www.wikidata.uk-ua.nina.az

Параболоїд Параболо їд тип поверхні другого порядку обертання Зміст 1 Рівняння 1 1 Типи параболоїдів 1 2 Еліптичний пара

Параболоїд

Параболо́їд — тип поверхні другого порядку.

Параболоїд обертання

Рівняння Редагувати

Типи параболоїдів Редагувати

Канонічне рівняння параболоїда в декартових координатах:

  • якщо і мають один знак, то параболоїд зветься еліптичним.
  • якщо і мають різні знаки, то параболоїд зветься гіперболічним.
  • якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то параболоїд зветься параболічним циліндром.

Еліптичний параболоїд Редагувати

Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд виглядає як овальна чашка й може мати точку максимуму або мінімуму. У системі координат з трьома осями , і , еліптичний параболоїд може бути поданий рівнянням

де і  — константи, що визначають кривизну в площинах - і - відповідно.

Гіперболічний параболоїд Редагувати

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд (не плутати з гіперболоїдом) — це двічі лінійчата поверхня, що має вигляд сідла. У підходящій системі координат гіперболічний параболоїд може бути поданий рівнянням

Властивості Редагувати

Гіперболічний параболоїд — це двічі лінійчата поверхня, тому може бути використана для побудови сідлової поверхні з ліній.

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

Кривина Редагувати

Еліптичний параболоїд, що параметризований як

має Ґаусову кривину

і середню кривину

обидві з яких є позитивними, мають максимум на початку відліку, стають меншими з рухом точки від початку відліку, прямують асимптотично до нуля, коли точка рухається нескінченно віддалено від початку відліку.

Гіперболічний параболоїд параметризований як

має Ґаусову кривину

і середню кривину

Таблиця множення Редагувати

Чипси — це приклад гіперболічного параболоїду

Якщо гіперболічний параболоїд

обертається на кут π/4 в напрямку +z (відповідно до правила правої руки, то результатом є поверхня

і якщо тоді вираз спрощується до

Нарешті, прирівнюючи , можна бачити, що гіперболічний параболоїд

є конгруентним до поверхні

що може бути геометричною інтерпретацією (тривимірна номограма) таблиці множення.

Дві параболоїдні функції

і

є гармонійними кон'югатами, і разом формують аналітичну функцію

яка є аналітичним продовженням parabolic function

Параболоїди в природі та техніці Редагувати

Дах вокзалу в Варшаві має форму гіперболічного параболоїда

Параболоїди обертання мають властивість фокусувати промені, що проходять паралельно головній оптичній осі, в одній точці, ця властивість використовується при розробці антен та телескопів.

Гіперболічний параболоїд утворюється сіткою прямих, що перетинаються, ця властивість використовується в будівництві.

Гіперболоїд інженера Гаріна насправді мав форму параболоїда обертання.

Чайник у формі параболоїда обертання швидше закипає і довше зберігає тепло.

Посилання Редагувати

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Parabolo yid tip poverhni drugogo poryadku Paraboloyid obertannya Zmist 1 Rivnyannya 1 1 Tipi paraboloyidiv 1 2 Eliptichnij paraboloyid 1 3 Giperbolichnij paraboloyid 2 Vlastivosti 3 Krivina 4 Tablicya mnozhennya 5 Paraboloyidi v prirodi ta tehnici 6 Posilannya 7 Div takozhRivnyannya RedaguvatiTipi paraboloyidiv Redaguvati Kanonichne rivnyannya paraboloyida v dekartovih koordinatah z a x 2 b y 2 displaystyle z ax 2 by 2 nbsp yaksho a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp mayut odin znak to paraboloyid zvetsya eliptichnim yaksho a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp mayut rizni znaki to paraboloyid zvetsya giperbolichnim yaksho odin z koeficiyentiv dorivnyuye nulyu to paraboloyid zvetsya parabolichnim cilindrom Eliptichnij paraboloyid Redaguvati nbsp Eliptichnij paraboloyidEliptichnij paraboloyid viglyadaye yak ovalna chashka j mozhe mati tochku maksimumu abo minimumu U sistemi koordinat z troma osyami x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp i z displaystyle z nbsp eliptichnij paraboloyid mozhe buti podanij rivnyannyam z x 2 a 2 y 2 b 2 displaystyle z frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 nbsp de a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp konstanti sho viznachayut kriviznu v ploshinah x displaystyle x nbsp z displaystyle z nbsp i y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp vidpovidno Giperbolichnij paraboloyid Redaguvati nbsp Giperbolichnij paraboloyidGiperbolichnij paraboloyid ne plutati z giperboloyidom ce dvichi linijchata poverhnya sho maye viglyad sidla U pidhodyashij sistemi koordinat giperbolichnij paraboloyid mozhe buti podanij rivnyannyam z x 2 a 2 y 2 b 2 displaystyle z frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 nbsp Vlastivosti RedaguvatiGiperbolichnij paraboloyid ce dvichi linijchata poverhnya tomu mozhe buti vikoristana dlya pobudovi sidlovoyi poverhni z linij Koli a b eliptichnij paraboloyid peretvoryuyetsya na paraboloyid obertannya poverhnyu otrimano obertannyam paraboli navkolo yiyi osi Formu paraboloyidu obertannya mayut parabolichni reflektori dzerkala antenni tarilki tosho Forma ridini sho obertayetsya v ridinno dzerkalnih teleskopah takozh ye paraboloyidom obertannya Paraboloyid obertannya takozh nazivayetsya krugovim paraboloyidom Krivina RedaguvatiEliptichnij paraboloyid sho parametrizovanij yak s u v u v u 2 a 2 v 2 b 2 displaystyle vec sigma u v left u v u 2 over a 2 v 2 over b 2 right nbsp maye Gausovu krivinu K u v 4 a 2 b 2 1 4 u 2 a 4 4 v 2 b 4 2 displaystyle K u v 4 over a 2 b 2 left 1 4u 2 over a 4 4v 2 over b 4 right 2 nbsp i serednyu krivinu H u v a 2 b 2 4 u 2 a 2 4 v 2 b 2 a 2 b 2 1 4 u 2 a 4 4 v 2 b 4 3 2 displaystyle H u v a 2 b 2 4u 2 over a 2 4v 2 over b 2 over a 2 b 2 left 1 4u 2 over a 4 4v 2 over b 4 right 3 2 nbsp obidvi z yakih ye pozitivnimi mayut maksimum na pochatku vidliku stayut menshimi z ruhom tochki vid pochatku vidliku pryamuyut asimptotichno do nulya koli tochka ruhayetsya neskinchenno viddaleno vid pochatku vidliku Giperbolichnij paraboloyid parametrizovanij yak s u v u v u 2 a 2 v 2 b 2 displaystyle vec sigma u v left u v u 2 over a 2 v 2 over b 2 right nbsp maye Gausovu krivinu K u v 4 a 2 b 2 1 4 u 2 a 4 4 v 2 b 4 2 displaystyle K u v 4 over a 2 b 2 left 1 4u 2 over a 4 4v 2 over b 4 right 2 nbsp i serednyu krivinu H u v a 2 b 2 4 u 2 a 2 4 v 2 b 2 a 2 b 2 1 4 u 2 a 4 4 v 2 b 4 3 2 displaystyle H u v a 2 b 2 4u 2 over a 2 4v 2 over b 2 over a 2 b 2 left 1 4u 2 over a 4 4v 2 over b 4 right 3 2 nbsp Tablicya mnozhennya Redaguvati nbsp Chipsi ce priklad giperbolichnogo paraboloyiduYaksho giperbolichnij paraboloyid z x 2 a 2 y 2 b 2 displaystyle z x 2 over a 2 y 2 over b 2 nbsp obertayetsya na kut p 4 v napryamku z vidpovidno do pravila pravoyi ruki to rezultatom ye poverhnya z 1 2 x 2 y 2 1 a 2 1 b 2 x y 1 a 2 1 b 2 displaystyle z 1 over 2 x 2 y 2 left 1 over a 2 1 over b 2 right xy left 1 over a 2 1 over b 2 right nbsp i yaksho a b displaystyle a b nbsp todi viraz sproshuyetsya do z 2 a 2 x y displaystyle z 2 over a 2 xy nbsp Nareshti pririvnyuyuchi a 2 displaystyle a sqrt 2 nbsp mozhna bachiti sho giperbolichnij paraboloyid z x 2 y 2 2 displaystyle z x 2 y 2 over 2 nbsp ye kongruentnim do poverhni z x y displaystyle z xy nbsp sho mozhe buti geometrichnoyu interpretaciyeyu trivimirna nomograma tablici mnozhennya Dvi paraboloyidni R 2 R displaystyle mathbb R 2 rightarrow mathbb R nbsp funkciyi z 1 x y x 2 y 2 2 displaystyle z 1 x y x 2 y 2 over 2 nbsp i z 2 x y x y displaystyle z 2 x y xy nbsp ye garmonijnimi kon yugatami i razom formuyut analitichnu funkciyu f z 1 2 z 2 f x i y z 1 x y i z 2 x y displaystyle f z 1 over 2 z 2 f x iy z 1 x y iz 2 x y nbsp yaka ye analitichnim prodovzhennyam R R displaystyle mathbb R rightarrow mathbb R nbsp parabolic function f x 1 2 x 2 displaystyle f x 1 over 2 x 2 nbsp Paraboloyidi v prirodi ta tehnici Redaguvati nbsp Dah vokzalu v Varshavi maye formu giperbolichnogo paraboloyidaParaboloyidi obertannya mayut vlastivist fokusuvati promeni sho prohodyat paralelno golovnij optichnij osi v odnij tochci cya vlastivist vikoristovuyetsya pri rozrobci anten ta teleskopiv Giperbolichnij paraboloyid utvoryuyetsya sitkoyu pryamih sho peretinayutsya cya vlastivist vikoristovuyetsya v budivnictvi Giperboloyid inzhenera Garina naspravdi mav formu paraboloyida obertannya Chajnik u formi paraboloyida obertannya shvidshe zakipaye i dovshe zberigaye teplo Posilannya RedaguvatiParaboloyidi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 157 594 s Paraboloyidi Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 145 ISBN 978 966 7407 83 4 Div takozh RedaguvatiElipsoyid Giperboloyid Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Paraboloyid amp oldid 39353574