www.wikidata.uk-ua.nina.az

Напівпрямий добуток конструкція в теорії груп що дозволяє будувати нову групу за двома групами H displaystyle H і N disp

Напівпрямий добуток

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами і , і дією групи в просторі групи , що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп і над звичайно позначається .

Конструкція Редагувати

Нехай задана дія групи на просторі групи із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм групи в групу автоморфізмів групи . Автоморфізм групи , що відповідає елементу із при гомоморфізмі позначимо . Як група  — напівпрямий добуток груп і над гомоморфізмом  — береться множина з бінарної операцією , яка діє за правилом:

Властивості Редагувати

  1. Групи і природно вкладені в , причому  — нормальна підгрупа в .
  2. Кожен елемент однозначно розкладемо у добуток , де і  — елементи груп і відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи як напівпрямого добутку груп і .)
  3. Задана дія груп на групі збігається з дією на спряженнями (в групі ).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Приклад Редагувати

Група діє на (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

Відповідно, на множині можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Napivpryamij dobutok konstrukciya v teoriyi grup sho dozvolyaye buduvati novu grupu za dvoma grupami H displaystyle H i N displaystyle N i diyeyu ϕ displaystyle phi grupi H displaystyle H v prostori grupi N displaystyle N sho zberigaye yiyi grupovu strukturu Napivpryamij dobutok grup N displaystyle N i H displaystyle H nad ϕ displaystyle phi zvichajno poznachayetsya N ϕ H displaystyle N rtimes phi H Zmist 1 Konstrukciya 2 Vlastivosti 3 Priklad 4 Div takozh 5 DzherelaKonstrukciya RedaguvatiNehaj zadana diya grupi H displaystyle H nbsp na prostori grupi N displaystyle N nbsp iz zberezhennyam yiyi grupovoyi strukturi Ce oznachaye sho zadano gomomorfizm ϕ H Aut N displaystyle phi H rightarrow mbox Aut N nbsp grupi H displaystyle H nbsp v grupu avtomorfizmiv grupi N displaystyle N nbsp Avtomorfizm grupi N displaystyle N nbsp sho vidpovidaye elementu h displaystyle h nbsp iz H displaystyle H nbsp pri gomomorfizmi ϕ displaystyle phi nbsp poznachimo ϕ h displaystyle phi h nbsp Yak grupa G displaystyle G nbsp napivpryamij dobutok grup H displaystyle H nbsp i N displaystyle N nbsp nad gomomorfizmom ϕ displaystyle phi nbsp beretsya mnozhina N H displaystyle N times H nbsp z binarnoyi operaciyeyu displaystyle nbsp yaka diye za pravilom n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 ϕ h 1 n 2 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 phi h 1 n 2 h 1 h 2 nbsp dlya dovilnih n 1 n 2 N displaystyle n 1 n 2 in N nbsp h 1 h 2 H displaystyle h 1 h 2 in H nbsp Vlastivosti RedaguvatiGrupi H displaystyle H nbsp i N displaystyle N nbsp prirodno vkladeni v G displaystyle G nbsp prichomu N displaystyle N nbsp normalna pidgrupa v G displaystyle G nbsp Kozhen element g G displaystyle g in G nbsp odnoznachno rozklademo u dobutok g n h displaystyle g nh nbsp de h displaystyle h nbsp i n displaystyle n nbsp elementi grup H displaystyle H nbsp i N displaystyle N nbsp vidpovidno Cya vlastivist vipravdovuye nazvu grupi G displaystyle G nbsp yak napivpryamogo dobutku grup H displaystyle H nbsp i N displaystyle N nbsp Zadana diya ϕ displaystyle phi nbsp grup H displaystyle H nbsp na grupi N displaystyle N nbsp zbigayetsya z diyeyu H displaystyle H nbsp na N displaystyle N nbsp spryazhennyami v grupi G displaystyle G nbsp Bud yaka grupa z vlastivostyami 1 3 izomorfna grupi G displaystyle G nbsp vlastivist universalnosti napivpryamogu dobutku grup Obgruntuvannya Asociativnist operaciyi pereviryayetsya bezposeredno Vikoristovuyutsya spivvidnoshennyaϕ h 1 ϕ h 2 n ϕ h 1 h 2 n displaystyle phi h 1 circ phi h 2 n phi h 1 h 2 n nbsp i ϕ h n 1 ϕ h n 2 ϕ h n 1 n 2 displaystyle phi h n 1 phi h n 2 phi h n 1 n 2 nbsp dd Odiniceyu grupi G sluzhit element 1 N 1 H displaystyle 1 N 1 H nbsp de 1 N displaystyle 1 N nbsp i 1 H displaystyle 1 H nbsp odinici v grupah N i H vidpovidno Vikoristovuyetsya rivnist ϕ 1 H n n displaystyle phi 1 H n n nbsp Element obernenij do n h displaystyle n h nbsp rivnij ϕ h 1 n 1 h 1 displaystyle phi h 1 n 1 h 1 nbsp Dlya dovedennya togo sho cej element ye obernenim zliva vikoristovuyetsya rivnist ϕ h 1 n 1 ϕ h 1 n 1 displaystyle phi h 1 n 1 phi h 1 n 1 nbsp Vidobrazhennya n n 1 H displaystyle n to n 1 H nbsp i h 1 N h displaystyle h to 1 N h nbsp ye gomomorfnimi vkladennyami grup N i H v grupu G Yih obrazi mayut yedinij spilnij element odinicyu grupi G Vidobrazhennya n h h displaystyle n h to h nbsp ye epimorfizmom grupi G na grupu H z yadrom N Zvidsi sliduye sho grupa N ye normalnoyu v G Rivnist n h n 1 1 h displaystyle n h n 1 1 h nbsp daye rozklad dovilnogo elementa grupi G u dobutok elementiv n i h z grup N i H vidpovidno Z ciyeyi zh rivnosti viplivaye i yedinist rozpadu Rivnist ϕ h n 1 1 h n 1 1 h 1 displaystyle phi h n 1 1 h n 1 1 h 1 nbsp pokazuye sho diya grupi H na N kotra zadayetsya gomomorfizmom ϕ displaystyle phi nbsp spivpadaye z diyeyu H na N spryazhennyam Shob dovesti universalnu vlastivist napivpryamogo dobutku treba skoristatisya formuloyu n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 h 1 n 2 h 1 1 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 cdot n 2 h 2 n 1 h 1 n 2 h 1 1 cdot h 1 h 2 nbsp Z neyi viplivaye sho dobutok u grupi G s odnoznachnim NH rozkladom pri umovi normalnosti grupi N povnistyu viznachayetsya pravilami mnozhennya vseredini pidgrup N i H i pravilami spryazhennya elementiv iz N elementami iz H Priklad RedaguvatiGrupa Z 4 displaystyle mathbb Z 4 nbsp diye na Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp rozglyadayetsya yak aditivna grupa vidpovidnogo kilcya chotirma riznimi sposobami ϕ h n a h n displaystyle phi h n a h n nbsp de a displaystyle a nbsp fiksovanij nenulovij element Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp h Z 4 displaystyle h in mathbb Z 4 nbsp n Z 5 displaystyle n in mathbb Z 5 nbsp Vidpovidno na mnozhini Z 5 Z 4 displaystyle mathbb Z 5 times mathbb Z 4 nbsp mozhna vvesti 4 strukturi grupi napivpryamogo dobutku n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 n 2 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 n 2 h 1 h 2 nbsp n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 1 h 1 n 2 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 1 h 1 n 2 h 1 h 2 nbsp n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 2 h 1 n 2 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 2 h 1 n 2 h 1 h 2 nbsp n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 3 h 1 n 2 h 1 h 2 displaystyle n 1 h 1 n 2 h 2 n 1 3 h 1 n 2 h 1 h 2 nbsp Mozhna pokazati sho ostanni dvi grupi izomorfni a reshta ni a takozh sho ci prikladi pererahovuyut vsi grupi poryadku 20 sho mistyat element poryadku 4 pri comu vikoristovuyutsya teoremi Silova Podibnim chinom napivpryami dobutki grup vikoristovuyutsya dlya klasifikaciyi skinchennih grup Div takozh RedaguvatiPryamij dobutok grupDzherela RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Napivpryamij dobutok amp oldid 40083194