Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають [en]. Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.
Рівняння
Нехай дві прямі обертаються навколо точок і , так що пряма, що обертається навколо , утворює з віссю кут , а та, що обертається навколо , утворює кут . Нехай — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці дорівнює . За теоремою синусів
- , так що в полярній системі координат це дасть
- .
Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.
У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:
- .
Якщо початок координат зсунути в , то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на
і крива стає прикладом [en].
Властивість трисекції
Для заданого кута малюємо промінь з так, щоб кут з віссю становив . Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю дорівнює .
Чудові точки і властивості
Крива має перетин з віссю x у точці і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма є асимптотою. Крива перетинає пряму в точках , що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.
Зв'язок з іншими кривими
Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:
- .
- Вона є цисоїдою кола
- і прямої відносно початку координат.
- .
До того ж,
- Інверсія відносно точки є [en].
- Трисектриса Маклорена пов'язана з декартовим листом афінним перетворенням.
Література
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 26 червня. — С. 36, 95, 104—106. — .
- Weisstein, Eric W. Трисектриса Маклорена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Посилання
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Трисектриса Маклорена |
- Трисектриса Маклорена у списку знаменитих кривих MacTutor
- Трисектриса Маклорена в Наочному словнику плоских кривих
- Трисектриса Маклорена на сайті Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Trisektri sa Maklore na kubika yaku mozhna vikoristati dlya trisekciyi kuta Yiyi mozhna viznachiti yak geometrichne misce tochok peretinu dvoh pryamih kozhna z yakih obertayetsya rivnomirno navkolo dvoh riznih tochok polyusiv z vidnoshennyam kutovih shvidkostej 1 3 pri comu spochatku pryami zbigayutsya z pryamoyu sho prohodit cherez ci polyusi Uzagalnennya ciyeyi pobudovi nazivayut en Sichnu nazvano na chest Kolina Maklorena yakij doslidzhuvav krivu 1742 roku Trisektrisa Maklorena Pokazano trisekciyu kutaRivnyannyaNehaj dvi pryami obertayutsya navkolo tochok P 0 0 displaystyle P 0 0 i P 1 a 0 displaystyle P 1 a 0 tak sho pryama sho obertayetsya navkolo P displaystyle P utvoryuye z vissyu x displaystyle x kut 8 displaystyle theta a ta sho obertayetsya navkolo P 1 displaystyle P 1 utvoryuye kut 3 8 displaystyle 3 theta Nehaj Q displaystyle Q tochka yih peretinu todi kut mizh pryamimi v tochci Q displaystyle Q dorivnyuye 2 8 displaystyle 2 theta Za teoremoyu sinusiv r sin 3 8 a sin 2 8 displaystyle r over sin 3 theta a over sin 2 theta tak sho v polyarnij sistemi koordinat ce dast r a sin 3 8 sin 2 8 a 2 4 cos 2 8 1 cos 8 a 2 4 cos 8 sec 8 displaystyle r a frac sin 3 theta sin 2 theta a over 2 frac 4 cos 2 theta 1 cos theta a over 2 4 cos theta sec theta Takim chinom kriva nalezhit do simejstva konhoyid Slyuza U pryamokutnij sistemi koordinat viglyad rivnyannya takij 2 x x 2 y 2 a 3 x 2 y 2 displaystyle 2x x 2 y 2 a 3x 2 y 2 Yaksho pochatok koordinat zsunuti v a 0 displaystyle a 0 to vivedennya podibne do navedenogo pokazuye sho rivnyannya v polyarnih koordinat peretvoryuyetsya na r a 2 cos 8 3 displaystyle r frac a 2 cos theta over 3 i kriva staye prikladom en Vlastivist trisekciyiDlya zadanogo kuta ϕ displaystyle phi malyuyemo promin z a 0 displaystyle a 0 tak shob kut z vissyu x displaystyle x stanoviv ϕ displaystyle phi Malyuyemo promin z pochatku koordinat u tochku peretinu pershogo promenya z krivoyu Za pobudovoyu krivoyi kut mizh drugim promenem i vissyu x displaystyle x dorivnyuye ϕ 3 displaystyle phi 3 Chudovi tochki i vlastivostiKriva maye peretin z vissyu x u tochci 3 a 2 displaystyle 3a over 2 i podvijnu neruhomu tochku v pochatku koordinat Vertikalna pryama x a 2 displaystyle x a over 2 ye asimptotoyu Kriva peretinaye pryamu x a displaystyle x a v tochkah a 1 3 a displaystyle a pm 1 over sqrt 3 a sho vidpovidayut trisekciyi pryamogo kuta Yak osnovna kubika vona maye rid nul Zv yazok z inshimi krivimiTrisektrisu Maklorena mozhna viznachiti yak konichnij peretin troma sposobami A same Vona ye inversiyeyu giperboli vidnosno odinichnogo kola 2 x a 3 x 2 y 2 displaystyle 2x a 3x 2 y 2 dd Vona ye cisoyidoyu kola x a 2 y 2 a 2 displaystyle x a 2 y 2 a 2 dd i pryamoyi x a 2 displaystyle x a over 2 vidnosno pochatku koordinat Vona ye poderoyu paraboli vidnosno pochatku koordinat y 2 2 a x 3 2 a displaystyle y 2 2a x tfrac 3 2 a dd Do togo zh Inversiya vidnosno tochki a 0 displaystyle a 0 ye en Trisektrisa Maklorena pov yazana z dekartovim listom afinnim peretvorennyam LiteraturaJ Dennis Lawrence A catalog of special plane curves Dover Publications 1972 26 chervnya S 36 95 104 106 ISBN 0 486 60288 5 Weisstein Eric W Trisektrisa Maklorena angl na sajti Wolfram MathWorld PosilannyaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Trisektrisa Maklorena Trisektrisa Maklorena u spisku znamenitih krivih MacTutor Trisektrisa Maklorena v Naochnomu slovniku ploskih krivih Trisektrisa Maklorena na sajti Encyclopedie des Formes Mathematiques Remarquables