www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лема Шура твердження що є одним з основних при побудові теорії представлень груп Зміст 1 Формулювання леми 2 Доведення 3

Лема Шура

Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп.

Формулювання леми Редагувати

Представлення групи автоморфізмами деякого векторного простору називається незвідним, якщо не існує ніякого інваріантного щодо підпростору за винятком нульового підпростору і самого .

Лема Шура: Нехай  — лінійне відображення векторних просторів над деяким полем таке, що існують два незвідні представлення і , такі, що для всіх . тоді:

  1. Відображення є або ізоморфізмом або нульовим відображенням.
  2. Якщо є скінченновимірними над алгебраїчно замкнутим полем і , то є множенням на певний елемент поля .

Також лемою Шура називають твердження з теорії модулів, пов'язане з попереднім: Нехай і модулі над кільцем , які є простими (тобто не мають підмодулів, відмінних від нульового і самого себе). Тоді будь-який гомоморфізм є або нульовим, або ізоморфізмом на . Зокрема якщо то довільний ненульовий ендоморфізм модуля є автоморфізмом і тому має обернений автоморфізм. Іншими словами кільце (кільце -лінійних ендоморфізмів модуля ) є тілом.

Доведення Редагувати

Доведемо спершу твердження для модулів, а потім на його основі і лему Шура для представлень груп.

Справді, так як і є підмодулями, то якщо є ненульовим гомоморфізмом, маємо , а , тобто  — ізоморфізм на весь модуль .

Тепер визначимо групове кільце . Елементами цього кільця будуть лінійні комбінації . Множення визначається і далі по лінійності. Ясно, що кільце. На просторі визначимо множення елемента з на елемент : . Тим самим ми перетворюємо в модуль над кільцем . Перевірка аксіом модуля тривіальна, тому що є представленням. аналогічно, замінюючи на , буде модулем над , а рівність те, що відображення є гомоморфізмом модулів. Так як і є незвідними, а це означає простоту і як модулів над , то перша частина леми доведена.

Для доведення другої частини використовуємо відоме твердження лінійної алгебри про існування власного вектора для скінченновимірного простору над алгебраїчно замкнутим полем, що відповідає власному значенню , . Для будь-якого елемента маємо , причому для власного вектора отже по першій частині леми є нульовим гомоморфізмом, отже є множенням на деякий .

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Пилипів В. М. -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
  • Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
  • James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
  • Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Lema Shura tverdzhennya sho ye odnim z osnovnih pri pobudovi teoriyi predstavlen grup Zmist 1 Formulyuvannya lemi 2 Dovedennya 3 Div takozh 4 LiteraturaFormulyuvannya lemi RedaguvatiPredstavlennya grupi G displaystyle G nbsp avtomorfizmami deyakogo vektornogo prostoru G L V displaystyle GL V nbsp s G G L V displaystyle sigma G to GL V nbsp nazivayetsya nezvidnim yaksho ne isnuye niyakogo invariantnogo shodo s displaystyle sigma nbsp pidprostoru za vinyatkom nulovogo pidprostoru i samogo V displaystyle V nbsp Lema Shura Nehaj f displaystyle f nbsp linijne vidobrazhennya vektornih prostoriv f V 1 V 2 displaystyle f V 1 to V 2 nbsp nad deyakim polem K displaystyle K nbsp take sho isnuyut dva nezvidni predstavlennya s G G L V 1 displaystyle sigma G to GL V 1 nbsp i t G G L V 2 displaystyle tau G to GL V 2 nbsp taki sho t g f f s g displaystyle tau g f f sigma g nbsp dlya vsih g displaystyle g nbsp todi Vidobrazhennya f displaystyle f nbsp ye abo izomorfizmom abo nulovim vidobrazhennyam Yaksho V 1 V 2 displaystyle V 1 V 2 nbsp ye skinchennovimirnimi nad algebrayichno zamknutim polem K displaystyle K nbsp i s t displaystyle sigma tau nbsp to f displaystyle f nbsp ye mnozhennyam na pevnij element polya f x l x displaystyle f x to lambda x nbsp Takozh lemoyu Shura nazivayut tverdzhennya z teoriyi moduliv pov yazane z poperednim Nehaj E displaystyle E nbsp i F displaystyle F nbsp moduli nad kilcem R displaystyle R nbsp yaki ye prostimi tobto ne mayut pidmoduliv vidminnih vid nulovogo i samogo sebe Todi bud yakij gomomorfizm f E F displaystyle f E rightarrow F nbsp ye abo nulovim abo izomorfizmom na F displaystyle F nbsp Zokrema yaksho E F displaystyle E F nbsp to dovilnij nenulovij endomorfizm modulya E displaystyle E nbsp ye avtomorfizmom i tomu maye obernenij avtomorfizm Inshimi slovami kilce End R E displaystyle operatorname End R E nbsp kilce R displaystyle R nbsp linijnih endomorfizmiv modulya E displaystyle E nbsp ye tilom Dovedennya RedaguvatiDovedemo spershu tverdzhennya dlya moduliv a potim na jogo osnovi i lemu Shura dlya predstavlen grup Spravdi tak yak K e r f displaystyle mathrm Ker f nbsp i I m f displaystyle mathrm Im f nbsp ye pidmodulyami to yaksho f displaystyle f nbsp ye nenulovim gomomorfizmom mayemo K e r f 0 displaystyle mathrm Ker f 0 nbsp a I m f F displaystyle mathrm Im f F nbsp tobto f displaystyle f nbsp izomorfizm na ves modul F displaystyle F nbsp Teper viznachimo grupove kilce K G displaystyle K G nbsp Elementami cogo kilcya budut linijni kombinaciyi k 1 g 1 k 2 g 2 k n g n displaystyle k 1 g 1 k 2 g 2 k n g n nbsp Mnozhennya viznachayetsya k 1 g 1 k 2 g 2 k 1 k 2 g 1 g 2 displaystyle k 1 g 1 k 2 g 2 k 1 k 2 g 1 g 2 nbsp i dali po linijnosti Yasno sho K G displaystyle K G nbsp kilce Na prostori V 1 displaystyle V 1 nbsp viznachimo mnozhennya elementa z K G displaystyle K G nbsp na element x V 1 displaystyle x in V 1 nbsp k 1 g 1 k 2 g 2 k n g n x k 1 s g 1 x k 2 s g 2 x k n s g n x displaystyle k 1 g 1 k 2 g 2 k n g n x k 1 sigma g 1 x k 2 sigma g 2 x k n sigma g n x nbsp Tim samim mi peretvoryuyemo V 1 displaystyle V 1 nbsp v modul nad kilcem K G displaystyle K G nbsp Perevirka aksiom modulya trivialna tomu sho s displaystyle sigma nbsp ye predstavlennyam V 2 displaystyle V 2 nbsp analogichno zaminyuyuchi s displaystyle sigma nbsp na t displaystyle tau nbsp bude modulem nad K G displaystyle K G nbsp a rivnist t g f f s g displaystyle tau g f f sigma g nbsp te sho vidobrazhennya f displaystyle f nbsp ye gomomorfizmom moduliv Tak yak s displaystyle sigma nbsp i t displaystyle tau nbsp ye nezvidnimi a ce oznachaye prostotu V 1 displaystyle V 1 nbsp i V 2 displaystyle V 2 nbsp yak moduliv nad K G displaystyle K G nbsp to persha chastina lemi dovedena Dlya dovedennya drugoyi chastini vikoristovuyemo vidome tverdzhennya linijnoyi algebri pro isnuvannya vlasnogo vektora x 0 displaystyle x neq 0 nbsp dlya skinchennovimirnogo prostoru nad algebrayichno zamknutim polem sho vidpovidaye vlasnomu znachennyu l displaystyle lambda nbsp f x l x displaystyle f x lambda x nbsp Dlya bud yakogo elementa g G displaystyle g in G nbsp mayemo s g f l id f l id s g displaystyle sigma g f lambda operatorname id f lambda operatorname id sigma g nbsp prichomu dlya vlasnogo vektora f l id x 0 displaystyle f lambda operatorname id x 0 nbsp otzhe f l id displaystyle f lambda operatorname id nbsp po pershij chastini lemi ye nulovim gomomorfizmom otzhe f displaystyle f nbsp ye mnozhennyam na deyakij l displaystyle lambda nbsp Div takozh RedaguvatiPredstavlennya grupi Teorema Dzhekobsona pro shilnistLiteratura RedaguvatiPilipiv V M Teoriya predstavlen grup ta yiyi zastosuvannya navchalnij posibnik Ivano Frankivsk VDV CIT Prikarpatskogo nacionalnogo universitetu imeni Vasilya Stefanika 2008 156s Fulton William Harris Joe 1991 Representation theory A first course Graduate Texts in Mathematics Readings in Mathematics 129 New York Springer Verlag MR1153249 ISBN 978 0 387 97527 6 ISBN 978 0 387 97495 8 James Gordon Liebeck Martin 2001 Representations and Characters of Groups 2nd ed Cambridge University Press ISBN 0 521 00392 X Serre Jean Pierre 1977 Linear Representations of Finite Groups Springer Verlag ISBN 0 387 90190 6 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Lema Shura amp oldid 39163378