www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Абеля Руффіні Теорема Абеля Руффіні стверджує що загальне рівняння п ятого та вищого степеня є нерозв язним в ра

Теорема Абеля — Руффіні

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах (для коренів многочлена не існує формули, що використовує чотири арифметичні дії та корені довільного ступеня).

Наслідком із доведення слідує існування рівнянь п'ятого і вище ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах, найпростішими нерозв'язними в радикалах рівняннями є:

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.


Історія ред.

Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа ред.

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок коренів многочленів.

При група перестановок не є розв'язною.

Доведення теореми ред.

Нехай

Позначимо тоді:

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що є симетричною функцією відносно оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

і так далі до

Кожна перестановка групи означає автоморфізм на що залишає нерухомим та переставляє Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

Єдиним розкладом є

Факторгрупа (ізоморфна самій ) не є абелевою групою, тому не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівнянь ред.

Див. також ред.

Посилання ред.

Література ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Abelya Ruffini stverdzhuye sho zagalne rivnyannya p yatogo ta vishogo stepenya ye nerozv yaznim v radikalah dlya koreniv mnogochlena ne isnuye formuli sho vikoristovuye chotiri arifmetichni diyi ta koreni dovilnogo stupenya Naslidkom iz dovedennya sliduye isnuvannya rivnyan p yatogo i vishe stupeniv dlya yakih koreni ne virazhayutsya v radikalah najprostishimi nerozv yaznimi v radikalah rivnyannyami ye x 5 x 1 0 displaystyle x 5 pm x 1 0 Osnovna teorema algebri dovodit sho rivnyannya n displaystyle n go stepenya maye n displaystyle n kompleksnih koreniv hocha nad inshimi polyami koreniv mozhe i ne isnuvati Zagalnu vidpovid pro nayavnist koreniv mnogochlena nad zadanim polem ta rozv yaznist nad cim polem daye teoriya Galua Zmist 1 Istoriya 2 Teoriya Galua 3 Dovedennya teoremi 4 Rozv yazuvani tipi rivnyan 5 Div takozh 6 Posilannya 7 LiteraturaIstoriya red nbsp Paolo Ruffini Teoria generale delle equazioni 1799V 1770 roci Zhozef Luyi Lagranzh u svoyij roboti opisuyuchi sposobi znahodzhennya koreniv rivnyan vikoristav ponyattya grupi perestanovok koreniv rivnyannya Cya innovacijna robota zaklala osnovi teoriyi Galua sho bula viyavlena v paperah Evarista Galua pislya jogo smerti Pershu versiyu teoremi doviv Paolo Ruffini v 1799 ale v dovedenni buli probili V 1824 Nils Abel opublikuvav detalne dovedennya teoremi Teoriya Galua red Suchasne dovedennya vikoristovuye teoriyu Galua Grupa Galua opisuye grupi perestanovok S n displaystyle S n nbsp koreniv mnogochleniv Pri n 5 displaystyle n geq 5 nbsp grupa perestanovok S n displaystyle S n nbsp ne ye rozv yaznoyu Dovedennya teoremi red Nehaj y 1 displaystyle y 1 nbsp dijsne chislo transcendentne nad polem racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q nbsp y 2 displaystyle y 2 nbsp transcendentne nad rozshirennyam Q y 1 displaystyle mathbb Q y 1 nbsp i tak dali do y 5 displaystyle y 5 nbsp transcendentne nad Q y 1 y 2 y 3 y 4 displaystyle mathbb Q y 1 y 2 y 3 y 4 nbsp Poznachimo E Q y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 displaystyle E mathbb Q y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 nbsp todi f x x y 1 x y 2 x y 3 x y 4 x y 5 E x displaystyle f x x y 1 x y 2 x y 3 x y 4 x y 5 in E x nbsp Teorema Viyeta vidkrivshi duzhki otrimayemo sho f x displaystyle f x nbsp ye simetrichnoyu funkciyeyu vidnosno y n displaystyle y n nbsp oskilki koeficiyentami mnogochlena budut s 1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 displaystyle s 1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 nbsp s 2 y 1 y 2 y 1 y 3 y 4 y 5 displaystyle s 2 y 1 y 2 y 1 y 3 cdots y 4 y 5 nbsp i tak dali do s 5 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 displaystyle s 5 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 nbsp Kozhna perestanovka s displaystyle sigma nbsp grupi S 5 displaystyle S 5 nbsp oznachaye avtomorfizm s displaystyle sigma nbsp na E displaystyle E nbsp sho zalishaye Q displaystyle mathbb Q nbsp neruhomim ta perestavlyaye y n displaystyle y n nbsp Oskilki vid perestanovki koreniv mnogochlen ne zminyuyetsya otzhe E displaystyle E nbsp takozh ye neruhomim otzhe utvoryuye grupu Galua G E F S 5 5 displaystyle G E F S 5 5 nbsp Yedinim rozkladom S 5 displaystyle S 5 nbsp ye S 5 A 5 e displaystyle S 5 geq A 5 geq e nbsp de A 5 displaystyle A 5 nbsp alternativna grupa Faktorgrupa A 5 e displaystyle A 5 e nbsp izomorfna samij A 5 displaystyle A 5 nbsp ne ye abelevoyu grupoyu tomu S 5 displaystyle S 5 nbsp ne ye rozv yaznoyu Rozv yazuvani tipi rivnyan red Abelevi rivnyannya Zvorotne rivnyannyaDiv takozh red Kvadratne rivnyannya Kubichne rivnyannya Rivnyannya chetvertogo stepenya Diskretne peretvorennya Abelya Spisok ob yektiv nazvanih na chest Nilsa Genrika AbelyaPosilannya red Rosen Michael I 1995 Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree The American mathematical monthly 102 6 495 505 angl Short proof of Abel s theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved na YouTube angl Literatura red Jean Pierre Tignol Galois Theory Of Algebraic Equations World Scientific Publishing Company 2001 348 s ISBN 978 9810245412 angl Alekseev V B Teorema Abelya v zadachah i resheniyah MCNMO 2001 192 s ISBN 5 900916 86 3 ros E Artin 1963 Teoriya Galua per z nim V A Vishenskogo Kiyiv Radyanska shkola s 98 ukr Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Abelya Ruffini amp oldid 39764232