www.wikidata.uk-ua.nina.az

Поле розкладу В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем K displaystyle K найменше розширення поля над я

Поле розкладу

В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем — найменше розширення поля, над яким розкладається в добуток лінійних множників:

При цьому тому поле розкладу також називається розширенням, одержаним приєднанням до всіх коренів даного многочлена.

Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів — розширення L, для якого кожен pi розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями pi. Поле розкладу скінченної множини многочленів p1,p2...pn, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p1p2...pn Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається нормальним розширенням.

Властивості Редагувати

Приклади Редагувати

Побудова поля розкладу Редагувати

Нехай — поле і p(x) многочлен над степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів , де є розширенням , що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення можна побудувати за допомогою наступних кроків:

  • Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів незвідних над .
  • Нехай — деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
  • Розширення поля визначається як фактор-кільце де (f(x)) — ідеал в кільці породжений f(x).
  • Процедура побудови продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.

Незвідні многочлени можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.

Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є максимальним ідеалом і тому — поле. Якщо є проєкцією кільця на фактор кільце, то отже є коренем f(x) і також p(x).

Розмірність розширення [] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна і не перевищує n!.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V abstraktnij algebri pole rozkladu mnogochlena p nad polem K displaystyle K najmenshe rozshirennya polya nad yakim p displaystyle p rozkladayetsya v dobutok linijnih mnozhnikiv p x a x x 1 x x 2 x x n x 1 x n L L K displaystyle p x a x x 1 x x 2 x x n x 1 dots x n in L quad L supset K Pri comu L K x 1 x n displaystyle L K x 1 dots x n tomu pole rozkladu L displaystyle L takozh nazivayetsya rozshirennyam oderzhanim priyednannyam do K displaystyle K vsih koreniv danogo mnogochlena Analogichno vvoditsya ponyattya polya rozkladu sim yi mnogochleniv p i x i I displaystyle p i x i in I rozshirennya L dlya yakogo kozhen pi rozkladayetsya v L x na linijni mnozhniki i L porodzhuyetsya nad K vsima korenyami pi Pole rozkladu skinchennoyi mnozhini mnogochleniv p1 p2 pn bude ochevidno polem rozkladu yih dobutku p p1p2 pn Rozshirennya polya sho ye polem rozkladu deyakoyi sim yi mnogochleniv nazivayetsya normalnim rozshirennyam Zmist 1 Vlastivosti 2 Prikladi 3 Pobudova polya rozkladu 4 LiteraturaVlastivosti RedaguvatiPole rozkladu skinchennoyi sim yi mnogochleniv ye skinchennim algebrayichnim rozshirennyam polya K displaystyle K nbsp Pole rozkladu mnogochlena isnuye dlya bud yakogo simejstva mnogochlena pi i viznachene odnoznachno z tochnistyu do izomorfizmu totozhnogo na K Dlya polya K displaystyle K nbsp harakteristiki 0 pole rozkladu mnogochlena x m a a K displaystyle x m a quad a in K nbsp zavzhdi mistit pervisnij korin stepeni m displaystyle m nbsp z odinici Minimalnij mnogochlen dovilnogo elementa polya rozkladu v comu poli tezh rozkladayetsya na linijni mnozhniki Prikladi RedaguvatiYaksho stepin mnogochlena p displaystyle p nbsp ne perevershuye 1 displaystyle 1 nbsp to L K displaystyle L K nbsp Pole kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C nbsp pole rozkladu mnogochlena x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp nad polem R displaystyle mathbb R nbsp dijsnih chisel Bud yake skinchenne pole G F q displaystyle GF q nbsp de q p n displaystyle q p n nbsp ye polem rozkladu mnogochlena x q x displaystyle x q x nbsp nad prostim pidpolem G F p G F q displaystyle GF p subset GF q nbsp Polem rozkladu x2 1 nad GF7 ye GF49 Pobudova polya rozkladu RedaguvatiNehaj K displaystyle K nbsp pole i p x mnogochlen nad K displaystyle K nbsp stepenya n Zagalom procedura pobudovi polya rozkladu mnogochlena p x polyagaye v pobudovi poslidovnosti poliv K K 0 K 1 K r 1 K r L displaystyle K K 0 K 1 dots K r 1 K r L nbsp de K i displaystyle K i nbsp ye rozshirennyam K i 1 displaystyle K i 1 nbsp sho mistit odin novij korin p x Oskilki p x maye shonajbilshe n riznih koreniv pobudova vimagaye shonajbilshe n rozshiren Rozshirennya K i displaystyle K i nbsp mozhna pobuduvati za dopomogoyu nastupnih krokiv Mnogochlen p x rozkladayetsya v dobutok mnogochleniv nezvidnih nad K i displaystyle K i nbsp p x f 1 x f 2 x f k x displaystyle p x f 1 x f 2 x cdots f k x nbsp Nehaj f x f i x displaystyle f x f i x nbsp deyakij z nezvidnih mnozhnikiv z poperednogo punktu Rozshirennya K i 1 displaystyle K i 1 nbsp polya K i displaystyle K i nbsp viznachayetsya yak faktor kilce K i 1 K i x f x displaystyle K i 1 K i x f x nbsp de f x ideal v kilci K i x displaystyle K i x nbsp porodzhenij f x Procedura pobudovi K i 1 displaystyle K i 1 nbsp prodovzhuyetsya doki ne oderzhuyetsya pole v yakomu p x rozkladayetsya na linijni mnozhniki Nezvidni mnogochleni f i displaystyle f i nbsp mozhut obiratisya v dovilnomu poryadku Oderzhani polya rozkladu pri comu budut izomorfnimi Oskilki f x ye nezvidnim f x ye maksimalnim idealom i tomu K i x f x displaystyle K i x f x nbsp pole Yaksho p K i x K i x f 1 x displaystyle pi K i x to K i x f 1 x nbsp ye proyekciyeyu kilcya na faktor kilce to f p x p f x f x mod f x 0 displaystyle f pi x pi f x f x bmod f x 0 nbsp otzhe p x displaystyle pi x nbsp ye korenem f x i takozh p x Rozmirnist rozshirennya K i 1 K i displaystyle K i 1 K i nbsp rivna stepenyu vidpovidnogo mnogochlena f x Rozmirnist rozshirennya L K rivna K r K r 1 K 2 K 1 K 1 F displaystyle K r K r 1 cdots K 2 K 1 K 1 F nbsp i ne perevishuye n Literatura RedaguvatiE Artin Teoriya Galua K Radyanska shkola 1963 Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pole rozkladu amp oldid 36417469