www.wikidata.uk-ua.nina.az

Представлення групи Представлення зображення груп описує абстрактні групи за допомогою лінійних перетворень векторних пр

Представлення групи

Представлення (зображення) груп описує абстрактні групи за допомогою лінійних перетворень векторних просторів, зокрема за допомогою матриць.

Відповідно групові операції подаються за допомогою добутку лінійних перетворень чи добутку матриць

За допомогою представлень проблеми теорії груп зводяться до простіших проблем з лінійної алгебри.

Представлення груп є одним із найважливіших знарядь у дослідженні теорії груп і мають широке застосування у геометрії, фізиці, хімії і кристалографії.

Розділ математики, що вивчає представлення груп, називається теорією представлень груп.

Визначення Редагувати

Представлення (зображення) групи, — гомоморфізм заданої групи в групу невироджених лінійних перетворень векторного простору. Образ цього гомоморфізму є групою, елементами якої є відповідні лінійні перетворення або їх матриці. Тобто, представленням групи , є гомоморфізм груп

де позначає групу автоморфізмів векторного простору . Відповідно маємо:

де — добуток елементів групи, а — добуток лінійних перетворень, що є образами цих елементів при відображенні h.

Ізоморфність представлень Редагувати

Нехай V і W — векторні простори над деяким тілом K. Два представлення

і

називають ізоморфними, якщо існує ізоморфізм векторних просторів:

що виконується рівність:

Типи представлень Редагувати

  • Представлення групи в просторі, для якого існує інваріантний підпростір щодо відповідних лінійних перетворень, називається звідним; інакше - незвідним або простим.
  • Якщо — топологічна група, то під представленням звичайно розуміється неперервне лінійне представлення групи у топологічному векторному просторі.

Розділи теорії представлень груп Редагувати

Для різних видів груп представлення мають різні властивості і для їх дослідження використовуються різні математичні методи. Тому теорія представлення груп ділиться на кілька окремих розділів. Серед найважливіших зокрема є:

  • Теорія представлення скінченних груп. Є дуже важливою у вивченні загальних властивостей скінченних груп, також має важливі застосування у геометрії і кристалографії.
  • Теорія представлення компактних і локально компактних груп. Застосовує багато методів, що використовуються і для скінченних груп. Є важливою частиною гармонічного аналізу.
  • Теорія представлення груп Лі. Багато важливих приладів груп Лі є компактними, тож для їх дослідження використовуються методи теорії представлення компактних груп. Існують також і специфічні методи для груп Лі. Групи Лі і їх представлення широко використовуються у фізиці і хімії.
  • Теорія представлення лінійних алгебраїчних груп є значно менш розвинута, ніж попередні, хоча лінійні алгебраїчні групи мають багато властивостей схожих з властивостями груп Лі.

Варіації і узагальнення Редагувати

У ширшому сенсі, під представленням групи може розумітися гомоморфізм групи в групу всіх невироджених перетворень деякої множини . Наприклад:

Фізичний зміст Редагувати

Фізичний аспект теорії зображень груп полягає у врахуванні й використанні уявлень про симетрію, пов'язаних із різними фізичними процесами. Такі уявлення симетрії виникають у фізиці двоїстим чином. По-перше, оскільки будь-який фізичний процес перебігає у просторі (та у часі), при описі таких процесів доводиться використовувати ту чи іншу систему координат. Однак вибір цієї системи виділяє у просторі деякі напрямки (які відповідають осям координат), що суперечить «ізотропності» простору, тобто рівноправності усіх його напрямків; тому фізичний зміст може мати лише таке співвідношення, яке не змінюється при повороті осей системи координат. Ця обставина (яка доповнюється врахуванням «однорідності» простору, яка полягає у рівноправності усіх його точок, а також врахуванням рівноправності будь-яких двох моментів часу) вельми сильно обмежує можливі «фізичні закони».

Ще більш жорсткі вимоги симетрії накладає на фізичні явища теорія відносності, яка стверджує, що будь-який фізичний закон повинен виражатися формулами, які не змінюються за усіх так званих «перетворень Лоренца» чотиривимірного простору-часу.

По-друге, самі досліджувані фізичні об'єкти (атоми, молекули, кристали) часто мають деяку «симетрію», яка також повинна враховуватися.

Наприклад, єдиним виразом, який пов'язує координати довільного вектора й не змінює свого значення за будь-якого повороту осей системи координат, є сума квадратів координат вектора

яка дорівнює квадрату довжини вектора (та будь-яка функція виразу ). Але добре відомо, що закон перетворення частинних похідних деякої функції при повороті осей системи координат співпадає із законом перетворення координат вектора, причому другі похідні перетворюються як квадрати координат. Ця обставина визначає роль у фізиці оператора Лапласа:

Найпростіші фізичні закони, які задовольняють умовам симетрії, які накладаються ізотропністю та однорідністю простору, можуть записуватися одним з трьох диференціальних рівнянь:

(рівняння Пуасона, за перетворюється на рівняння Лапласа)

(рівняння теплопровідності)

(хвильове рівняння)

де  — функція, яка має інваріантний фізичний зміст, та  — відомі функції.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  1. Юрій Дрозд Вступ до теорії зображень [ 16 листопада 2021 у Wayback Machine.]
  2. Пилипів В.М. -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
  3. Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
  4. James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
  5. Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.
  1. Hermann Weyl - Symmetry. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Predstavlennya zobrazhennya grup opisuye abstraktni grupi za dopomogoyu linijnih peretvoren vektornih prostoriv zokrema za dopomogoyu matric Vidpovidno grupovi operaciyi podayutsya za dopomogoyu dobutku linijnih peretvoren chi dobutku matricZa dopomogoyu predstavlen problemi teoriyi grup zvodyatsya do prostishih problem z linijnoyi algebri Predstavlennya grup ye odnim iz najvazhlivishih znaryad u doslidzhenni teoriyi grup i mayut shiroke zastosuvannya u geometriyi fizici himiyi i kristalografiyi Rozdil matematiki sho vivchaye predstavlennya grup nazivayetsya teoriyeyu predstavlen grup Zmist 1 Viznachennya 2 Izomorfnist predstavlen 3 Tipi predstavlen 4 Rozdili teoriyi predstavlen grup 5 Variaciyi i uzagalnennya 6 Fizichnij zmist 7 Div takozh 8 LiteraturaViznachennya RedaguvatiPredstavlennya zobrazhennya grupi gomomorfizm zadanoyi grupi v grupu nevirodzhenih linijnih peretvoren vektornogo prostoru Obraz cogo gomomorfizmu ye grupoyu elementami yakoyi ye vidpovidni linijni peretvorennya abo yih matrici Tobto predstavlennyam grupi G displaystyle G nbsp ye gomomorfizm grup h G Aut W displaystyle h G to operatorname Aut W nbsp de Aut W displaystyle operatorname Aut W nbsp poznachaye grupu avtomorfizmiv vektornogo prostoru W displaystyle W nbsp Vidpovidno u v G displaystyle forall u v in G nbsp mayemo h u v h u h v displaystyle h u v h u cdot h v nbsp de u v displaystyle u v nbsp dobutok elementiv grupi a h u h v displaystyle h u cdot h v nbsp dobutok linijnih peretvoren sho ye obrazami cih elementiv pri vidobrazhenni h Izomorfnist predstavlen RedaguvatiNehaj V i W vektorni prostori nad deyakim tilom K Dva predstavlennya r 1 G G L V displaystyle rho 1 colon G to GL V nbsp i r 2 G G L W displaystyle rho 2 colon G rightarrow GL W nbsp nazivayut izomorfnimi yaksho isnuye izomorfizm vektornih prostoriv a V W displaystyle alpha colon V to W nbsp sho g G displaystyle forall g in G nbsp vikonuyetsya rivnist a r 1 g a 1 r 2 g displaystyle alpha circ rho 1 g circ alpha 1 rho 2 g nbsp Tipi predstavlen RedaguvatiPredstavlennya grupi v prostori dlya yakogo isnuye invariantnij pidprostir shodo vidpovidnih linijnih peretvoren nazivayetsya zvidnim inakshe nezvidnim abo prostim Yaksho G displaystyle G nbsp topologichna grupa to pid predstavlennyam G displaystyle G nbsp zvichajno rozumiyetsya neperervne linijne predstavlennya grupi G displaystyle G nbsp u topologichnomu vektornomu prostori Rozdili teoriyi predstavlen grup RedaguvatiDlya riznih vidiv grup predstavlennya mayut rizni vlastivosti i dlya yih doslidzhennya vikoristovuyutsya rizni matematichni metodi Tomu teoriya predstavlennya grup dilitsya na kilka okremih rozdiliv Sered najvazhlivishih zokrema ye Teoriya predstavlennya skinchennih grup Ye duzhe vazhlivoyu u vivchenni zagalnih vlastivostej skinchennih grup takozh maye vazhlivi zastosuvannya u geometriyi i kristalografiyi Teoriya predstavlennya kompaktnih i lokalno kompaktnih grup Zastosovuye bagato metodiv sho vikoristovuyutsya i dlya skinchennih grup Ye vazhlivoyu chastinoyu garmonichnogo analizu Teoriya predstavlennya grup Li Bagato vazhlivih priladiv grup Li ye kompaktnimi tozh dlya yih doslidzhennya vikoristovuyutsya metodi teoriyi predstavlennya kompaktnih grup Isnuyut takozh i specifichni metodi dlya grup Li Grupi Li i yih predstavlennya shiroko vikoristovuyutsya u fizici i himiyi Teoriya predstavlennya linijnih algebrayichnih grup ye znachno mensh rozvinuta nizh poperedni hocha linijni algebrayichni grupi mayut bagato vlastivostej shozhih z vlastivostyami grup Li Variaciyi i uzagalnennya RedaguvatiU shirshomu sensi pid predstavlennyam grupi mozhe rozumitisya gomomorfizm grupi v grupu vsih nevirodzhenih peretvoren deyakoyi mnozhini X displaystyle X nbsp Napriklad Proektivne predstavlennya grupi gomomorfizm grupi v grupu proektivnih peretvoren proektivnogo prostoru Fizichnij zmist RedaguvatiFizichnij aspekt teoriyi zobrazhen grup polyagaye u vrahuvanni j vikoristanni uyavlen pro simetriyu pov yazanih iz riznimi fizichnimi procesami Taki uyavlennya simetriyi vinikayut u fizici dvoyistim chinom Po pershe oskilki bud yakij fizichnij proces perebigaye u prostori ta u chasi pri opisi takih procesiv dovoditsya vikoristovuvati tu chi inshu sistemu koordinat Odnak vibir ciyeyi sistemi vidilyaye u prostori deyaki napryamki yaki vidpovidayut osyam koordinat sho superechit izotropnosti prostoru tobto rivnopravnosti usih jogo napryamkiv tomu fizichnij zmist mozhe mati lishe take spivvidnoshennya yake ne zminyuyetsya pri povoroti osej sistemi koordinat Cya obstavina yaka dopovnyuyetsya vrahuvannyam odnoridnosti prostoru yaka polyagaye u rivnopravnosti usih jogo tochok a takozh vrahuvannyam rivnopravnosti bud yakih dvoh momentiv chasu velmi silno obmezhuye mozhlivi fizichni zakoni She bilsh zhorstki vimogi simetriyi nakladaye na fizichni yavisha teoriya vidnosnosti yaka stverdzhuye sho bud yakij fizichnij zakon povinen virazhatisya formulami yaki ne zminyuyutsya za usih tak zvanih peretvoren Lorenca chotirivimirnogo prostoru chasu Po druge sami doslidzhuvani fizichni ob yekti atomi molekuli kristali chasto mayut deyaku simetriyu yaka takozh povinna vrahovuvatisya Napriklad yedinim virazom yakij pov yazuye koordinati a x a y a z displaystyle a x a y a z nbsp dovilnogo vektora a displaystyle a nbsp j ne zminyuye svogo znachennya za bud yakogo povorotu osej sistemi koordinat ye suma D displaystyle D nbsp kvadrativ koordinat vektoraD a x 2 a y 2 a z 2 displaystyle D a x 2 a y 2 a z 2 nbsp yaka dorivnyuye kvadratu dovzhini vektora a displaystyle a nbsp ta bud yaka funkciya virazu D displaystyle D nbsp Ale dobre vidomo sho zakon peretvorennya chastinnih pohidnih x y z displaystyle frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z nbsp deyakoyi funkciyi f x y z displaystyle f x y z nbsp pri povoroti osej sistemi koordinat spivpadaye iz zakonom peretvorennya koordinat vektora prichomu drugi pohidni 2 x 2 2 y 2 2 z 2 displaystyle frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial y 2 frac partial 2 partial z 2 nbsp peretvoryuyutsya yak kvadrati koordinat Cya obstavina viznachaye rol u fizici operatora Laplasa D 2 x 2 2 y 2 2 z 2 displaystyle Delta frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial y 2 frac partial 2 partial z 2 nbsp Najprostishi fizichni zakoni yaki zadovolnyayut umovam simetriyi yaki nakladayutsya izotropnistyu ta odnoridnistyu prostoru mozhut zapisuvatisya odnim z troh diferencialnih rivnyan D u f displaystyle Delta u f nbsp rivnyannya Puasona za f 0 displaystyle f equiv 0 nbsp peretvoryuyetsya na rivnyannya Laplasa D u a u t displaystyle Delta u a frac partial u partial t nbsp rivnyannya teploprovidnosti D u a 2 u t 2 displaystyle Delta u a frac partial 2 u partial t 2 nbsp hvilove rivnyannya de u u x y z t displaystyle u u x y z t nbsp funkciya yaka maye invariantnij fizichnij zmist f x y z t displaystyle f x y z t nbsp ta a a x y z t displaystyle a a x y z t nbsp vidomi funkciyi 1 Div takozh RedaguvatiIzometriya matematika Lema Shura Harakter predstavlennya grupiLiteratura RedaguvatiYurij Drozd Vstup do teoriyi zobrazhen Arhivovano 16 listopada 2021 u Wayback Machine Pilipiv V M Teoriya predstavlen grup ta yiyi zastosuvannya navchalnij posibnik Ivano Frankivsk VDV CIT Prikarpatskogo nacionalnogo universitetu imeni Vasilya Stefanika 2008 156s Fulton William Harris Joe 1991 Representation theory A first course Graduate Texts in Mathematics Readings in Mathematics 129 New York Springer Verlag MR1153249 ISBN 978 0 387 97527 6 ISBN 978 0 387 97495 8 James Gordon Liebeck Martin 2001 Representations and Characters of Groups 2nd ed Cambridge University Press ISBN 0 521 00392 X Serre Jean Pierre 1977 Linear Representations of Finite Groups Springer Verlag ISBN 0 387 90190 6 Hermann Weyl Symmetry Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Predstavlennya grupi amp oldid 34960106