www.wikidata.uk-ua.nina.az

Група Лі Групою Лі над полем K displaystyle K K R displaystyle K mathbb R або C displaystyle mathbb C називається група

Група Лі

Групою Лі над полем ( або ) називається група , зі структурою диференційовного (гладкого) многовиду над , причому відображення та визначені :

є гладкими (у разі поля вимагають голоморфності введених відображень).

Довільна комплексна -мірна група Лі є дійсною групою Лі розмірності . Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення і записуються аналітичними функціями.

Групи Лі названі на честь Софуса Лі. Вони природно виникають при розгляді неперервних симетрій. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в диференціальний геометрії. Вони також відіграють помітну роль у геометрії, фізиці і математичному аналізі.

Типи груп Лі Редагувати

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності), а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).

Цей клас неперервних груп перетворень є сукупність операторів диференційованих по скінченному числу параметрів Умова диференційовуваності є еквівалентною експониненційному представленню елемента групи

де інфінітезимальні оператори утворюють алгебру

Знаходження незвідних зображень зводиться до визначення матричних елементів операторів алгебри, яка має певну структуру. Оператори представлення задовільняють співвідношенню де - довільні елементи групи.

Формула, яка пов'язує скінченне перетворення із інфінітезимальними операторами, можна отримати, інтегруючи диференціальні рівняння групи, записані відносно параметрів

де - число параметрів групи. За умов де - ідемпотент, отримуємо

Рішення системи рівнянь

приводить до експониненційної форми зображення з визначення інфінітезимального оператора

Щоб запевнитися, що утворює групу, достатньо запевнитися, у справедливості рівності:

- одиничний оператор. Операторний вираз можна представити у вигляді

де за допомогою здійснюється впорядкування операторних співмножників за допомогою умови якщо та коли причому розглядаються як -числа. Цей метод використовувався при розплутуванні виразу для матриці розсіяння, причому роль індексу відігравав час.


Підгрупи Лі Редагувати

Підгрупа групи Лі називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді . Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду у торі не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць .

Нехай  — підгрупа Лі групи Лі . Множину суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проєкція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо  — нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.

Гомоморфізми і ізоморфізми Редагувати

Нехай і  — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення , що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності .) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії і . Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі поворотів площини з операцією композиції і група Лі комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі над полем у групу невироджених лінійних перетворень векторного простору над полем називається представленням групи у просторі .

Дії груп Лі Редагувати

Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: G → Diff M, де Diff M — група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення ag многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ ag(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі N ≤ G:

Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x — стабілізатор довільної точки.

Алгебра Лі Редагувати

З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто

Еквівалентно

Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням Ve в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі Ge до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому Ge є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою

Приклади Редагувати

  • Будь-яка абстрактна (дискретна топологічна) група э групою Лі по відношенню до гладкості, у якій вона є нульвимірним многовидом.
  • Будь-який скінченновимірний лінійний простір є групою Лі по додаванню.
  • Одинична окружність точками якої є комплексні числа є групою Лі по добуткові.
  • Одинична сфера кватерніонів, точками якої є кватерніони для яких
  • Якщо сфера є групою Лі, то необхідно або , тому та є єдиними сферами, які припускають структуру групи Лі.
  • Прямий добуток топологічни (гладких) груп є топологічною (гладкою) групою. Зокрема, будь-який тор
  • Групою Лі є повна лінійна група а також ізоморфна їй група усіх автоморфізмів (невироджених лінійних операторів) довільного n-вимірного лінійного простору


Позначення Шенфліса та симетрії: Td (E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd); Oh: E, 8C3, 6C2', 6C4, 3C2, i, 6S4, 8S6


Приклади симетрії молекул (Dn , Dnd за Шенфлісом)

Дійсні групи Лі Редагувати

Група Лі Опис Властивості Алгебра Лі Розмірність
Евклідовий простір з операцією додавання Комутативність; однозв'язність, некомпактність n
Ненульові дійсні числа з операцією множення Комутативність; незв'язність, некомпактність 1
Додатні дійсні числа з операцією множення Комутативність; однозв'язність, некомпактність 1
Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність 1
Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n незв'язність, некомпактність n²
Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником Однозв'язність, некомпактність n²
Спеціальна лінійна група: Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозвязність, некомпактність для n > 1 n²-1
Ортогональна група: Ортогональні дійсні матриці Незв'язність, компактність n(n — 1)/2

Комплексні групи Лі Редагувати

Розмірність подано в .

Група Лі Опис Властивості Алгебра Лі Розмірність
Евклідовий простір з операцією додавання Комутативність; однозв'язність, некомпактність n
Ненульові комплексні числа з операцією множення Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність 1
Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n Однозвязність, некомпактність; n²
Спеціальна лінійна група: комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозв'язність, некомпактність для n≥2 (n²-1)
Ортогональна група: Ортогональні комплексні матриці Незв'язність, некомпактність для n≥2 n(n-1)
Спеціальна ортогональна група: комплексні ортогональні матриці з визначником 1 Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2 n(n-1)
Унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n Неоднозв'язність, компактність; n²
Спеціальна унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозв'язність, компактність n²-1

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М. : Мир, 1976. — С. 596. — (Елементи математики)(рос.)
  • Софус Лі. Теория групп преобразований. — Ижевск : РХД, 2011-2012. — 712+640 с.
  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
  • Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
  • Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
  • Helgason Sigurdur (1978), «Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces», Academic Press,
  • Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
  • P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations
  1. Г.А.Соколик - Групповые методы в теории элементарных частиц. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Grupoyu Li nad polem K displaystyle K K R displaystyle K mathbb R abo C displaystyle mathbb C nazivayetsya grupa G displaystyle G zi strukturoyu diferencijovnogo gladkogo mnogovidu nad K displaystyle K prichomu vidobrazhennya mul displaystyle operatorname mul ta inv displaystyle operatorname inv viznacheni mul G G G mul x y x y displaystyle operatorname mul colon G times G rightarrow G operatorname mul x y xy inv G G inv x x 1 displaystyle operatorname inv colon G rightarrow G operatorname inv x x 1 ye gladkimi u razi polya C displaystyle mathbb C vimagayut golomorfnosti vvedenih vidobrazhen Dovilna kompleksna n displaystyle n mirna grupa Li ye dijsnoyu grupoyu Li rozmirnosti 2 n displaystyle 2n Dovilna kompleksna grupa Li za viznachennyam ye analitichnim mnogovidom ale i v dijsnomu vipadku na bud yakij grupi Li isnuye analitichnij atlas v yakomu vidobrazhennya mul displaystyle operatorname mul i inv displaystyle operatorname inv zapisuyutsya analitichnimi funkciyami Grupi Li nazvani na chest Sofusa Li Voni prirodno vinikayut pri rozglyadi neperervnih simetrij Napriklad ruhi ploshini utvoryuyut grupu Li Grupi Li ye v sensi bagatstva strukturi najkrashimi z mnogovidiv i yak taki duzhe vazhlivi v diferencialnij geometriyi Voni takozh vidigrayut pomitnu rol u geometriyi fizici i matematichnomu analizi Zmist 1 Tipi grup Li 2 Pidgrupi Li 3 Gomomorfizmi i izomorfizmi 4 Diyi grup Li 5 Algebra Li 6 Prikladi 6 1 Dijsni grupi Li 6 2 Kompleksni grupi Li 7 Div takozh 8 LiteraturaTipi grup Li RedaguvatiGrupi Li klasifikuyutsya za svoyimi algebrayichnimi vlastivostyami prostoti napivprostoti rozv yaznosti nilpotentnosti komutativnosti a takozh za topologichnimi vlastivostyami zv yaznosti odnozv yaznosti i kompaktnosti Cej klas neperervnih grup peretvoren ye sukupnist operatoriv T a 1 a k displaystyle T a 1 a k nbsp diferencijovanih po skinchennomu chislu parametriv e 1 e k displaystyle varepsilon 1 varepsilon k nbsp Umova diferencijovuvanosti ye ekvivalentnoyu eksponinencijnomu predstavlennyu elementa grupiT a 1 a k exp a i x i displaystyle T a 1 a k exp a i x i nbsp de infinitezimalni operatori utvoryuyut algebru x i x k f i k l x l displaystyle x i x k f ik l x l nbsp Znahodzhennya nezvidnih zobrazhen zvoditsya do viznachennya matrichnih elementiv operatoriv algebri yaka maye pevnu strukturu Operatori predstavlennya zadovilnyayut spivvidnoshennyu T g 1 g 2 T g 1 T g 2 displaystyle T g 1 g 2 T g 1 T g 2 nbsp de g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 nbsp dovilni elementi grupi Formula yaka pov yazuye skinchenne peretvorennya iz infinitezimalnimi operatorami T exp a i x i displaystyle T exp a i x i nbsp mozhna otrimati integruyuchi diferencialni rivnyannya grupi zapisani vidnosno parametriv a i displaystyle a i nbsp T f a j f i 1 m S i j f x i T f displaystyle partial T f partial a j f sum i 1 m S ij f x i T f nbsp de m displaystyle m nbsp chislo parametriv grupi Za umov S i j e d i j displaystyle S ij e delta ij nbsp de e displaystyle e nbsp idempotent otrimuyemod d a j ln T f i 1 m S i j x i displaystyle d da j ln T f sum i 1 m S ij x i nbsp Rishennya sistemi rivnyan d d a 1 ln T f a 1 0 0 i 1 m S i 1 a 1 0 x i d d a m ln T f 0 a m i 1 m S i m 0 a m x i displaystyle begin cases d da 1 ln T f a 1 0 0 sum i 1 m S i1 a 1 0 x i d da m ln T f 0 a m sum i 1 m S im 0 a m x i end cases nbsp privodit do eksponinencijnoyi formi zobrazhennya z viznachennya infinitezimalnogo operatora T f a j j 1 x j displaystyle partial T f partial a j j 1 x j nbsp Shob zapevnitisya sho T displaystyle T nbsp utvoryuye grupu dostatno zapevnitisya u spravedlivosti rivnosti T a 1 a m T a 1 a m I displaystyle T a 1 a m T a 1 a m I nbsp I displaystyle I nbsp odinichnij operator Operatornij viraz e A B displaystyle e A B nbsp mozhna predstaviti u viglyadie 0 1 A S B S d s e 0 1 A s d s e 0 1 B S d s displaystyle e int 0 1 A S B S ds e int 0 1 A s ds e int 0 1 B S ds nbsp de za dopomogoyu s displaystyle s nbsp zdijsnyuyetsya vporyadkuvannya operatornih spivmnozhnikiv za dopomogoyu umovi A S B S displaystyle A S B S nbsp yaksho s gt s displaystyle s gt s nbsp ta B S A S displaystyle B S A S nbsp koli s gt s displaystyle s gt s nbsp prichomu A S B S displaystyle A S B S nbsp rozglyadayutsya yak c displaystyle c nbsp chisla Cej metod vikoristovuvavsya pri rozplutuvanni virazu dlya matrici rozsiyannya prichomu rol indeksu s displaystyle s nbsp vidigravav chas 1 Pidgrupi Li RedaguvatiPidgrupa H displaystyle H nbsp grupi Li G displaystyle G nbsp nazivayetsya yiyi pidgrupoyu Li yaksho vona ye pidmnogovidom v mnogovidi G displaystyle G nbsp Ne vsyaka pidgrupa ye pidgrupoyu Li napriklad pidgrupa par vidu e i x e i p x displaystyle e ix e i pi x nbsp u tori e i x e i y x y R displaystyle e ix e iy mid x y in mathbb R nbsp ne ye pidgrupoyu Li Pidgrupa Li zavzhdi zamknuta U dijsnomu vipadku virno i zvorotne zamknuta pidgrupa ye pidgrupoyu Li U kompleksnomu vipadku ce ne tak buvayut dijsni pidgrupi Li kompleksnoyi grupi Li sho mayut neparnu rozmirnist napriklad unitarni matrici v grupi oborotnih kompleksnih matric 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Nehaj H displaystyle H nbsp pidgrupa Li grupi Li G displaystyle G nbsp Mnozhinu G H displaystyle G H nbsp sumizhnih klasiv bajduzhe livih abo pravih mozhna yedinim chinom nadiliti strukturoyu diferencijovnogo mnogovidu tak shob kanonichna proyekciya bula diferencijovnim vidobrazhennyam Pri comu oderzhuyetsya lokalno trivialne rozsharuvannya i yaksho H displaystyle H nbsp normalna pidgrupa to faktorgrupa bude grupoyu Li Gomomorfizmi i izomorfizmi RedaguvatiNehaj G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp grupi Li nad odnim i tim zhe polem Gomomorfizmom grup Li nazivayetsya vidobrazhennya f G H displaystyle f colon G to H nbsp sho ye gomomorfizmom grup i odnochasno analitichnim vidobrazhennyam mnogovidiv Mozhna pokazati sho dlya vikonannya ostannoyi umovi dosit neperervnosti f displaystyle f nbsp Kompoziciya gomomorfizmiv grup Li znovu bude gomomorfizmom grup Li Klasi vsih dijsnih i vsih kompleksnih grup Li razom z vidpovidnimi gomomorfizmami utvoryuyut kategoriyi Lie R displaystyle operatorname Lie mathbb R nbsp i Lie C displaystyle operatorname Lie mathbb C nbsp Gomomorfizm grup Li nazivayetsya izomorfizmom yaksho isnuye obernenij gomomorfizm Dvi grupi Li mizh yakimi isnuye izomorfizm yak zavzhdi v abstraktnij algebri nazivayutsya izomorfnimi Yak zavzhdi grupi Li rozriznyayut lishe z tochnistyu do izomorfizmu Napriklad grupa Li S O 2 displaystyle SO 2 nbsp povorotiv ploshini z operaciyeyu kompoziciyi i grupa Li U 1 displaystyle U 1 nbsp kompleksnih chisel rivnih za modulem odinici z operaciyeyu mnozhennya ye izomorfnimi Priklad irracionalnoyi obmotki tora pokazuye sho obraz pidgrupi Li pri gomomorfizmi ne zavzhdi ye pidgrupoyu Li Prote proobraz pidgrupi Li pri gomomorfizmi zavzhdi ye pidgrupoyu Li Gomomorfizm grupi Li G displaystyle G nbsp nad polem K displaystyle K nbsp u grupu G L V displaystyle GL V nbsp nevirodzhenih linijnih peretvoren vektornogo prostoru V displaystyle V nbsp nad polem K displaystyle K nbsp nazivayetsya predstavlennyam grupi G displaystyle G nbsp u prostori V displaystyle V nbsp Diyi grup Li RedaguvatiGrupi Li chasto vistupayut yak simetriyi yakoyi nebud strukturi na deyakomu mnogovidi a tomu prirodno sho vivchennya dij grup na riznih mnogovidah ye vazhlivim rozdilom teoriyi Govoryat sho grupa Li G diye na gladkomu mnogovidi M yaksho zadanij gomomorfizm grup a G Diff M de Diff M grupa difeomorfizmiv M Takim chinom kozhnomu elementu g grupi G povinne vidpovidati difeomorfne peretvorennya ag mnogovidu M prichomu dobutku elementiv i zvorotnomu elementu vidpovidayut vidpovidno kompoziciya difeomorfizmiv i obernenij difeomorfizm Yaksho z kontekstu zrozumilo pro yaku diyu jde mova to obraz ag m tochki m pri difeomorfizmi sho viznachayetsya elementom g poznachayetsya prosto gm Grupa Li prirodno diye na sobi mnozhennyam sprava i zliva a takozh spryazhennyami Ci diyi tradicijno poznachayutsya l r i a lg h gh rg h hg ag h ghg 1 Inshim prikladom diyi ye diya grupi Li G na mnozhini klasiv sumizhnosti ciyeyi grupi Li po deyakij pidgrupi N G g hN gh NDiya grupi Li G na diferencijovnomu mnogovidi M nazivayetsya tranzitivnoyu yaksho bud yaku tochku M mozhna perevesti v bud yaku inshu za dopomogoyu diyi deyakogo elementu G Mnogovid na yakomu zadano tranzitivnu diyu grupi Li nazivayetsya odnoridnim prostorom ciyeyi grupi Odnoridni prostori vidigrayut vazhlivu rol v bagatoh rozdilah geometriyi Odnoridnij prostir grupi G difeomorfnij G st x de st x stabilizator dovilnoyi tochki Algebra Li RedaguvatiZ dovilnoyu grupoyu Li mozhna pov yazati deyaku algebru Li yaka povnistyu vidobrazhaye lokalnu strukturu grupi v usyakomu razi yaksho grupa Li zv yazna Vektorne pole na grupi Li G nazivayetsya livoinvariantnim yaksho vono komutuye z livim mnozhennyam tobto V lg f lg Vf dlya vsih g z G i bud yakoyi diferencijovnoyi funkciyi f Ekvivalentno dlg Vx Vgx dlya vsih x y z G Ochevidno bud yake livoinvariantne vektorne pole V na grupi Li povnistyu viznachayetsya svoyim znachennyam Ve v odinici Navpaki zadavshi dovilnij vektor V v dotichnomu prostori Ge do odinici mozhna poshiriti jogo livim mnozhennyam po vsij grupi Oderzhuyetsya vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh dotichnim prostorom do grupi v odinici i prostorom livoinvariantnih vektornih poliv Duzhka Li X Y livoinvariantnih vektornih poliv bude livoinvariantnim vektornim polem Tomu Ge ye algebroyu Li Cya algebra nazivayetsya algebroyu Li grupi G Zvichajno vona poznachayetsya vidpovidnoyu maloyu gotichnoyu bukvoyu g displaystyle mathfrak g nbsp Prikladi RedaguvatiBud yaka abstraktna diskretna topologichna grupa e grupoyu Li po vidnoshennyu do gladkosti u yakij vona ye nulvimirnim mnogovidom Bud yakij skinchennovimirnij linijnij prostir ye grupoyu Li po dodavannyu Odinichna okruzhnist S 1 z 1 displaystyle mathbb S 1 z 1 nbsp tochkami yakoyi ye kompleksni chisla z e i 8 displaystyle z e i theta nbsp ye grupoyu Li po dobutkovi Odinichna sfera S 3 displaystyle mathbb S 3 nbsp kvaternioniv tochkami yakoyi ye kvaternioni q displaystyle mathfrak q nbsp dlya yakih q 1 displaystyle mathfrak q 1 nbsp Yaksho sfera S n displaystyle mathbb S n nbsp ye grupoyu Li to neobhidno n 1 displaystyle n 1 nbsp abo n 3 displaystyle n 3 nbsp tomu S 1 displaystyle mathbb S 1 nbsp ta S 3 displaystyle mathbb S 3 nbsp ye yedinimi sferami yaki pripuskayut strukturu grupi Li Pryamij dobutok G H displaystyle G times H nbsp topologichni gladkih grup G H displaystyle G H nbsp ye topologichnoyu gladkoyu grupoyu Zokrema bud yakij tor T n n 1 displaystyle T n n geq 1 nbsp Grupoyu Li ye povna linijna grupa G L n displaystyle mathrm GL n nbsp a takozh izomorfna yij grupa A u t G displaystyle mathrm Aut mathfrak G nbsp usih avtomorfizmiv nevirodzhenih linijnih operatoriv dovilnogo n vimirnogo linijnogo prostoru G displaystyle mathfrak G nbsp nbsp Poznachennya Shenflisa ta simetriyi Td E 8C3 3C2 6S4 6sd Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 nbsp Prikladi simetriyi molekul Dn Dnd za Shenflisom Dijsni grupi Li Redaguvati Grupa Li Opis Vlastivosti Algebra Li RozmirnistR n displaystyle mathbb R n nbsp Evklidovij prostir z operaciyeyu dodavannya Komutativnist odnozv yaznist nekompaktnist R n displaystyle mathbb R n nbsp nR displaystyle mathbb R nbsp Nenulovi dijsni chisla z operaciyeyu mnozhennya Komutativnist nezv yaznist nekompaktnist R displaystyle mathbb R nbsp 1R displaystyle mathbb R nbsp Dodatni dijsni chisla z operaciyeyu mnozhennya Komutativnist odnozv yaznist nekompaktnist R displaystyle mathbb R nbsp 1S 1 R Z displaystyle S 1 mathbb R mathbb Z nbsp Kompleksni chisla z modulem 1 i operaciyeyu mnozhennya Komutativnist zv yaznist neodnozv yaznist kompaktnist R displaystyle mathbb R nbsp 1G L n R displaystyle GL n mathbb R nbsp Zagalna linijna grupa dijsni oborotni matrici rozmirnosti n n nezv yaznist nekompaktnist M n R displaystyle mathcal M n mathbb R nbsp n G L n R displaystyle GL n mathbb R nbsp Dijsni matrici rozmirnosti n n z dodatnim viznachnikom Odnozv yaznist nekompaktnist M n R displaystyle mathcal M n mathbb R nbsp n S L n R displaystyle SL n mathbb R nbsp Specialna linijna grupa Dijsni matrici rozmirnosti n n z viznachnikom 1 Odnozvyaznist nekompaktnist dlya n gt 1 s l n R displaystyle sl n mathbb R nbsp n 1O n R displaystyle O n mathbb R nbsp Ortogonalna grupa Ortogonalni dijsni matrici Nezv yaznist kompaktnist s o n R displaystyle so n mathbb R nbsp n n 1 2Kompleksni grupi Li Redaguvati Rozmirnist podano v C displaystyle mathbb C nbsp Grupa Li Opis Vlastivosti Algebra Li RozmirnistC n displaystyle mathbb C n nbsp Evklidovij prostir z operaciyeyu dodavannya Komutativnist odnozv yaznist nekompaktnist C n displaystyle mathbb C n nbsp nC displaystyle mathbb C nbsp Nenulovi kompleksni chisla z operaciyeyu mnozhennya Komutativnist neodnozv yaznist nekompaktnist C displaystyle mathbb C nbsp 1G L n C displaystyle GL n mathbb C nbsp Zagalna linijna grupa dijsni oborotni matrici rozmirnosti n n Odnozvyaznist nekompaktnist M n C displaystyle mathcal M n mathbb C nbsp n S L n C displaystyle SL n mathbb C nbsp Specialna linijna grupa kompleksni matrici rozmirnosti n n z viznachnikom 1 Odnozv yaznist nekompaktnist dlya n 2 s l n C displaystyle sl n mathbb C nbsp n 1 O n C displaystyle O n mathbb C nbsp Ortogonalna grupa Ortogonalni kompleksni matrici Nezv yaznist nekompaktnist dlya n 2 s o n C displaystyle so n mathbb C nbsp n n 1 S O n C displaystyle SO n mathbb C nbsp Specialna ortogonalna grupa kompleksni ortogonalni matrici z viznachnikom 1 Neodnozv yaznist nekompaktnist dlya n 2 s o n C displaystyle so n mathbb C nbsp n n 1 U n displaystyle U left n right nbsp Unitarna grupa unitarni kompleksni matrici rozmirnosti n n Neodnozv yaznist kompaktnist u n displaystyle u left n right nbsp n S U n displaystyle SU left n right nbsp Specialna unitarna grupa unitarni kompleksni matrici rozmirnosti n n z viznachnikom 1 Odnozv yaznist kompaktnist s u n displaystyle su left n right nbsp n 1Div takozh RedaguvatiAlgebra Li Algebrichna grupa Kompaktna grupa Li Linijna algebrichna grupaLiteratura RedaguvatiGolod P I Klimik A U Matematichni osnovi teoriyi simetriyi K Naukova dumka 1992 368 s ukr Burbaki N Gruppy i algebry Li Glavy I III M Mir 1976 S 596 Elementi matematiki ros Sofus Li Teoriya grupp preobrazovanij Izhevsk RHD 2011 2012 712 640 s Vinberg E B Onishik A L Seminar po gruppam Li i algebraicheskim gruppam 1988 1995 Adams Dzh F Lekcii po gruppam Li Nauka 1979 Hall Brian C 2003 Lie Groups Lie Algebras and Representations An Elementary Introduction Springer ISBN 0 387 40122 9 Helgason Sigurdur 1978 Differential Geometry Lie Groups and Symmetric Spaces Academic Press Rossmann Wulf 2001 Lie Groups An Introduction Through Linear Groups Oxford Graduate Texts in Mathematics Oxford University Press ISBN 978 0198596837 P Basarab Horwath V Lahno R Zhdanov 2000 The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations G A Sokolik Gruppovye metody v teorii elementarnyh chastic Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Grupa Li amp oldid 40083284