www.wikidata.uk-ua.nina.az

Прямий добуток груп операція яка за групами G displaystyle G і H displaystyle H будує нову групу яку зазвичай позначають

Прямий добуток груп

Прямий добуток груп — операція, яка за групами і будує нову групу, яку зазвичай позначають як . Ця операція є теоретико-груповим аналогом декартового добутку множин та одним з основних прикладів поняття прямого добутку.

У контексті абелевих груп прямий добуток іноді називають прямою сумою та позначають . Прямі суми відіграють важливу роль у класифікації абелевих груп: згідно з теоремою про структуру скінченнопороджених абелевих груп, будь-яку скінченнопороджену абелеву групу можна розкласти в пряму суму циклічних груп.

Визначення Редагувати

Якщо і  — групи з операціями і відповідно, той прямий добуток визначається так:

  1. Множиною є декартівдобуток, . Його елементами є упорядковані пари , де і .
  2. Бінарна операція на визначається покомпонентно:

Отриманий алгебричний об'єкт задовольняє аксіомам групи:

Приклади Редагувати

  • Нехай  — група дійсних чисел із операцією додавання. Тоді прямий добуток  — група всіх двокомпонентних векторів з операцією додавання векторів:
  • Нехай  — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток  — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення:
  • Нехай і  — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи:
  • * 1 a
    1 1 a
    a a 1
  • * 1 b
    1 1 b
    b b 1

Тоді прямий добуток ізоморфний 4-групі Кляйна:

* (1,1) (a,1) (1, b) (a, b)
(1,1) (1,1) (a,1) (1, b) (a, b)
(a,1) (a,1) (1,1) (a, b) (1, b)
(1, b) (1, b) (a, b) (1,1) (a,1)
(a, b) (a, b) (1, b) (a,1) (1,1)

Елементарні властивості Редагувати

Алгебрична структура Редагувати

Нехай і  — групи, а . Розглянемо наступні дві підмножини :

Обидві ці підмножини є підгрупами , при цьому канонічно ізоморфна , а канонічно ізоморфна . Якщо ми ототожнимо їх із і відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток містить початкові групи і як підгрупи.

Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:

  1. Перетин тривіальний.
  2. Кожен елемент із можна однозначно подати як добуток елемента з та елемента з .
  3. Кожен елемент із комутує з кожним елементом із .

Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку . Іншими словами, якщо  — будь-яка група, що має підгрупи і , що задовольняють зазначені вище властивості, то ізоморфна прямому добутку і . У цій ситуації іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп і .

У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:

Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор , де  — будь-який елемент у , а  — будь-який елемент у .

Приклади внутрішнього прямого добутку Редагувати

  • Нехай — 4-группа Кляйна:
    V
    ∙ 1 a b c
    1 1 a b c
    a a 1 c b
    b b c 1 a
    c c b a 1
    Тоді  — внутрішній прямий добуток двоелементних підгруп і .
  • Нехай  — циклічна група порядку , де і  — взаємно прості числа. Тоді і  — циклічні підгрупи порядків і відповідно, і  — внутрішній прямий добуток цих підгруп.
  • Нехай  — група ненульових комплексних чисел із операцією множення. Тоді є внутрішнім прямим добутком колової групи , що складається з комплексних чисел із модулем , і групи додатних дійсних чисел із операцією множення.
  • Комплексна повна лінійна група  — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи та підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
  • Якщо  — непарне число, то дійсна повна лінійна  — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи і підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
  • Аналогічно, коли непарне, ортогональна група є внутрішнім прямим добутком спеціальної ортогональної групи і двоелементної підгрупи , де означає одиничну матрицю.
  • Група симетрії куба — внутрішній прямий добуток підгрупи обертань куба та двоелементної групи , де  — одиничний елемент, а  — точкове відбиття через центр куба. Аналогічний факт справедливий і для групи симетрії ікосаедра.
  • Нехай непарне, і нехай  — діедральна група порядку : Тоді є внутрішнім прямим добутком підгрупи (яка ізоморфна ) і двоелементної підгрупи .

Задання прямого добутку Редагувати

Алгебричну структуру можна використати для задання прямого добутку за допомогою задань і . Зокрема, припустимо, що

де і  — (неперетинні) породжувальні множини групи, а і  — множини співвідношень між породжувальними. Тоді

де  — множина співвідношень, які визначають, що кожен елемент у комутує з кожним елементом у .

Наприклад, якщо

то

Нормальна структура Редагувати

Як згадано вище, підгрупи і нормальні в . Зокрема, можна визначити функції і формулами

Тоді і є гомоморфізмами проєкції з ядрами і відповідно.

З цього виходить що  — розширення за допомогою (або навпаки). У випадку, коли  — скінченна група, композиційні фактори групи є точно об'єднанням композиційних факторів групи та композиційних факторів групи .

Інші властивості Редагувати

Універсальна властивість Редагувати

Прямий добуток можна схарактеризувати такою універсальною властивістю. Нехай і  — гомоморфізм проєкції. Тоді для будь-якої групи та будь-яких гомоморфізмів і існує єдиний гомоморфізм , що відповідає такій комутативній діаграмі:

Іншими словами, гомоморфізм задається формулою

Це окремий випадок універсальної властивості для добутків у теорії категорій.

Підгрупи Редагувати

Якщо  — підгрупа і  — підгрупа , то прямий добуток є підгрупою . Наприклад, ізоморфною копією в є добуток , де  — тривіальна підгрупа .

Якщо і нормальні, то  — нормальна підгрупа в . Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:

Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з є добутком підгрупи з та підгрупи з . Наприклад, якщо  — будь-яка нетривіальна група, то добуток має діагональну підгрупу[en]

яка не є прямим добутком двох підгруп .

Підгрупи прямих добутків описує лема Ґурса́[en].

Спряженість та централізатори Редагувати

Два елементи і спряжені в тоді й лише тоді, коли і спряжені в і одночасно і спряжені в . Звідси випливає, що кожен клас спряженості в є декартовим добутком класу спряженості в і класу спряженості в .

Аналогічно, якщо , то централізатор є добутком централізаторів і :

Також центр є добутком центрів і :

Нормалізатори поводяться складніше, оскільки всі підгрупи прямих добутків самі розкладаються на прямі добутки.

Автоморфізми та ендоморфізми Редагувати

Якщо  — автоморфізм , а  — автоморфізм , то добуток функцій , що визначається формулою

є автоморфізмом . З цього випливає, що містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку .

У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо  — будь-яка група, то існує автоморфізм групи , який міняє місцями два множники, тобто

Інший приклад: групою автоморфізмів групи є є група всіх матриць розміру зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним . Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як .

Загалом, кожен ендоморфізм можна записати у вигляді матриці розміру

де  — ендоморфізм ,  — ендоморфізм , а і  — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу , а кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу .

Коли і  — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: , якщо і не ізоморфні, та , якщо , де позначає сплетення[en]. Це частина теореми Крулля — Шмідта[en], в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.

Узагальнення Редагувати

Скінченні прямі добутки Редагувати

Можна знайти прямий добуток більш ніж двох груп одночасно. Для скінченної послідовності груп прямий добуток

визначають так:

  • Елементами є кортежі , де для будь-якого .
  • Операцію на визначають покомпонентно:

Він має багато властивостей, які має прямий добуток двох груп, і може бути алгебрично схарактеризованим в аналогічний спосіб.

Нескінченні прямі добутки Редагувати

Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.

У загальнішому сенсі, для індексованого сімейства груп прямий добуток визначають так:

  • Елементи це елементи нескінченного декартового добутку множин ; тобто, елементи нескінченного декартового добутку можна розуміти як функції з такою властивістю, що для будь-якого .
  • Добуток двох елементів визначають покомпонентно:

На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток не породжується елементами ізоморфних підгруп . Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.

Інші добутки Редагувати

Напівпрямі добутки Редагувати

Див. також: Напівпрямий добуток

Нагадаємо, що група з підгрупами і ізоморфна прямому добутку і , якщо вона задовольняє такі три умови:

  1. Перетин є тривіальною групою.
  2. Кожен елемент із можна однозначно подати як добуток елемента з та елемента з .
  3. І , і є нормальними в .

Напівпрямий добуток і отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп , має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар , але з трохи складнішим правилом множення.

Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу називають добутком Заппи — Сепа[en] груп і .

Вільні добутки Редагувати

Вільний добуток груп і , що зазвичай позначають як , схожий на прямий добуток, за винятком того, що підгрупи і групи не мусять комутувати. А саме, якщо

є заданнями і , то

На відміну від прямого добутку елементів вільного добутку не можна представити впорядкованими парами. До того ж вільний добуток будь-яких двох нетривіальних груп нескінченний. Дивно, але вільний добуток є кодобутком у категорії груп.

Підпрямі добутки Редагувати

Якщо і  — групи, то підпрямим добутком і є будь-яка підгрупа , яка відображається сюр'єктивно в і під впливом гомоморфізмів проєкції. Згідно з лемою Ґурса́[en], кожен підпрямий добуток розшарований.

Розшаровані добутки Редагувати

Нехай , і  — групи, і нехай і  — гомоморфізми. Розшарований добуток і над являє собою таку підгрупу :

Якщо і  — епіморфізми, то це підпрямий добуток.

Примітки Редагувати

  1. Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (вид. 7). Cengage Learning. с. 157. ISBN 9780547165097. 

Література Редагувати

  • Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 978-0-89871-510-1. 
  • Herstein, Israel Nathan (1996). Abstract algebra (вид. 3rd). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-374562-7. MR 1375019. .
  • Herstein, Israel Nathan (1975). Topics in algebra (вид. 2nd). Lexington, Mass.: Xerox College Publishing. MR 0356988. .
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
  • Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (вид. 3rd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3. .
  • Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94461-6. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pryamij dobutok grup operaciya yaka za grupami G displaystyle G i H displaystyle H buduye novu grupu yaku zazvichaj poznachayut yak G H displaystyle G times H Cya operaciya ye teoretiko grupovim analogom dekartovogo dobutku mnozhin ta odnim z osnovnih prikladiv ponyattya pryamogo dobutku U konteksti abelevih grup pryamij dobutok inodi nazivayut pryamoyu sumoyu ta poznachayut G H displaystyle G oplus H Pryami sumi vidigrayut vazhlivu rol u klasifikaciyi abelevih grup zgidno z teoremoyu pro strukturu skinchennoporodzhenih abelevih grup bud yaku skinchennoporodzhenu abelevu grupu mozhna rozklasti v pryamu sumu ciklichnih grup Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi 3 Elementarni vlastivosti 4 Algebrichna struktura 4 1 Prikladi vnutrishnogo pryamogo dobutku 4 2 Zadannya pryamogo dobutku 4 3 Normalna struktura 5 Inshi vlastivosti 5 1 Universalna vlastivist 5 2 Pidgrupi 5 3 Spryazhenist ta centralizatori 5 4 Avtomorfizmi ta endomorfizmi 6 Uzagalnennya 6 1 Skinchenni pryami dobutki 6 2 Neskinchenni pryami dobutki 6 3 Inshi dobutki 6 3 1 Napivpryami dobutki 6 3 2 Vilni dobutki 6 3 3 Pidpryami dobutki 6 3 4 Rozsharovani dobutki 7 Primitki 8 LiteraturaViznachennya RedaguvatiYaksho G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp grupi z operaciyami displaystyle nbsp i displaystyle triangle nbsp vidpovidno toj pryamij dobutok G H displaystyle G times H nbsp viznachayetsya tak Mnozhinoyu ye dekartivdobutok G H displaystyle G times H nbsp Jogo elementami ye uporyadkovani pari g h displaystyle g h nbsp de g G displaystyle g in G nbsp i h H displaystyle h in H nbsp Binarna operaciya displaystyle cdot nbsp na G H displaystyle G times H nbsp viznachayetsya pokomponentno g 1 h 1 g 2 h 2 g 1 g 2 h 1 h 2 displaystyle g 1 h 1 cdot g 2 h 2 g 1 g 2 h 1 triangle h 2 nbsp Otrimanij algebrichnij ob yekt zadovolnyaye aksiomam grupi Asociativnist binarnoyi operaciyi Binarna operaciya na G H displaystyle G times H nbsp asociativna sho pereviryayetsya pokomponentno Isnuvannya odinichnogo elementa Pryamij dobutok maye odinichnij element 1 G H 1 G 1 H displaystyle 1 G times H 1 G 1 H nbsp de 1 G displaystyle 1 G nbsp odinichnij element G displaystyle G nbsp i 1 H displaystyle 1 H nbsp odinichnij element H displaystyle H nbsp Isnuvannya obernenogo elementa Obernenij element do elementa g h displaystyle g h nbsp u G H displaystyle G times H nbsp ce para g 1 h 1 displaystyle g 1 h 1 nbsp de g 1 displaystyle g 1 nbsp ye obernenim do g displaystyle g nbsp v G displaystyle G nbsp a h 1 displaystyle h 1 nbsp obernenim do h displaystyle h nbsp v H displaystyle H nbsp Prikladi RedaguvatiNehaj R displaystyle mathbb R nbsp grupa dijsnih chisel iz operaciyeyu dodavannya Todi pryamij dobutok R R displaystyle mathbb R times mathbb R nbsp grupa vsih dvokomponentnih vektoriv x y displaystyle x y nbsp z operaciyeyu dodavannya vektoriv x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 nbsp Nehaj R displaystyle mathbb R nbsp grupa dodatnih dijsnih chisel iz operaciyeyu mnozhennya Todi pryamij dobutok R R displaystyle mathbb R times mathbb R nbsp grupa vsih vektoriv u pershij koordinatnij chverti z operaciyeyu pokomponentnogo mnozhennya x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 displaystyle x 1 y 1 times x 2 y 2 x 1 times x 2 y 1 times y 2 nbsp Nehaj G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp ciklichni grupi kozhna z yakih mistit dva elementi G displaystyle G nbsp 1 a1 1 aa a 1 H displaystyle H nbsp 1 b1 1 bb b 1 Todi pryamij dobutok G H displaystyle G times H nbsp izomorfnij 4 grupi Klyajna G H displaystyle G times H nbsp 1 1 a 1 1 b a b 1 1 1 1 a 1 1 b a b a 1 a 1 1 1 a b 1 b 1 b 1 b a b 1 1 a 1 a b a b 1 b a 1 1 1 Elementarni vlastivosti RedaguvatiPoryadok pryamogo dobutku G H displaystyle G times H nbsp skinchennih grup dorivnyuye dobutku poryadkiv cih grup G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp G H G H displaystyle G times H G H nbsp Ce viplivaye z formuli mnozhini dekartovogo dobutku mnozhin Poryadok kozhnogo elementa g h displaystyle g h nbsp ye najmenshim spilnim kratnim poryadkiv g displaystyle g nbsp i h displaystyle h nbsp 1 ord g h l c m ord g ord h displaystyle operatorname ord g h lcm operatorname ord g operatorname ord h nbsp Zokrema yaksho ord g displaystyle operatorname ord g nbsp i ord h displaystyle operatorname ord h nbsp vzayemno prosti to poryadok g h displaystyle g h nbsp dorivnyuye dobutku poryadkiv g displaystyle g nbsp i h displaystyle h nbsp Yak naslidok yaksho G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp ciklichni grupi poryadki yakih ye vzayemno prostimi chislami to pryamij dobutok G H displaystyle G times H nbsp takozh ye ciklichnoyu grupoyu A same yaksho m displaystyle m nbsp i n displaystyle n nbsp vzayemno prosti to Z m Z Z n Z Z m n Z displaystyle mathbb Z m mathbb Z times mathbb Z n mathbb Z cong mathbb Z mn mathbb Z nbsp Cej fakt ye variantom kitajskoyi teoremi pro ostachi Pryamij dobutok mozhna rozglyadati yak operaciyu na grupah Cya operaciya komutativna ta asociativna z tochnistyu do izomorfizmu G H H G displaystyle G times H cong H times G nbsp i G H K G H K displaystyle G times H times K cong G times H times K nbsp dlya lyubyh grupp G displaystyle G nbsp H displaystyle H nbsp i K displaystyle K nbsp Trivialna grupa ye yiyi odinichnim elementom iz tochnistyu do izomorfizmu tobto yaksho E displaystyle E nbsp trivialna grupa to G G E E G displaystyle G cong G times E cong E times G nbsp dlya bud yakoyi grupi G displaystyle G nbsp Algebrichna struktura RedaguvatiNehaj G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp grupi a P G H displaystyle P G times H nbsp Rozglyanemo nastupni dvi pidmnozhini P displaystyle P nbsp G g 1 g G displaystyle G prime g 1 g in G nbsp i H 1 h h H displaystyle H prime 1 h h in H nbsp Obidvi ci pidmnozhini ye pidgrupami P displaystyle P nbsp pri comu G displaystyle G prime nbsp kanonichno izomorfna G displaystyle G nbsp a H displaystyle H prime nbsp kanonichno izomorfna H displaystyle H nbsp Yaksho mi ototozhnimo yih iz G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp vidpovidno mi zmozhemo vvazhati sho pryamij dobutok P displaystyle P nbsp mistit pochatkovi grupi G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp yak pidgrupi Zaznacheni pidgrupi mayut taki tri vazhlivi vlastivosti Peretin G H displaystyle G cap H nbsp trivialnij Kozhen element iz P displaystyle P nbsp mozhna odnoznachno podati yak dobutok elementa z G displaystyle G nbsp ta elementa z H displaystyle H nbsp Kozhen element iz G displaystyle G nbsp komutuye z kozhnim elementom iz H displaystyle H nbsp Razom ci tri vlastivosti povnistyu viznachayut algebrichnu strukturu pryamogo dobutku P displaystyle P nbsp Inshimi slovami yaksho P displaystyle P nbsp bud yaka grupa sho maye pidgrupi G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp sho zadovolnyayut zaznacheni vishe vlastivosti to P displaystyle P nbsp izomorfna pryamomu dobutku G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp U cij situaciyi P displaystyle P nbsp inodi nazivayut vnutrishnim pryamim dobutkom yiyi pidgrup G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp U deyakih vipadkah tretya z navedenih vlastivostej zaminyuyetsya takoyu 3 G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp normalni v P displaystyle P nbsp Cya vlastivist ekvivalentna vlastivosti 3 oskilki elementi dvoh normalnih pidgrup iz trivialnim peretinom obov yazkovo komutuyut sho mozhna dovesti rozglyadayuchi komutator g h displaystyle g h nbsp de g displaystyle g nbsp bud yakij element u G displaystyle G nbsp a h displaystyle h nbsp bud yakij element u H displaystyle H nbsp Prikladi vnutrishnogo pryamogo dobutku Redaguvati Nehaj V displaystyle V nbsp 4 gruppa Klyajna V 1abc11abcaa1cbbbc1accba1 Todi V displaystyle V nbsp vnutrishnij pryamij dobutok dvoelementnih pidgrup 1 a displaystyle 1 a nbsp i 1 b displaystyle 1 b nbsp Nehaj a displaystyle langle a rangle nbsp ciklichna grupa poryadku m n displaystyle mn nbsp de m displaystyle m nbsp i n displaystyle n nbsp vzayemno prosti chisla Todi a n displaystyle langle a n rangle nbsp i a m displaystyle langle a m rangle nbsp ciklichni pidgrupi poryadkiv m displaystyle m nbsp i n displaystyle n nbsp vidpovidno i a displaystyle langle a rangle nbsp vnutrishnij pryamij dobutok cih pidgrup Nehaj C displaystyle mathbb C times nbsp grupa nenulovih kompleksnih chisel iz operaciyeyu mnozhennya Todi C displaystyle mathbb C times nbsp ye vnutrishnim pryamim dobutkom kolovoyi grupi T displaystyle mathbb T nbsp sho skladayetsya z kompleksnih chisel iz modulem 1 displaystyle 1 nbsp i grupi R displaystyle mathbb R nbsp dodatnih dijsnih chisel iz operaciyeyu mnozhennya Kompleksna povna linijna grupa G L n C displaystyle GL n mathbb C nbsp vnutrishnij pryamij dobutok specialnoyi linijnoyi grupi S L n C displaystyle SL n mathbb C nbsp ta pidgrupi sho skladayetsya zi vsih skalyarnih matric Yaksho n displaystyle n nbsp neparne chislo to dijsna povna linijna G L n R displaystyle GL n mathbb R nbsp vnutrishnij pryamij dobutok specialnoyi linijnoyi grupi S L n R displaystyle SL n mathbb R nbsp i pidgrupi sho skladayetsya zi vsih skalyarnih matric Analogichno koli n displaystyle n nbsp neparne ortogonalna grupa O n R displaystyle O n mathbb R nbsp ye vnutrishnim pryamim dobutkom specialnoyi ortogonalnoyi grupi S O n R displaystyle SO n mathbb R nbsp i dvoelementnoyi pidgrupi I I displaystyle I I nbsp de I displaystyle I nbsp oznachaye odinichnu matricyu Grupa simetriyi kuba vnutrishnij pryamij dobutok pidgrupi obertan kuba ta dvoelementnoyi grupi I I displaystyle I I nbsp de I displaystyle I nbsp odinichnij element a I displaystyle I nbsp tochkove vidbittya cherez centr kuba Analogichnij fakt spravedlivij i dlya grupi simetriyi ikosaedra Nehaj n displaystyle n nbsp neparne i nehaj D 4 n displaystyle D 4n nbsp diedralna grupa poryadku 4 n displaystyle 4n nbsp D 4 n r s r 2 n s 2 1 s r r 1 s displaystyle D 4n langle r s mid r 2n s 2 1 sr r 1 s rangle nbsp Todi D 4 n displaystyle D 4n nbsp ye vnutrishnim pryamim dobutkom pidgrupi r 2 s displaystyle langle r 2 s rangle nbsp yaka izomorfna D 2 n displaystyle D 2n nbsp i dvoelementnoyi pidgrupi 1 r n displaystyle 1 r n nbsp Zadannya pryamogo dobutku Redaguvati Algebrichnu strukturu G H displaystyle G times H nbsp mozhna vikoristati dlya zadannya pryamogo dobutku za dopomogoyu zadan G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp Zokrema pripustimo sho G S G R G displaystyle G langle S G mid R G rangle nbsp i H S H R H displaystyle H langle S H mid R H rangle nbsp de S G displaystyle S G nbsp i S H displaystyle S H nbsp neperetinni porodzhuvalni mnozhini grupi a R G displaystyle R G nbsp i R H displaystyle R H nbsp mnozhini spivvidnoshen mizh porodzhuvalnimi Todi G H S G S H R G R H R P displaystyle G times H langle S G cup S H mid R G cup R H cup R P rangle nbsp de R P displaystyle R P nbsp mnozhina spivvidnoshen yaki viznachayut sho kozhen element u S G displaystyle S G nbsp komutuye z kozhnim elementom u S H displaystyle S H nbsp Napriklad yaksho G a a 3 1 displaystyle G langle a mid a 3 1 rangle nbsp i H b b 5 1 displaystyle H langle b mid b 5 1 rangle nbsp to G H a b a 3 1 b 5 1 a b b a displaystyle G times H langle a b mid a 3 1 b 5 1 ab ba rangle nbsp Normalna struktura Redaguvati Yak zgadano vishe pidgrupi G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp normalni v G H displaystyle G times H nbsp Zokrema mozhna viznachiti funkciyi p G G H G displaystyle pi G G times H rightarrow G nbsp i p H G H H displaystyle pi H G times H rightarrow H nbsp formulami p G g h g displaystyle pi G g h g nbsp i p H g h h displaystyle pi H g h h nbsp Todi p G displaystyle pi G nbsp i p H displaystyle pi H nbsp ye gomomorfizmami proyekciyi z yadrami H displaystyle H nbsp i G displaystyle G nbsp vidpovidno Z cogo vihodit sho G H displaystyle G times H nbsp rozshirennya G displaystyle G nbsp za dopomogoyu H displaystyle H nbsp abo navpaki U vipadku koli G H displaystyle G times H nbsp skinchenna grupa kompozicijni faktori grupi G H displaystyle G times H nbsp ye tochno ob yednannyam kompozicijnih faktoriv grupi G displaystyle G nbsp ta kompozicijnih faktoriv grupi H displaystyle H nbsp Inshi vlastivosti RedaguvatiUniversalna vlastivist Redaguvati Pryamij dobutok G H displaystyle G times H nbsp mozhna sharakterizuvati takoyu universalnoyu vlastivistyu Nehaj p G G H G displaystyle pi G G times H rightarrow G nbsp i p H G H H displaystyle pi H G times H rightarrow H nbsp gomomorfizm proyekciyi Todi dlya bud yakoyi grupi P displaystyle P nbsp ta bud yakih gomomorfizmiv f G P G displaystyle f G P rightarrow G nbsp i f H P H displaystyle f H P rightarrow H nbsp isnuye yedinij gomomorfizm f P G H displaystyle f P rightarrow G times H nbsp sho vidpovidaye takij komutativnij diagrami nbsp Inshimi slovami gomomorfizm f displaystyle f nbsp zadayetsya formuloyu f p f G p f H p displaystyle f p f G p f H p nbsp Ce okremij vipadok universalnoyi vlastivosti dlya dobutkiv u teoriyi kategorij Pidgrupi Redaguvati Yaksho A displaystyle A nbsp pidgrupa G displaystyle G nbsp i B displaystyle B nbsp pidgrupa H displaystyle H nbsp to pryamij dobutok A B displaystyle A times B nbsp ye pidgrupoyu G H displaystyle G times H nbsp Napriklad izomorfnoyu kopiyeyu G displaystyle G nbsp v G H displaystyle G times H nbsp ye dobutok G 1 displaystyle G times 1 nbsp de 1 displaystyle 1 nbsp trivialna pidgrupa H displaystyle H nbsp Yaksho A displaystyle A nbsp i B displaystyle B nbsp normalni to A B displaystyle A times B nbsp normalna pidgrupa v G H displaystyle G times H nbsp Bilsh togo faktor grupa pryamih dobutkiv izomorfna pryamomu dobutku chastok G H A B G A H B displaystyle G times H A times B cong G A times H B nbsp Zvernit uvagu sho vzagali kazhuchi nepravda sho kozhna pidgrupa z G H displaystyle G times H nbsp ye dobutkom pidgrupi z G displaystyle G nbsp ta pidgrupi z H displaystyle H nbsp Napriklad yaksho G displaystyle G nbsp bud yaka netrivialna grupa to dobutok G G displaystyle G times G nbsp maye diagonalnu pidgrupu en g g g G displaystyle triangle g g g in G nbsp yaka ne ye pryamim dobutkom dvoh pidgrup G displaystyle G nbsp Pidgrupi pryamih dobutkiv opisuye lema Gursa en Spryazhenist ta centralizatori Redaguvati Dva elementi g 1 h 1 displaystyle g 1 h 1 nbsp i g 2 h 2 displaystyle g 2 h 2 nbsp spryazheni v G H displaystyle G times H nbsp todi j lishe todi koli g 1 displaystyle g 1 nbsp i g 2 displaystyle g 2 nbsp spryazheni v G displaystyle G nbsp i odnochasno h 1 displaystyle h 1 nbsp i h 2 displaystyle h 2 nbsp spryazheni v H displaystyle H nbsp Zvidsi viplivaye sho kozhen klas spryazhenosti v G H displaystyle G times H nbsp ye dekartovim dobutkom klasu spryazhenosti v G displaystyle G nbsp i klasu spryazhenosti v H displaystyle H nbsp Analogichno yaksho g h G H displaystyle g h in G times H nbsp to centralizator g h displaystyle g h nbsp ye dobutkom centralizatoriv g displaystyle g nbsp i h displaystyle h nbsp C G H g h C G g C H h displaystyle C G times H g h C G g times C H h nbsp Takozh centr G H displaystyle G times H nbsp ye dobutkom centriv G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp Z G H Z G Z H displaystyle Z G times H Z G times Z H nbsp Normalizatori povodyatsya skladnishe oskilki vsi pidgrupi pryamih dobutkiv sami rozkladayutsya na pryami dobutki Avtomorfizmi ta endomorfizmi Redaguvati Yaksho a displaystyle alpha nbsp avtomorfizm G displaystyle G nbsp a b displaystyle beta nbsp avtomorfizm H displaystyle H nbsp to dobutok funkcij a b G H G H displaystyle alpha times beta G times H rightarrow G times H nbsp sho viznachayetsya formuloyu a b g h a g b h displaystyle alpha times beta g h alpha g beta h nbsp ye avtomorfizmom G H displaystyle G times H nbsp Z cogo viplivaye sho Aut G H displaystyle operatorname Aut G times H nbsp mistit u sobi pidgrupu izomorfnu pryamomu dobutku Aut G Aut H displaystyle operatorname Aut G times operatorname Aut H nbsp U zagalnomu vipadku nepravda sho kozhen avtomorfizm G H displaystyle G times H nbsp maye vishezgadanij viglyad Napriklad yaksho G displaystyle G nbsp bud yaka grupa to isnuye avtomorfizm s displaystyle sigma nbsp grupi G G displaystyle G times G nbsp yakij minyaye miscyami dva mnozhniki tobto s g 1 g 2 g 2 g 1 displaystyle sigma g 1 g 2 g 2 g 1 nbsp Inshij priklad grupoyu avtomorfizmiv grupi Z Z displaystyle mathbb Z times mathbb Z nbsp ye G L 2 Z displaystyle GL 2 mathbb Z nbsp ye grupa vsih matric rozmiru 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp zi cilochiselnimi znachennyami ta viznachnikom rivnim 1 displaystyle pm 1 nbsp Cya grupa avtomorfizmiv neskinchenna ale lishe skinchenna kilkist avtomorfizmiv zadayutsya yak a b displaystyle alpha times beta nbsp Zagalom kozhen endomorfizm G H displaystyle G times H nbsp mozhna zapisati u viglyadi matrici rozmiru 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp a b g d displaystyle begin bmatrix alpha amp beta gamma amp delta end bmatrix nbsp de a displaystyle alpha nbsp endomorfizm G displaystyle G nbsp d displaystyle delta nbsp endomorfizm H displaystyle H nbsp a b H G displaystyle beta H rightarrow G nbsp i g G H displaystyle gamma G rightarrow H nbsp gomomorfizmi Cya matricya povinna mati vlastivist sho kozhen element obrazu a displaystyle alpha nbsp komutuye z kozhnim elementom obrazu b displaystyle beta nbsp a kozhen element obrazu g displaystyle gamma nbsp komutuye z kozhnim elementom obrazu d displaystyle delta nbsp Koli G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp nerozkladni grupi z trivialnimi centrami to grupa avtomorfizmiv pryamogo dobutku vidnosno prosta Aut G Aut H displaystyle operatorname Aut G times operatorname Aut H nbsp yaksho G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp ne izomorfni ta Aut G w r 2 displaystyle operatorname Aut G wr 2 nbsp yaksho G H displaystyle G cong H nbsp de w r displaystyle wr nbsp poznachaye spletennya en Ce chastina teoremi Krullya Shmidta en v zagalnomu vipadku vona spravedliva dlya skinchennih pryamih dobutkiv Uzagalnennya RedaguvatiSkinchenni pryami dobutki Redaguvati Mozhna znajti pryamij dobutok bilsh nizh dvoh grup odnochasno Dlya skinchennoyi poslidovnosti grup G 1 G n displaystyle G 1 G n nbsp pryamij dobutok i 1 n G i G 1 G 2 G n displaystyle prod i 1 n G i G 1 times G 2 times cdots times G n nbsp viznachayut tak Elementami G 1 G n displaystyle G 1 times cdots times G n nbsp ye kortezhi g 1 g n displaystyle g 1 g n nbsp de g i G i displaystyle g i in G i nbsp dlya bud yakogo i displaystyle i nbsp Operaciyu na G 1 G n displaystyle G 1 times cdots times G n nbsp viznachayut pokomponentno g 1 g n g 1 g n g 1 g 1 g n g n displaystyle g 1 g n g 1 g n g 1 g 1 g n g n nbsp Vin maye bagato vlastivostej yaki maye pryamij dobutok dvoh grup i mozhe buti algebrichno sharakterizovanim v analogichnij sposib Neskinchenni pryami dobutki Redaguvati Takozh mozhna otrimati pryamij dobutok neskinchennoyi kilkosti grup Dlya neskinchennoyi poslidovnosti grup G 1 G 2 displaystyle G 1 G 2 nbsp jogo mozhna viznachiti tak samo yak dlya skinchennogo pryamogo dobutku z elementami neskinchennogo pryamogo dobutku sho ye neskinchennimi kortezhami U zagalnishomu sensi dlya indeksovanogo simejstva grup G i i I displaystyle G i i in I nbsp pryamij dobutok P i I G i displaystyle Pi i in I G i nbsp viznachayut tak Elementi P i I G i displaystyle Pi i in I G i nbsp ce elementi neskinchennogo dekartovogo dobutku mnozhin G i displaystyle G i nbsp tobto elementi neskinchennogo dekartovogo dobutku mozhna rozumiti yak funkciyi f I i I G i displaystyle f I rightarrow bigcup i in I G i nbsp z takoyu vlastivistyu sho f i G i displaystyle f i in G i nbsp dlya bud yakogo i displaystyle i nbsp Dobutok dvoh elementiv f g displaystyle f g nbsp viznachayut pokomponentno f g i f i g i displaystyle f cdot g i f i cdot g i nbsp Na vidminu vid skinchennogo pryamogo dobutku neskinchennij pryamij dobutok P i I G i displaystyle Pi i in I G i nbsp ne porodzhuyetsya elementami izomorfnih pidgrup G i i I displaystyle G i i in I nbsp Natomist ci pidgrupi porodzhuyut pidgrupu pryamogo dobutku vidomu yak neskinchenna pryama suma yaka skladayetsya z usih elementiv sho mayut lishe skinchenne chislo neodinichnih komponentiv Inshi dobutki Redaguvati Napivpryami dobutki Redaguvati Div takozh Napivpryamij dobutok Nagadayemo sho grupa P displaystyle P nbsp z pidgrupami G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp izomorfna pryamomu dobutku G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp yaksho vona zadovolnyaye taki tri umovi Peretin G H displaystyle G cap H nbsp ye trivialnoyu grupoyu Kozhen element iz P displaystyle P nbsp mozhna odnoznachno podati yak dobutok elementa z G displaystyle G nbsp ta elementa z H displaystyle H nbsp I G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp ye normalnimi v P displaystyle P nbsp Napivpryamij dobutok G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp otrimuyut oslablennyam tretoyi umovi tak sho tilki odna z dvoh pidgrup G displaystyle G nbsp H displaystyle H nbsp maye buti normalnoyu Otrimanij dobutok yak i ranishe skladayetsya z uporyadkovanih par g h displaystyle g h nbsp ale z trohi skladnishim pravilom mnozhennya Takozh mozhna povnistyu poslabiti tretyu umovu ne vimagayuchi vid zhodnoyi z pidgrup normalnosti U comu vipadku grupu P displaystyle P nbsp nazivayut dobutkom Zappi Sepa en grup G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp Vilni dobutki Redaguvati Vilnij dobutok grup G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp sho zazvichaj poznachayut yak G H displaystyle G H nbsp shozhij na pryamij dobutok za vinyatkom togo sho pidgrupi G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp grupi G H displaystyle G H nbsp ne musyat komutuvati A same yaksho G S G R G displaystyle G langle S G R G rangle nbsp i H S H R H displaystyle H langle S H R H rangle nbsp ye zadannyami G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp to G H S G S H R G R H displaystyle G H langle S G cup S H R G cup R H rangle nbsp Na vidminu vid pryamogo dobutku elementiv vilnogo dobutku ne mozhna predstaviti vporyadkovanimi parami Do togo zh vilnij dobutok bud yakih dvoh netrivialnih grup neskinchennij Divno ale vilnij dobutok ye kodobutkom u kategoriyi grup Pidpryami dobutki Redaguvati Yaksho G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp grupi to pidpryamim dobutkom G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp ye bud yaka pidgrupa G H displaystyle G times H nbsp yaka vidobrazhayetsya syur yektivno v G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp pid vplivom gomomorfizmiv proyekciyi Zgidno z lemoyu Gursa en kozhen pidpryamij dobutok rozsharovanij Rozsharovani dobutki Redaguvati Nehaj G displaystyle G nbsp H displaystyle H nbsp i Q displaystyle Q nbsp grupi i nehaj f G Q displaystyle varphi G rightarrow Q nbsp i x H Q displaystyle chi H rightarrow Q nbsp gomomorfizmi Rozsharovanij dobutok G displaystyle G nbsp i H displaystyle H nbsp nad Q displaystyle Q nbsp yavlyaye soboyu taku pidgrupu G H displaystyle G times H nbsp G Q H g h G H f g x h displaystyle G times Q H g h in G times H varphi g chi h nbsp Yaksho f G Q displaystyle varphi G rightarrow Q nbsp i x H Q displaystyle chi H rightarrow Q nbsp epimorfizmi to ce pidpryamij dobutok Primitki Redaguvati Gallian Joseph A 2010 Contemporary Abstract Algebra vid 7 Cengage Learning s 157 ISBN 9780547165097 Literatura RedaguvatiArtin Michael 1991 Algebra Prentice Hall ISBN 978 0 89871 510 1 Herstein Israel Nathan 1996 Abstract algebra vid 3rd Upper Saddle River NJ Prentice Hall Inc ISBN 978 0 13 374562 7 MR 1375019 Herstein Israel Nathan 1975 Topics in algebra vid 2nd Lexington Mass Xerox College Publishing MR 0356988 Lang Serge 2002 Algebra Graduate Texts in Mathematics vol 211 Revised third ed New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 95385 4 MR 1878556 Lang Serge 2005 Undergraduate Algebra vid 3rd Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 22025 3 Robinson Derek John Scott 1996 A course in the theory of groups Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 94461 6 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pryamij dobutok grup amp oldid 40192699