www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія Галуа розділ алгебри що вивчає зв язок між розширенням полів зокрема полями розкладу многочленів і групами автомо

Теорія Галуа

Теорія Галуа — розділ алгебри, що вивчає зв'язок між розширенням полів (зокрема полями розкладу многочленів) і групами автоморфізмів у полях. Історично початок теорії поклали дослідження Евариста Галуа щодо розв'язності многочленів у радикалах де він використовував поняття груп перестановок коренів многочлена.

Застосування до класичних задач Редагувати

Теорія Галуа дає єдиний елегантний підхід до рішення таких класичних задач як

  1. Які фігури можна побудувати циркулем і лінійкою?
  2. Які алгебраїчні рівняння розв'язуються за допомогою стандартних операцій алгебри (додавання, віднімання, множення, ділення і обчислення кореня)?

Симетрії коренів Редагувати

Симетрії коренів — перестановки на множині коренів многочлена, для якого будь-якому алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами, якому задовольняють корені, задовольняють і перестановки коренів.

Приклад: квадратне рівняння Редагувати

У многочлена другого степеня a x² + b x + c є два корені x1 і x2, симетричні щодо точки x=-b/2a. Можливі два варіанти:

  • Якщо ці корені раціональні, то рівнянню x-x1=0 задовольняє тільки один корінь, і група рівняння тривіальна.
  • Якщо корені ірраціональні, то група містить один нетривіальний елемент x1⇔x2, і ізоморфна .

Складніший приклад Редагувати

Розглянемо тепер многочлен (x2−5)2−24.

Його корені: .

Існує 4!=24 різних перестановки коренів цього рівняння, але не всі вони є симетріями. Елементи групи Галуа повинні зберігати будь-які рівняння алгебри з раціональними коефіцієнтами.

Одне з таких рівнянь - a+d=0. Оскільки a+c≠0, перестановка a→a, b→b, c→d, d→c не входить до групи Галуа.

Крім того, можна помітити, що (a+b)²=8, але (a+c)²=12. Тому перестановка a→a, b→c, c→b, d→d не входить до групи.

Остаточно можна одержати, що група Галуа многочлена складається з чотирьох перестановок:

і є 4-групою Клейна, ізоморфною .

Формулювання в термінах теорії полів Редагувати

Теорія полів дає загальніше визначення групи Галуа. При сучасному підході до теорії Галуа основними об'єктами вивчення є скінченні розширення поля K та групи автоморфізмів на L/K (тобто ізоморфізмів α: L → L для яких α(x) = x для всіх x з поля K). Дана група ізоморфізмів також називається групою Галуа. Якщо розширення поля є розширенням Галуа (тобто скінченним, нормальним і сепарабельним) то існує взаємно-однозначна відповідність між підгрупами групи Галуа і полями, такими, що K ⊆ E ⊆ L. Для довільного многочлена f над полем K, поле розкладу L цього многочлена є розширенням Галуа поля K, тож можна визначити його групу Галуа. Оскільки будь-який автоморфізм α з цієї групи залишає незмінними елементи поля K, а також α(0) = 0, то 0=α(f(x1))=α(f(x2)), де x1 — деякий корінь рівняння f, а x2 = α(x1). Отже кожен автоморфізм на L/K переводить корені рівняння в корені рівняння і відповідно визначає перестановку на множині цих коренів. Навпаки кожна перестановка на множині коренів рівняння визначає автоморфізм на L/K. Ці властивості показують зв'язок між класичною і сучасною теорією Галуа.

У класичній теорії Галуа як основне поле використовується поле раціональних чисел .

Розв'язні групи і рішення рівнянь у радикалах Редагувати

Корені алгебраїчного рівняння P(x)=0 виражаються в радикалах тоді і тільки тоді, коли група рівняння розв'язна.

Існують многочлени n- го степеня над полем раціональних чисел група Галуа яких ізоморфна симетричній групі Sn, тобто складається зі всіх можливих перестановок. Оскільки групи Sn при n>4 не є розв'язною, існують многочлени степеня n, корені яких не можна записати у вигляді радикалів — теорема Абеля—Руффіні. Наприклад якщо многочлен незвідний над полем раціональних чисел, його степінь — просте число p і p-2 корені цього многочлена є дійсними то його група Галуа ізоморфна Sn. Прикладом такого многочлена є зокрема:

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Українською Редагувати

  1. Дрозд Ю. А. (1997). Теорія Галуа. Київ: РВЦ “Київський університет„. ISBN 966-594-022-8.  (укр.)
  2. Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98.  (укр.)
  3. Николайчук, Ярослав Миколайович (2012). . Тернограф. с. 576. ISBN 978-966-457-135-4. Архів оригіналу за 19 грудня 2021. Процитовано 19 грудня 2021. 

Іншими мовами Редагувати

  1. Robert B. Ash (2006). . Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486453569. Архів оригіналу за 27 вересня 2021. Процитовано 22 січня 2022.  (Chapter 6: Galois Theory) (англ.)
  2. Ian Stewart (1989). Galois Theory. Chapman and Hall. ISBN 0-412-34550-1.  (англ.)
  3. Jörg Bewersdorff (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2.  (англ.)
  4. Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 . (англ.)
  5. Jean-Pierre Tignol. Galois' Theory Of Algebraic Equations. — World Scientific Publishing Company, 2001. — 348 с. — ISBN 978-9810245412. (англ.)
  6. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
  7. Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Фізматгиз, 1963. (рос.)

Інтернет ресурси Редагувати

  1. Dan Goodman (2002), An Introduction to Galois Theory [ 6 червня 2016 у Wayback Machine.]. (англ.)
  2. Teruyoshi Yoshida (2010), , University of Cambrdige. (англ.)

Примітки Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoriya Galua rozdil algebri sho vivchaye zv yazok mizh rozshirennyam poliv zokrema polyami rozkladu mnogochleniv i grupami avtomorfizmiv u polyah Istorichno pochatok teoriyi poklali doslidzhennya Evarista Galua shodo rozv yaznosti mnogochleniv u radikalah de vin vikoristovuvav ponyattya grup perestanovok koreniv mnogochlena Zmist 1 Zastosuvannya do klasichnih zadach 2 Simetriyi koreniv 2 1 Priklad kvadratne rivnyannya 2 2 Skladnishij priklad 3 Formulyuvannya v terminah teoriyi poliv 4 Rozv yazni grupi i rishennya rivnyan u radikalah 5 Div takozh 6 Literatura 6 1 Ukrayinskoyu 6 2 Inshimi movami 7 Internet resursi 8 PrimitkiZastosuvannya do klasichnih zadach RedaguvatiTeoriya Galua daye yedinij elegantnij pidhid do rishennya takih klasichnih zadach yak Yaki figuri mozhna pobuduvati cirkulem i linijkoyu Yaki algebrayichni rivnyannya rozv yazuyutsya za dopomogoyu standartnih operacij algebri dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya i obchislennya korenya Simetriyi koreniv RedaguvatiSimetriyi koreniv perestanovki na mnozhini koreniv mnogochlena dlya yakogo bud yakomu algebrayichnomu rivnyannyu z racionalnimi koeficiyentami yakomu zadovolnyayut koreni zadovolnyayut i perestanovki koreniv Priklad kvadratne rivnyannya Redaguvati Dokladnishe Kvadratne rivnyannyaU mnogochlena drugogo stepenya a x b x c ye dva koreni x1 i x2 simetrichni shodo tochki x b 2a Mozhlivi dva varianti Yaksho ci koreni racionalni to rivnyannyu x x1 0 zadovolnyaye tilki odin korin i grupa rivnyannya trivialna Yaksho koreni irracionalni to grupa mistit odin netrivialnij element x1 x2 i izomorfna Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Skladnishij priklad Redaguvati Rozglyanemo teper mnogochlen x2 5 2 24 Jogo koreni a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 displaystyle a sqrt 2 sqrt 3 b sqrt 2 sqrt 3 c sqrt 2 sqrt 3 d sqrt 2 sqrt 3 nbsp Isnuye 4 24 riznih perestanovki koreniv cogo rivnyannya ale ne vsi voni ye simetriyami Elementi grupi Galua povinni zberigati bud yaki rivnyannya algebri z racionalnimi koeficiyentami Odne z takih rivnyan a d 0 Oskilki a c 0 perestanovka a a b b c d d c ne vhodit do grupi Galua Krim togo mozhna pomititi sho a b 8 ale a c 12 Tomu perestanovka a a b c c b d d ne vhodit do grupi Ostatochno mozhna oderzhati sho grupa Galua mnogochlena skladayetsya z chotiroh perestanovok a b c d a b c d a b c d c d a b a b c d b a d c a b c d d c b a i ye 4 grupoyu Klejna izomorfnoyu Z 2 Z Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z times mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Formulyuvannya v terminah teoriyi poliv RedaguvatiTeoriya poliv daye zagalnishe viznachennya grupi Galua Pri suchasnomu pidhodi do teoriyi Galua osnovnimi ob yektami vivchennya ye skinchenni rozshirennya polya K ta grupi avtomorfizmiv na L K tobto izomorfizmiv a L L dlya yakih a x x dlya vsih x z polya K Dana grupa izomorfizmiv takozh nazivayetsya grupoyu Galua Yaksho rozshirennya polya ye rozshirennyam Galua tobto skinchennim normalnim i separabelnim to isnuye vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh pidgrupami grupi Galua i polyami takimi sho K E L Dlya dovilnogo mnogochlena f nad polem K pole rozkladu L cogo mnogochlena ye rozshirennyam Galua polya K tozh mozhna viznachiti jogo grupu Galua Oskilki bud yakij avtomorfizm a z ciyeyi grupi zalishaye nezminnimi elementi polya K a takozh a 0 0 to 0 a f x1 a f x2 de x1 deyakij korin rivnyannya f a x2 a x1 Otzhe kozhen avtomorfizm na L K perevodit koreni rivnyannya v koreni rivnyannya i vidpovidno viznachaye perestanovku na mnozhini cih koreniv Navpaki kozhna perestanovka na mnozhini koreniv rivnyannya viznachaye avtomorfizm na L K Ci vlastivosti pokazuyut zv yazok mizh klasichnoyu i suchasnoyu teoriyeyu Galua U klasichnij teoriyi Galua yak osnovne pole vikoristovuyetsya pole racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q nbsp Rozv yazni grupi i rishennya rivnyan u radikalah RedaguvatiKoreni algebrayichnogo rivnyannya P x 0 virazhayutsya v radikalah todi i tilki todi koli grupa rivnyannya rozv yazna Isnuyut mnogochleni n go stepenya nad polem racionalnih chisel grupa Galua yakih izomorfna simetrichnij grupi Sn tobto skladayetsya zi vsih mozhlivih perestanovok Oskilki grupi Sn pri n gt 4 ne ye rozv yaznoyu isnuyut mnogochleni stepenya n koreni yakih ne mozhna zapisati u viglyadi radikaliv teorema Abelya Ruffini Napriklad yaksho mnogochlen nezvidnij nad polem racionalnih chisel jogo stepin proste chislo p i p 2 koreni cogo mnogochlena ye dijsnimi to jogo grupa Galua izomorfna Sn Prikladom takogo mnogochlena ye zokrema f x x 5 6 x 3 displaystyle f x x 5 6x 3 nbsp Div takozh RedaguvatiRozv yazna grupa Rozshirennya GaluaLiteratura RedaguvatiUkrayinskoyu Redaguvati Drozd Yu A 1997 Teoriya Galua Kiyiv RVC Kiyivskij universitet ISBN 966 594 022 8 ukr E Artin 1963 Teoriya Galua per z nim V A Vishenskogo Kiyiv Radyanska shkola s 98 ukr Nikolajchuk Yaroslav Mikolajovich 2012 Kodi polya Galua teoriya ta zastosuvannya Ternograf s 576 ISBN 978 966 457 135 4 Arhiv originalu za 19 grudnya 2021 Procitovano 19 grudnya 2021 Inshimi movami Redaguvati Robert B Ash 2006 Basic Abstract Algebra For Graduate Students and Advanced Undergraduates Dover Books on Mathematics ISBN 978 0486453569 Arhiv originalu za 27 veresnya 2021 Procitovano 22 sichnya 2022 Chapter 6 Galois Theory angl Ian Stewart 1989 Galois Theory Chapman and Hall ISBN 0 412 34550 1 angl Jorg Bewersdorff 2006 Galois Theory for Beginners A Historical Perspective American Mathematical Society ISBN 0 8218 3817 2 angl Howie John Mackintosh 2006 Fields and Galois Theory London Springer ISBN 1852339861 angl Jean Pierre Tignol Galois Theory Of Algebraic Equations World Scientific Publishing Company 2001 348 s ISBN 978 9810245412 angl Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Postnikov M M Teoriya Galua M Fizmatgiz 1963 ros Internet resursi RedaguvatiDan Goodman 2002 An Introduction to Galois Theory Arhivovano 6 chervnya 2016 u Wayback Machine angl Teruyoshi Yoshida 2010 Galois Theory University of Cambrdige angl Primitki Redaguvati nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya Galua amp oldid 40544733