www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гіперболоїдна модель Гіперболо їдна моде ль відома також як моде ль Мінко вського або ло ренцева моде ль модель n вимірн

Гіперболоїдна модель

Гіперболо́їдна моде́ль, відома також як моде́ль Мінко́вського або ло́ренцева моде́ль модель n-вимірної геометрії Лобачевського, в якій кожну точку представлено точкою на верхній поверхні двопорожнинного гіперболоїда в (n+1)-вимірному просторі Мінковського а m-площини представлено перетином (m+1)-площин у просторі Мінковського з S+. Функція гіперболічної відстані в цій моделі задовольняє простому виразу. Гіперболоїдна модель n-вимірного гіперболічного простору тісно пов'язана з моделлю Бельтрамі — Кляйна і дисковою моделлю Пуанкаре, оскільки вони є проєктивними моделями в сенсі, що група рухів[en] є підгрупою проєктивної групи.

Червона дуга кола є геодезичною в дисковій моделі Пуанкаре. Вона проєктується на коричневу геодезичну на зеленому гіперболоїді.

Квадратична форма Мінковського ред.

Якщо є векторами в (n + 1)-вимірному координатному просторі , квадратична форма Мінковського визначається як

Вектори , такі, що , утворюють n-вимірний гіперболоїд S, що складається з двох зв'язаних компонент, або листків - верхній, або майбутнє, лист , де і нижній, або минуле, лист , де . Точки n-вимірної гіперболоїдної моделі є точками на листку майбутнього .

Білінійна форма Мінковського B є поляризацією квадратичної форми Мінковського Q,

Або в явному вигляді,

Гіперболічна відстань між двома точками u і v простору задають формулою ,

де arch — обернена функція гіперболічного косинуса.

Прямі ред.

Пряма в гіперболічному n-просторі моделюється геодезичною на гіперболоїді. Геодезична на гіперболоїді є (непорожнім) перетином з двовимірним лінійним підпростором (включно з початком координат) n+1-вимірного простору Мінковського. Якщо ми візьмемо як u і v базисні вектори лінійного підпростору з

і використаємо w як параметр для точок на геодезичній, то

буде точкою на геодезичній.

Загальніше, k-вимірна «площина» в гіперболічному n-просторі моделюватиметься (непорожнім) перетином гіперболоїда з k+1-вимірним лінійним підпростором (включно з початком координат) простору Мінковського.

Рухи ред.

Невизначена ортогональна група O(1,n), звана також (n+1)-вимірною групою Лоренца, є групою Лі дійсних (n+1)×(n+1) матриць, яка зберігає білінійну форму Мінковського. Іншими словами, це група лінійних рухів простору Мінковського. Зокрема, ця група зберігає гіперболоїд S. Нагадаємо, що невизначені ортогональні групи мають чотири зв'язані компоненти, які відповідають оберненню або збереженню орієнтації на кожному підпросторі (тут — 1-вимірному і n-вимірному), і утворюють 4-групу Кляйна. Підгрупа O(1,n), яка зберігає знак першої координати, є ортохронною групою Лоренца, що позначається O+(1,n), і має дві компоненти, які відповідають збереженню або оберненню орієнтації підпростору. Її підгрупа SO+(1,n), що складається з матриць з визначником одиниця, є зв'язаною групою Лі розмірності n(n+1)/2, яка діє на S+ лінійними автоморфізмами і зберігає гіперболічну відстань. Ця дія транзитивна і є стабілізатором вектора (1,0,…, 0), що складається з матриць вигляду

де належить до компактної спеціальної ортогональної групи SO(n) (яка узагальнює групу обертань SO(3) для n = 3). Звідси випливає, що n-вимірний гіперболічний простір можна подати як однорідний простір і Ріманів симетричний простір рангу 1,

Група SO+(1,n) є повною групою рухів n-вимірного гіперболічного простору, що зберігають орієнтацію.

Історія ред.

  • За Джеремі Ґреєм (1986) Пуанкаре використав гіперболоїдну модель у його персональних нотатках 1880 року. Пуанкаре опублікував свої результати в 1881, у яких він обговорює інваріантність квадратичної форми . Ґрей показує, де гіперболоїдна модель явно згадується в пізніших роботах Пуанкаре. Докладніше див. Історія перетворень Лоренца, розділ «Пуанкаре»[en].
  • Також Гомершем Кокс у 1882 використав координати Веєрштрасса (без зазначення цього імені), що задовольняють співвідношенню , а також співвідношенню .
  • Координати Веєрштрасса використовували також Ґерард (1892), Гаусдорф (1899), Вудс (1903) і Лібман (1905)[en].

Пізніше (1885) Кілінг стверджував, що фраза координати Веєрштрасса співвідноситься з елементами гіперболоїдної моделі так: якщо задано скалярний добуток на , координати Веєрштрасса точки дорівнюють

що можна порівняти з виразом

для моделі півсфери.

Як метричний простір гіперболоїд розглядав Александер Макфарлейн[en] у книзі Papers in Space Analysis (1894). Він зауважив, що точки на гіперболоїді можна записати як

де α є базисним вектором, ортогональним до осі гіперболоїда. Наприклад, він отримав гіперболічний закон косинусів[en], використавши алгебри фізики.

Х. Дженсен сфокусувався на гіперболоїдній моделі в статті 1909 року «Подання гіперболічної геометрії на двопорожнинному гіперболоїді». 1993 року У. Ф. Рейнольдс виклав ранню історію моделі в статті, надрукованій у журналі American Mathematical Monthly.

Як загальновизнану модель у XX столітті, її ототожнив з Geschwindigkeitsvectoren (нім. векторами швидкості) Герман Мінковський у просторі Мінковського. Скотт Вальтер у статті 1999 року «Неевклідів стиль спеціальної теорії відносності» згадує обізнаність Мінковського, але виводить походження моделі від Гельмгольца, а не від Веєрштрасса чи Кіллінга.

У ранні роки Владимир Варичак[en] використовував релятивістську гіперболоїдну модель для пояснення фізики швидкості. У його доповіді в Німецькому математичному товаристві 1912 року він посилався на координати Веєрштрасса.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. ↑ Macfarlane, 1894.
  2. Killing, 1878, с. 72-83.
  3. Killing, 1880, с. 265-287.
  4. Killing, 1885.
  5. Gray, 1986, с. 271-2.
  6. Poincaré, 1881, с. 132 -138.
  7. Poincaré, 1887, с. 71-91.
  8. Cox, 1881, с. 178-192.
  9. Cox, 1882, с. 193-215.
  10. Lindemann, 1891, с. 524.
  11. Deza E., Deza M., 2006.
  12. Jansen, 1909, с. 409-440.
  13. Reynolds, 1993, с. 442-55.
  14. Scott, 1999, с. 91–127.
  15. Varićak, 1912, с. 103–127.

Література ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Giperbolo yidna mode l vidoma takozh yak mode l Minko vskogo abo lo renceva mode l model n vimirnoyi geometriyi Lobachevskogo v yakij kozhnu tochku predstavleno tochkoyu na verhnij poverhni S displaystyle S dvoporozhninnogo giperboloyida v n 1 vimirnomu prostori Minkovskogo a m ploshini predstavleno peretinom m 1 ploshin u prostori Minkovskogo z S Funkciya giperbolichnoyi vidstani v cij modeli zadovolnyaye prostomu virazu Giperboloyidna model n vimirnogo giperbolichnogo prostoru tisno pov yazana z modellyu Beltrami Klyajna i diskovoyu modellyu Puankare oskilki voni ye proyektivnimi modelyami v sensi sho grupa ruhiv en ye pidgrupoyu proyektivnoyi grupi Chervona duga kola ye geodezichnoyu v diskovij modeli Puankare Vona proyektuyetsya na korichnevu geodezichnu na zelenomu giperboloyidi Zmist 1 Kvadratichna forma Minkovskogo 2 Pryami 3 Ruhi 4 Istoriya 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaKvadratichna forma Minkovskogo red Yaksho x 0 x 1 x n displaystyle x 0 x 1 dots x n nbsp ye vektorami v n 1 vimirnomu koordinatnomu prostori R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp kvadratichna forma Minkovskogo viznachayetsya yak Q x 0 x 1 x n x 0 2 x 1 2 x n 2 displaystyle Q x 0 x 1 ldots x n x 0 2 x 1 2 ldots x n 2 nbsp Vektori v R n 1 displaystyle v in mathbb R n 1 nbsp taki sho Q v 1 displaystyle Q v 1 nbsp utvoryuyut n vimirnij giperboloyid S sho skladayetsya z dvoh zv yazanih komponent abo listkiv verhnij abo majbutnye list S displaystyle S nbsp de x 0 gt 0 displaystyle x 0 gt 0 nbsp i nizhnij abo minule list S displaystyle S nbsp de x 0 lt 0 displaystyle x 0 lt 0 nbsp Tochki n vimirnoyi giperboloyidnoyi modeli ye tochkami na listku majbutnogo S displaystyle S nbsp Bilinijna forma Minkovskogo B ye polyarizaciyeyu kvadratichnoyi formi Minkovskogo Q B u v Q u v Q u Q v 2 displaystyle B mathbf u mathbf v Q mathbf u mathbf v Q mathbf u Q mathbf v 2 nbsp Abo v yavnomu viglyadi B x 0 x 1 x n y 0 y 1 y n x 0 y 0 x 1 y 1 x n y n displaystyle B x 0 x 1 ldots x n y 0 y 1 ldots y n x 0 y 0 x 1 y 1 ldots x n y n nbsp Giperbolichna vidstan mizh dvoma tochkami u i v prostoru S displaystyle S nbsp zadayut formuloyu d u v a r c h B u v displaystyle d mathbf u mathbf v operatorname mathrm arch B mathbf u mathbf v nbsp de arch obernena funkciya giperbolichnogo kosinusa Pryami red Pryama v giperbolichnomu n prostori modelyuyetsya geodezichnoyu na giperboloyidi Geodezichna na giperboloyidi ye neporozhnim peretinom z dvovimirnim linijnim pidprostorom vklyuchno z pochatkom koordinat n 1 vimirnogo prostoru Minkovskogo Yaksho mi vizmemo yak u i v bazisni vektori linijnogo pidprostoru z B u u 1 displaystyle B mathbf u mathbf u 1 nbsp B v v 1 displaystyle B mathbf v mathbf v 1 nbsp B u v B v u 0 displaystyle B mathbf u mathbf v B mathbf v mathbf u 0 nbsp i vikoristayemo w yak parametr dlya tochok na geodezichnij to u c h w v s h w displaystyle mathbf u mathrm ch w mathbf v mathrm sh w nbsp bude tochkoyu na geodezichnij 1 Zagalnishe k vimirna ploshina v giperbolichnomu n prostori modelyuvatimetsya neporozhnim peretinom giperboloyida z k 1 vimirnim linijnim pidprostorom vklyuchno z pochatkom koordinat prostoru Minkovskogo Ruhi red Neviznachena ortogonalna grupa O 1 n zvana takozh n 1 vimirnoyu grupoyu Lorenca ye grupoyu Li dijsnih n 1 n 1 matric yaka zberigaye bilinijnu formu Minkovskogo Inshimi slovami ce grupa linijnih ruhiv prostoru Minkovskogo Zokrema cya grupa zberigaye giperboloyid S Nagadayemo sho neviznacheni ortogonalni grupi mayut chotiri zv yazani komponenti yaki vidpovidayut obernennyu abo zberezhennyu oriyentaciyi na kozhnomu pidprostori tut 1 vimirnomu i n vimirnomu i utvoryuyut 4 grupu Klyajna Pidgrupa O 1 n yaka zberigaye znak pershoyi koordinati ye ortohronnoyu grupoyu Lorenca sho poznachayetsya O 1 n i maye dvi komponenti yaki vidpovidayut zberezhennyu abo obernennyu oriyentaciyi pidprostoru Yiyi pidgrupa SO 1 n sho skladayetsya z matric z viznachnikom odinicya ye zv yazanoyu grupoyu Li rozmirnosti n n 1 2 yaka diye na S linijnimi avtomorfizmami i zberigaye giperbolichnu vidstan Cya diya tranzitivna i ye stabilizatorom vektora 1 0 0 sho skladayetsya z matric viglyadu 1 0 0 0 A 0 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 amp ldots amp 0 0 amp amp amp vdots amp amp A amp 0 amp amp amp end pmatrix nbsp de A displaystyle A nbsp nalezhit do kompaktnoyi specialnoyi ortogonalnoyi grupi SO n yaka uzagalnyuye grupu obertan SO 3 dlya n 3 Zvidsi viplivaye sho n vimirnij giperbolichnij prostir mozhna podati yak odnoridnij prostir i Rimaniv simetrichnij prostir rangu 1 H n S O 1 n S O n displaystyle mathbb H n mathrm SO 1 n mathrm SO n nbsp Grupa SO 1 n ye povnoyu grupoyu ruhiv n vimirnogo giperbolichnogo prostoru sho zberigayut oriyentaciyu Istoriya red U kilkoh stattyah mizh 1878 i 1885 Vilgelm Killing 2 3 4 vikoristav podannya geometriyi Lobachevskogo yake vin pripisuye Karlu Veyershtrassu Zokrema vin obgovoryuye kvadratichni formi taki yak k 2 t 2 u 2 v 2 w 2 k 2 displaystyle k 2 t 2 u 2 v 2 w 2 k 2 nbsp abo dlya dovilnih rozmirnostej k 2 x 0 2 x 1 2 x n 2 k 2 displaystyle k 2 x 0 2 x 1 2 dots x n 2 k 2 nbsp de k displaystyle k nbsp ye dvoyistoyu miroyu krivini k 2 displaystyle k 2 infty nbsp oznachaye Evklidovu geometriyu k 2 gt 0 displaystyle k 2 gt 0 nbsp eliptichnu geometriyu a k 2 lt 0 displaystyle k 2 lt 0 nbsp oznachaye giperbolichnu geometriyu Za Dzheremi Greyem 1986 5 Puankare vikoristav giperboloyidnu model u jogo personalnih notatkah 1880 roku Puankare opublikuvav svoyi rezultati v 1881 u yakih vin obgovoryuye invariantnist kvadratichnoyi formi 3 2 h 2 z 2 1 displaystyle xi 2 eta 2 zeta 2 1 nbsp 6 Grej pokazuye de giperboloyidna model yavno zgaduyetsya v piznishih robotah Puankare 7 Dokladnishe div Istoriya peretvoren Lorenca rozdil Puankare en Takozh Gomershem Koks u 1882 8 9 vikoristav koordinati Veyershtrassa bez zaznachennya cogo imeni sho zadovolnyayut spivvidnoshennyu z 2 x 2 y 2 1 displaystyle z 2 x 2 y 2 1 nbsp a takozh spivvidnoshennyu w 2 x 2 y 2 z 2 1 displaystyle w 2 x 2 y 2 z 2 1 nbsp Dali model vikoristali Alfred Klebsh i Ferdinand fon Lindeman 1891 roku pri obgovorenni spivvidnoshen x 1 2 x 2 2 4 k 2 x 3 2 4 k 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 4k 2 x 3 2 4k 2 nbsp i x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 k 2 x 4 2 4 k 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 x 3 2 4k 2 x 4 2 4k 2 nbsp 10 Koordinati Veyershtrassa vikoristovuvali takozh Gerard 1892 Gausdorf 1899 Vuds 1903 i Libman 1905 en Piznishe 1885 Kiling stverdzhuvav sho fraza koordinati Veyershtrassa spivvidnositsya z elementami giperboloyidnoyi modeli tak yaksho zadano skalyarnij dobutok displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp na R n displaystyle mathbb R n nbsp koordinati Veyershtrassa tochki x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp dorivnyuyut x 1 x x R n 1 displaystyle x sqrt 1 langle x x rangle in mathbb R n 1 nbsp sho mozhna porivnyati z virazom x 1 x x R n 1 displaystyle x sqrt 1 langle x x rangle in mathbb R n 1 nbsp dlya modeli pivsferi 11 Yak metrichnij prostir giperboloyid rozglyadav Aleksander Makfarlejn en u knizi Papers in Space Analysis 1894 Vin zauvazhiv sho tochki na giperboloyidi mozhna zapisati yak s h A a s h A displaystyle mathrm sh A alpha mathrm sh A nbsp de a ye bazisnim vektorom ortogonalnim do osi giperboloyida Napriklad vin otrimav giperbolichnij zakon kosinusiv en vikoristavshi algebri fiziki 1 H Dzhensen sfokusuvavsya na giperboloyidnij modeli v statti 1909 roku Podannya giperbolichnoyi geometriyi na dvoporozhninnomu giperboloyidi 12 1993 roku U F Rejnolds viklav rannyu istoriyu modeli v statti nadrukovanij u zhurnali American Mathematical Monthly 13 Yak zagalnoviznanu model u XX stolitti yiyi ototozhniv z Geschwindigkeitsvectoren nim vektorami shvidkosti German Minkovskij u prostori Minkovskogo Skott Valter u statti 1999 roku Neevklidiv stil specialnoyi teoriyi vidnosnosti 14 zgaduye obiznanist Minkovskogo ale vivodit pohodzhennya modeli vid Gelmgolca a ne vid Veyershtrassa chi Killinga U ranni roki Vladimir Varichak en vikoristovuvav relyativistsku giperboloyidnu model dlya poyasnennya fiziki shvidkosti U jogo dopovidi v Nimeckomu matematichnomu tovaristvi 1912 roku vin posilavsya na koordinati Veyershtrassa 15 Div takozh red Konformno evklidova model Giperbolichnij kvaternionPrimitki red a b Macfarlane 1894 Killing 1878 s 72 83 Killing 1880 s 265 287 Killing 1885 Gray 1986 s 271 2 Poincare 1881 s 132 138 Poincare 1887 s 71 91 Cox 1881 s 178 192 Cox 1882 s 193 215 Lindemann 1891 s 524 Deza E Deza M 2006 Jansen 1909 s 409 440 Reynolds 1993 s 442 55 Scott 1999 s 91 127 Varicak 1912 s 103 127 Literatura red Killing W Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krummung Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1878 T 86 21 zhovtnya S 72 83 Killing W Die Rechnung in den Nicht Euklidischen Raumformen Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1880 T 89 21 zhovtnya S 265 287 Killing W Die nicht euklidischen Raumformen Leipzig 1885 Jeremy Gray Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincare 1986 S 271 2 Poincare H Sur les applications de la geometrie non euclidienne a la theorie des formes quadratiques Association francaise pour l avancement des sciences 1881 T 10 21 zhovtnya S 132 138 Arhivovano z dzherela 25 grudnya 2021 Procitovano 25 grudnya 2021 Poincare H On the fundamental hypotheses of geometry Collected works 1887 T 11 S 71 91 Cox H Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces The quarterly journal of pure and applied mathematics 1881 T 18 vip 70 21 zhovtnya S 178 192 Arhivovano z dzherela 23 bereznya 2018 Procitovano 25 grudnya 2021 Cox H Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces continued The quarterly journal of pure and applied mathematics 1882 T 18 vip 71 21 zhovtnya S 193 215 Arhivovano z dzherela 23 bereznya 2018 Procitovano 25 grudnya 2021 Lindemann F Vorlesungen uber Geometrie von Clebsch II 1890 Leipzig 1891 S 524 Elena Deza Michel Deza Dictionary of Distances 2006 Jansen H Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt Math Gesellsch Hamburg 1909 Vip 4 21 zhovtnya S 409 440 Alexander Macfarlane Papers on Space Analysis New York B Westerman 1894 Alekseevskij D V Vinberg E B Solodovnikov A S Geometry of Spaces of Constant Curvature Berlin New York Springer Verlag 1993 Encyclopaedia of Mathematical Sciences ISBN 3 540 52000 7 James Anderson Hyperbolic Geometry 2nd Berlin New York Springer Verlag 2005 Springer Undergraduate Mathematics Series ISBN 978 1 85233 934 0 John G Ratcliffe Glava 3 Foundations of hyperbolic manifolds Berlin New York Springer Verlag 1994 ISBN 978 0 387 94348 0 Miles Reid Balazs Szendroi Geometry and Topology Cambridge University Press 2005 S Figure 3 10 p 45 ISBN 0 521 61325 6 Patrick J Ryan Euclidean and non Euclidean geometry An analytical approach Cambridge London New York New Rochelle Melbourne Sydney Cambridge University Press 1986 ISBN 0 521 25654 2 William F Reynolds Hyperbolic geometry on a hyperboloid American Mathematical Monthly 1993 Vip 100 21 zhovtnya Arhivovano z dzherela 25 grudnya 2021 Procitovano 25 grudnya 2021 Scott Walter The non Euclidean style of Minkowskian relativity The Symbolic Universe Geometry and Physics Oxford University Press 1999 S 91 127 Varicak V On the Non Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1912 T 21 21 zhovtnya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Giperboloyidna model amp oldid 36865783