В теорії груп характером представлення групи називають функцію від елементів групи, значення якої для кожного елемента групи дорівнює сліду відповідної матриці.
Характер подає важливу інформацію про представлення у досить компактній формі і тому можуть бути використані для вивчення її структури. Теорія характерів є важливим інструментом у класифікації простих скінченних груп.
Визначення Редагувати
Нехай V — скінченновимірний векторний простір над полем F і нехай ρ: G → GL (V) — представлення групи G на V. Характером представлення ρ називається функція χ ρ :G →F, визначена так:
де — слід матриці.
Характер χ ρ називається незвідним, якщо ρ є незвідним представленням. Ядром характера χ ρ називається множина:
де χ ρ (1) — значення χ ρ на одиничному елементі групи. Якщо ρ є представленням групи G розмірності k і 1 є одиницею групи G, то
Властивості Редагувати
- Значення характеру є незмінними на усіх елементах довільного класу суміжності групи.
- Ізоморфні представлення мають однакові характери. Над полем характеристики 0, уявлень є ізоморфні, якщо і тільки якщо вони мають той же характер.
- Якщо характер скінченної групи G розглядати на деякій підгрупі H, то результат буде характером H.
- Кожне значення характеру є сумою n коренів з одиниці степеня m, де n є розмірністю векторного простору представлення з характером χ і m — порядок елемента g. Зокрема, коли F є полем комплексних чисел, кожне таке значення характеру є алгебраїчним числом.
- Якщо F є полем комплексних чисел, і є незвідним, то є цілим алгебраїчним числом для кожного x в G.
- Якщо поле F є алгебраїчно замкнутим та Char (F) не ділить | G |, то кількість незвідних характерівGрівна кількості класів суміжності групи G. Крім того, у цьому випадку степені незвідних характерів є дільниками порядку групи G.
Арифметичні властивості Редагувати
Нехай ρ і σ — представлення групи G. Тоді виконуються такі тотожності:
де є прямою сумою, є тензорним добутком, позначає спряжене транспонування від ρ, Alt2 (ρ) = і
Таблиці характерів Редагувати
Усі незвідні характери можна подати за допомогою таблиці характерів, що містить багато корисної інформації про групу G в компактній формі. Кожен рядок, помічається деяким незвідним характером і в рядку записуються значення цього характеру для елементів класів суміжності G. Стовпці таблиці помічаються представниками класів суміжності G. Перший рядок зазвичай відповідає тривіальному характеру, а перший стовпець є класом суміжності одиниці. Елементами першого стовпця є значення незвідних характерів на одиниці, тобто розмірності характерів. Характери степеня 1 відомі як лінійні характери.
Нижче подана таблиця характерів циклічної групі з трьома елементами і генеруючим елементом U :
| (1) | (u) | (u2) | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| χ1 | 1 | ω | ω2 |
| χ2 | 1 | ω2 | ω |
де ω є примітивним кубічним коренем з одиниці.
Таблиці характерів завжди є квадратними, тому що число незвідних неізоморфних представлень дорівнює кількості класів суміжності. У першому рядку таблиці характерів стоять одиничні елементи, і він відповідає тривіальному представленню (1-вимірне представлення, що кожному елементу групи ставить у відповідність матрицю 1 × 1, з елементом 1).
Співвідношення ортогональності Редагувати
На просторі комплекснозначних, незмінних на класах суміжності функцій скінченної групи G можна задати наступний скалярний добуток:
де означає комплексно-спряжене значення на G. Відносно цього скалярного добутку, незвідні характери утворюють ортонормований базис в просторі функцій незмінних на класах суміжності, і це дає співвідношення ортогональності для рядків характерів таблицею:
Для співвідношення ортогональності для стовпців, виглядає таким чином:
де сума береться по всіх незвідних характерах із G і символ позначає порядок централізаторів .
Властивості таблиць характерів Редагувати
Деякі властивості групи G можуть бути виведені з її таблиці характерів:
- Порядок G рівний сумі квадратів елементів першого стовпця (степенів незвідних характерів). Більш загально сума квадратів абсолютних значень елементів в будь-якому стовпці рівна порядку централізатора елементів відповідного класу сумужності.
- Всі нормальні підгрупи G можуть бути визначені за допомогою таблиць характерів. Ядро харкактеру χ це множина елементів G, для яких χ (G) = χ (1); Ядро є нормальною підгрупою групи G. Кожна нормальна підгрупа G є перетином ядер деяких незвідних характерів G.
- Комутант групи G є перетином ядер лінійних характерів G. Зокрема, група G є абелевою , якщо і тільки якщо всі її незвідні характери є лінійними.
Таблиці характерів в загальному не визначають групу з точністю до ізоморфізму: наприклад, група кватерніонів Q і діедральна група з 8 елементів (D 4 ) мають однакові таблиці характерів.
Література Редагувати
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- Пилипів В.М. -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
- Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8
- Isaacs, I.M. (1994). Character Theory of Finite Groups (Corrected reprint of the 1976 original, published by Academic Press. ed.). Dover. ISBN 0-486-68014-2.
- Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3
- James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
- Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.