розв'язання рівнянь четвертого степеня, а й для рівнянь вищих степенів.

Див. також

Примітки

  1. . www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Архів оригіналу за 29 жовтня 2009. Процитовано 15 жовтня 2016. 
  2. Stewart, Ian, Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
  3. [1]
  4. ACM TOG. ACM Transactions on Graphics (TOG). Процитовано 15 жовтня 2016. 

Джерела

Ця стаття належить до добрих статей української Вікіпедії.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematici rivnyannya chetvertogo stepenya ye rezultatom pririvnyuvannya mnogochlena chetvertogo stepenya do nulya Vono maye takij zagalnij viglyadGrafik funkciyi y x 4 0 5 x 3 5 x 2 2 x 4 displaystyle y x 4 0 5x 3 5x 2 2x 4 quad a x 4 b x 3 c x 2 d x e 0 displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 de a 0 displaystyle a neq 0 Rivnyannya chetvertogo stepenya ye rivnyannyam najvishogo stepenya sho dozvolyaye podannya zagalnogo rozv yazku u radikalah Zmist 1 Istoriya 2 Zastosuvannya 3 Rozv yazannya rivnyannya chetvertogo stepenya 3 1 Okremi vipadki 3 1 1 Nulovij vilnij chlen 3 1 2 Ochevidni koreni 1 ta 1 3 1 3 Bikvadratni rivnyannya 3 1 4 Kvazisimetrichni rivnyannya 3 2 Zagalnij vipadok metod Ferrari 3 2 1 Kanonizaciya rivnyannya 3 2 2 Rozv yazok Ferrari 3 2 2 1 Rozv yazannya pohidnogo kubichnogo rivnyannya 3 2 2 2 Vidobuvannya korenya z oboh chastin i zavershennya rozv yazuvannya 3 3 Inshi metodi 3 3 1 Metod neviznachenih koeficiyentiv 3 3 2 Chiselnij neanalitichnij rozv yazok 4 Div takozh 5 Primitki 6 DzherelaIstoriya Redaguvati Lodoviko FerrariRivnyannya chetvertogo stepenya bulo vpershe rozglyanuto matematikami Indiyi mizh 400 do n e i 200 n e Lodoviko Ferrari pershim vidkriv rozv yazok rivnyan chetvertogo stepenya 1540 prote jogo robota mala odin nedolik vin spiravsya na rozv yazok kubichnogo rivnyannya yakij nalezhav Nikkolo Tartalyi Tartalya prosiv ne opublikovuvati jogo dopoki vin ne nadrukuye vlasnu knizhku 1 Prote zgodom cej rozv yazok bulo opublikovano razom iz rozv yazkom kubichnogo rivnyannya jogo nastavnikom Dzhirolamo Kardano u knizi Ars Magna 1545 Rozv yazok rivnyan vishih stepeniv vid p yatogo u zagalnomu vipadku ne mozhna podati v radikalah Ale nedovedenist cogo faktu protyagom deyakogo chasu pidburyuvala vchenih shukati taki rozv yazki 1824 roku bulo opublikovano teoremu Abelya Ruffini yaka dovodila nemozhlivist podati koreni rivnyan vishih stepeniv cherez radikali u zagalnomu vipadku 2 Zastosuvannya RedaguvatiPolinomi visokih stepeniv chasto vinikayut u problemah matematichnih metodiv optimizaciyi de zokrema dovoditsya rozglyadati polinomi chetvertogo stepenya hocha i ne duzhe chasto Rivnyannya chetvertogo stepenya chasto vinikayut u komp yuternij grafici i pri obchislenni rej trejsingu obtikannya promeniv proti torichnih poverhon a takozh poverhon chetvertogo poryadku i linijchastih poverhon 3 Inshoyu tipovoyu zadacheyu u procesi rozv yazannya yakoyi vinikaye rivnyannya chetvertogo stepenya ye poshuk peretinu dvoh elipsiv zadanih nekanonichno Dosit chasto vinikaye potreba rozv yazuvati rivnyannya chetvertogo stepenya u zadachah yaki polyagayut u poshuku umov stijkosti dinamichnih sistem Ce pov yazano z tim sho potribno shukati vlasni znachennya matric monodromiyi vishezgadanih sistem sho u vipadku matric 4 na 4 rivnoznachno rozv yazannyu deyakogo rivnyannya chetvertogo stepenya Programna versiya stijkogo rozv yazku rivnyannya chetvertogo stepenya navedena u Graphics Gems 4 Rozv yazannya rivnyannya chetvertogo stepenya RedaguvatiOkremi vipadki Redaguvati Nulovij vilnij chlen Redaguvati Yaksho a 4 0 displaystyle a 4 0 to odin z koreniv x 0 displaystyle x 0 a inshi mozhna znajti podilivshi vse rivnyannya na x displaystyle x quad pislya chogo otrimavshi kubichne rivnyannya a 0 x 3 a 1 x 2 a 2 x a 3 0 displaystyle a 0 x 3 a 1 x 2 a 2 x a 3 0 quad rozv yazati jogo i znajti reshtu koreniv Ochevidni koreni 1 ta 1 Redaguvati Zgidno z teoremoyu Viyeta rivnyannya a 0 x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4 0 displaystyle a 0 x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4 0 maye korin 1 yaksho a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 0 displaystyle a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 0 Podilivshi jogo na x 1 displaystyle x 1 otrimavshi kubichne rivnyannya prodovzhiti shukati koreni maye korin 1 yaksho a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 0 displaystyle a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 0 Todi jogo mozhna podiliti na x 1 displaystyle x 1 i rozv yazati kubichne rivnyannya Bikvadratni rivnyannya Redaguvati Grafik funkciyi y x 4 5 x 2 4 displaystyle y x 4 5x 2 4 quad Polinom chetvertogo stepenya sho stoyit u pravij chastini ye bikvadratichnim i maye simetrichni koreni 1 i 1 2 i 2 Rivnyannya chetvertogo stepenya u yakomu a3 i a1 dorivnyuyut nulyu nabuvaye viglyadu a 0 x 4 a 2 x 2 a 4 0 displaystyle a 0 x 4 a 2 x 2 a 4 0 Jogo nazivayut bikvadratnim rivnyannyam i zastosuvavshi zaminu z x 2 displaystyle z x 2 peretvorimo jogo na kvadratne rivnyannya a 0 z 2 a 2 z a 4 0 displaystyle a 0 z 2 a 2 z a 4 0 yake maye koreni z a 2 a 2 2 4 a 0 a 4 2 a 0 displaystyle z a 2 pm sqrt a 2 2 4a 0 a 4 over 2a 0 Vikoristavshi obidva znachennya zminnoyi z otrimayemo chotiri koreni x vihidnogo rivnyannya x 1 z 1 displaystyle x 1 sqrt z 1 x 2 z 1 displaystyle x 2 sqrt z 1 x 3 z 2 displaystyle x 3 sqrt z 2 x 4 z 2 displaystyle x 4 sqrt z 2 Yaksho sered znajdenih chisel z ye vid yemni abo kompleksni chisla to deyaki z koreniv vihidnogo rivnyannya budut kompleksnimi Kvazisimetrichni rivnyannya Redaguvati Zagalnij viglyad rivnyannya x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x m 2 0 displaystyle x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x m 2 0 de m a 3 a 1 displaystyle m a 3 a 1 Ce rivnyannya mozhna rozv yazati takim sposobom Podilimo obidvi chastini rivnyannya na x 2 displaystyle x 2 otrimayemo x 2 a 1 x a 2 a 3 x m 2 x 2 0 displaystyle x 2 a 1 x a 2 a 3 x m 2 x 2 0 x 2 m 2 x 2 a 1 x m x a 2 0 displaystyle x 2 m 2 x 2 a 1 x m x a 2 0 pislya cogo vikonayemo zaminu z x m x displaystyle z x m x Otrimayemo z 2 a 1 z a 2 2 m 0 displaystyle z 2 a 1 z a 2 2m 0 Rozv yazkom cogo rivnyannya ye 2 koreni z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 Koreni pochatkovogo rivnyannya mozhna distati rozv yazavshi rivnyannya x 2 z 1 x m 0 displaystyle x 2 z 1 x m 0 ta x 2 z 2 x m 0 displaystyle x 2 z 2 x m 0 Kvazisimetrichni rivnyannya chetvertogo stepenya zadovolnyayut takim umovam voni viplivayut z formuli Viyeta nehaj x 1 displaystyle x 1 quad x 2 displaystyle x 2 quad i x 3 displaystyle x 3 quad x 4 displaystyle x 4 quad koreni rivnyannya todi x 1 x 2 m displaystyle x 1 x 2 m quad x 3 x 4 m displaystyle x 3 x 4 m quad x 1 x 2 x 3 x 4 m 2 displaystyle x 1 x 2 x 3 x 4 m 2 quad Zagalnij vipadok metod Ferrari Redaguvati Dokladnishe Metod FerrariKanonizaciya rivnyannya Redaguvati Nehaj potribno rozv yazati rivnyannya chetvertogo stepenya A x 4 B x 3 C x 2 D x E 0 1 displaystyle Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx E 0 qquad qquad 1 Spochatku pozbavimosya chlena x3 Dlya cogo podilimo obidvi chastini na A i zrobimo pidstanovku x u B 4 A displaystyle x u B over 4A quad Perepoznachivshi koeficiyenti pri u otrimayemo rivnyannya u 4 a u 2 b u g 0 1 displaystyle u 4 alpha u 2 beta u gamma 0 qquad qquad 1 yake nazivayetsya kanonichnim rivnyannyam chetvertogo stepenya Yaksho b 0 displaystyle beta 0 quad to mi otrimayemo bikvadratne rivnyannya yake legko rozv yazuyetsya Rozv yazok Ferrari Redaguvati Zamist u4 vidilimo povnij kvadrat u2 a 2 otrimayemo u 2 a 2 a u 2 a 2 b u g 2 displaystyle u 2 alpha 2 alpha u 2 alpha 2 beta u gamma qquad qquad 2 Vvedemo novu zminnu y dlya utvorennya povnogo kvadrata u v livij chastini 2 otrimayemo u 2 a y 2 a 2 y u 2 b u y 2 2 y a a 2 g 3 displaystyle u 2 alpha y 2 alpha 2y u 2 beta u y 2 2y alpha alpha 2 gamma qquad qquad 3 Viberemo zminnu y tak shob u pravij chastini rivnosti 3 utvorivsya povnij kvadrat Ce stanetsya yaksho v pravij chastini diskriminant kvadratnogo rivnyannya vidnosno u dorivnyuvatime nulyu b 2 4 2 y a y 2 2 y a a 2 g 0 displaystyle beta 2 4 2y alpha y 2 2y alpha alpha 2 gamma 0 Potribno rozv yazati ce rivnyannya shodo parametra y Zvivshi mnozhniki otrimayemo kubichne rivnyannya y 3 5 2 a y 2 2 a 2 g y a 3 2 a g 2 b 2 8 0 4 displaystyle y 3 5 over 2 alpha y 2 2 alpha 2 gamma y left alpha 3 over 2 alpha gamma over 2 beta 2 over 8 right 0 qquad qquad 4 Rozv yazannya pohidnogo kubichnogo rivnyannya Redaguvati Rivnyannya 4 ye pohidnim kubichnim rivnyannyam vid rivnyannya chetvertogo stepenya Zrobivshi zaminu y v 5 6 a displaystyle y v 5 over 6 alpha Ta perepoznachivshi jogo koeficiyenti otrimayemo kanonichne kubichne rivnyannya v 3 P v Q 0 5 displaystyle v 3 Pv Q 0 qquad qquad 5 Nas zadovolnit bud yakij rozv yazok rivnyannya 5 Poznachimo U Q 2 Q 2 4 P 3 27 3 displaystyle U sqrt 3 Q over 2 pm sqrt Q 2 over 4 P 3 over 27 quad vzyato z kubichne rivnyannya dd vizmemo takij rozv yazok kubichnogo rivnyannya 4 y 5 6 a P 3 U U 6 displaystyle y 5 over 6 alpha P over 3U U qquad qquad 6 Vidobuvannya korenya z oboh chastin i zavershennya rozv yazuvannya Redaguvati Pidstavivshi povnij kvadrat v pravu chastinu otrimayemo povni kvadrati z oboh bokiv u 2 a y 2 a 2 y u b 2 a 2 y 2 7 displaystyle u 2 alpha y 2 left left sqrt alpha 2y right u beta over 2 sqrt alpha 2y right 2 qquad qquad 7 Zauvazhennya Yaksho b 0 todi a 2y 0 A yaksho b 0 to mi otrimayemo bikvadratne rivnyannya sho bulo rozglyanute vishe dd Otzhe u 2 a y a 2 y u b 2 a 2 y 7 displaystyle u 2 alpha y pm left left sqrt alpha 2y right u beta over 2 sqrt alpha 2y right qquad qquad 7 Zvedemo podibni dodanki pri u u 2 s a 2 y u a y s b 2 a 2 y 0 8 displaystyle u 2 left mp s sqrt alpha 2y right u left alpha y pm s beta over 2 sqrt alpha 2y right 0 qquad qquad 8 Zauvazhennya Znaki s s displaystyle pm s mp s ye velichinami zalezhnimi dd Rivnyannya 8 ye kvadratnim rivnyannyam shodo u Jogo rozv yazok maye viglyad u s a 2 y t 3 a 2 y s 2 b a 2 y 2 displaystyle u pm s sqrt alpha 2y pm t sqrt left 3 alpha 2y pm s 2 beta over sqrt alpha 2y right over 2 Rozv yazok vihidnogo rivnyannya maye viglyad x B 4 A s a 2 y t 3 a 2 y s 2 b a 2 y 2 8 displaystyle x B over 4A pm s sqrt alpha 2y pm t sqrt left 3 alpha 2y pm s 2 beta over sqrt alpha 2y right over 2 qquad qquad 8 Zauvazhennya Dva znaki s displaystyle pm s otrimani z rivnyannya 7 ye zalezhnimi tomu ye odnakovimi a znak t displaystyle pm t nezalezhnij vid nih dd Inshi metodi Redaguvati Metod neviznachenih koeficiyentiv Redaguvati Poperednye rozv yazannya rivnyannya chetvertogo stepenya harakterizuyetsya dosit specifichnimi i neochevidnimi pidstanovkami sho robit jogo vazhkim dlya zapam yatovuvannya Rozglyanemo inshe rozv yazannya yake bazuyetsya na metodi neviznachenih koeficiyentiv Ideya polyagaye u tomu sho potribno rozklasti polinom chetvertogo stepenya u dobutok kvadratichnih polinomiv Nehaj 0 x 4 b x 3 c x 2 d x e x 2 p x q x 2 r x s x 4 p r x 3 q s p r x 2 p s q r x q s displaystyle begin array lcl 0 x 4 bx 3 cx 2 dx e amp amp x 2 px q x 2 rx s amp amp x 4 p r x 3 q s pr x 2 ps qr x qs end array quad Pririvnyayemo koeficiyenti pri odnakovih stepenyah x b p r c q s p r d p s q r e q s displaystyle begin array lcl b amp amp p r c amp amp q s pr d amp amp ps qr e amp amp qs end array quad Cyu sistemu vazhche rozv yazati nizh zdayetsya prote yaksho pochati z kanonichnogo rivnyannya chetvertogo stepenya de b 0 displaystyle b 0 quad mi otrimayemo r p displaystyle r p quad i c p 2 s q d p s q e s q displaystyle begin array lcl c p 2 amp amp s q d p amp amp s q e amp amp sq end array quad Teper mozhna legko viklyuchiti s displaystyle s quad i q displaystyle q quad c p 2 2 d p 2 s q 2 s q 2 4 s q 4 e displaystyle begin array lcl c p 2 2 d p 2 amp amp s q 2 s q 2 amp amp 4sq amp amp 4e end array quad Yaksho mi poznachimo P p 2 displaystyle P p 2 quad to ce rivnyannya peretvoritsya u kubichne rivnyannya P 3 2 c P 2 c 2 4 e P d 2 0 displaystyle P 3 2cP 2 c 2 4e P d 2 0 quad Nehaj mi otrimali p displaystyle p quad todi r p 2 s c p 2 d p 2 q c p 2 d p displaystyle begin array lcl r amp amp p 2s amp amp c p 2 d p 2q amp amp c p 2 d p end array quad Pidstavivshi otrimani parametri p q r s u kvadratichni polinomi i rozv yazavshi yih mi otrimayemo rozv yazok vihidnogo rivnyannya chetvertogo stepenya Yaksho pochatkove rivnyannya bulo nekanonichnim to treba zdijsniti zvorotnu zaminu Chiselnij neanalitichnij rozv yazok Redaguvati Dosit efektivnim u rozv yazanni rivnyan chetvertogo stepenya ye metod parabol sho znahodit ne lishe dijsni na vidminu vid metodu bisekcij ale j kompleksni znachennya koreniv do togo zh cej metod bez osoblivih trudnoshiv rozv yazuye takozh rivnyannya z kompleksnimi koeficiyentami Rozglyanemo cej metod Nehaj zadanij polinom f x a 0 x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4 displaystyle f x a 0 x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4 quad koreni yakogo treba znajti Znajdemo odin z cih koreniv Vizmemo tri dovilni pochatkovi tochki x 1 x 0 x 1 displaystyle x 1 x 0 x 1 quad z kompleksnoyi ploshini yedina vimoga voni mayut buti vsi riznimi a takozh riznim maye buti znachennya polinoma u cih tochkah chasto berut tochki 1 0 1 Rozglyanemo taki 3 tochki x 1 f x 1 x 0 f x 0 x 1 f x 1 displaystyle x 1 f x 1 x 0 f x 0 x 1 f x 1 quad Oskilki cherez bud yaki 3 tochki z riznimi abscisami mozhna provesti parabolu yaka shopravda mozhe virodzhuvatisya u pryamu to provedemo cyu parabolu Nehaj yiyi rivnyannya maye viglyad a x 2 b x c displaystyle ax 2 bx c quad Pririvnyavshi ce rivnyannya do nulya mi otrimayemo koreni z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 quad yaki vzagali kazhuchi ye kompleksnimi chislami a tomu zavzhdi isnuyut Vizmemo za x 2 displaystyle x 2 quad te z chisel z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 quad yake najmenshe vidriznyayetsya za modulem vid x 1 displaystyle x 1 quad Nadali rozglyadatimemo trijku chisel x 0 x 1 x 2 displaystyle x 0 x 1 x 2 quad I tak dali Varto skazati sho poslidovnist x n displaystyle x n quad dosit shvidko zbigayetsya do odnogo z koreniv vidshukannya korenya iz tochnistyu u 10 znachushih cifr mozhe buti dosyagnuto za 20 krokiv Pislya togo yak mi znajshli odin z koreniv poznachimo jogo cherez x displaystyle overline x quad slid podiliti ves polinom na dvochlen x x displaystyle x overline x quad Pislya cogo mi otrimayemo kubichnij polinom dlya yakogo takozh mozhna znajti odin z koreniv metodom parabol Pislya vidpovidnogo dilennya mi otrimayemo kvadratichnij polinom pislya rozv yazannya yakogo mi otrimayemo reshtu koreniv pochatkovogo rivnyannya Vnaslidok universalnosti cogo metodu jogo mozhna zastosovuvati ne tilki dlya rozv yazannya rivnyan chetvertogo stepenya a j dlya rivnyan vishih stepeniv Div takozh RedaguvatiBikvadratne rivnyannya Chetvertij stepin Polinom Diskriminant Lodoviko Ferrari Dzhirolamo KardanoPrimitki Redaguvati Ferrari biography www groups dcs st and ac uk Arhiv originalu za 29 zhovtnya 2009 Procitovano 15 zhovtnya 2016 Stewart Ian Galois Theory Third Edition Chapman amp Hall CRC Mathematics 2004 1 ACM TOG ACM Transactions on Graphics TOG Procitovano 15 zhovtnya 2016 Dzherela RedaguvatiThis is what Ferrari is recognized to have achieved angl Quartic formula as four single equations angl Cya stattya nalezhit do dobrih statej ukrayinskoyi Vikipediyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya chetvertogo stepenya amp oldid 37720636