www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теореми Силова В теорії груп теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку визначають їх властивості

Теореми Силова

В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Визначення Редагувати

Нехай  — скінченна група, а  — просте число, що ділить порядок . Підгрупи порядку називаються -підгрупами. Нехай маємо , де не ділиться на . Тоді -підгрупою Силова називається підгрупа , що має порядок .

Твердження теорем Редагувати

Нехай  — скінченна група. Тоді:

  • -підгрупа Силова існує.
  • Будь-яка -підгрупа міститься в деякій -підгрупі Силова. Всі -підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді , де  — елемент групи, а  — підгрупа Силова із теореми 1).
  • Кількість -підгруп Силова рівне одиниці за модулем і ділить порядок .

Доведення Редагувати

1. Спершу доведемо, що

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

В лівій частині коефіцієнт біля рівний а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = pkm, і Ω позначає множину підмножин G потужності pk. Тоді маємо:

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно і як наслідок pr ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤pr і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= pr '


2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому , а значить, , тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: NG(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в NG(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо .

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
  • А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V teoriyi grup teoremi Silova stverdzhuyut pro isnuvannya pidgrup pevnogo poryadku viznachayut yih vlastivosti Teoremi dovedeni norvezkim matematikom Silovom v 1872 r Zmist 1 Viznachennya 2 Tverdzhennya teorem 3 Dovedennya 4 Div takozh 5 DzherelaViznachennya RedaguvatiNehaj G displaystyle G nbsp skinchenna grupa a p displaystyle p nbsp proste chislo sho dilit poryadok G displaystyle G nbsp Pidgrupi poryadku p t displaystyle p t nbsp nazivayutsya p displaystyle p nbsp pidgrupami Nehaj mayemo G p n s displaystyle G p n s nbsp de s displaystyle s nbsp ne dilitsya na p displaystyle p nbsp Todi p displaystyle p nbsp pidgrupoyu Silova nazivayetsya pidgrupa G displaystyle G nbsp sho maye poryadok p n displaystyle p n nbsp Tverdzhennya teorem RedaguvatiNehaj G displaystyle G nbsp skinchenna grupa Todi p displaystyle p nbsp pidgrupa Silova isnuye Bud yaka p displaystyle p nbsp pidgrupa mistitsya v deyakij p displaystyle p nbsp pidgrupi Silova Vsi p displaystyle p nbsp pidgrupi Silova spryazheni tobto kozhnu mozhna predstaviti v vidi g P g 1 displaystyle gPg 1 nbsp de g displaystyle g nbsp element grupi a P displaystyle P nbsp pidgrupa Silova iz teoremi 1 Kilkist p displaystyle p nbsp pidgrup Silova rivne odinici za modulem p displaystyle p nbsp N p 1 mod p displaystyle N p equiv 1 pmod p nbsp i dilit poryadok G displaystyle G nbsp Dovedennya Redaguvati1 Spershu dovedemo sho p k m p k m mod p displaystyle p k m choose p k equiv m pmod p nbsp Spravdi zdijsnyuyuchi obchislennya za modulem p otrimuyemo X 1 p r X p r 1 p r X p r 1 mod p displaystyle X 1 p r equiv X p r 1 p r X p r 1 pmod p nbsp Pidnisshi obi chastini do stepenya m mayemo X 1 p r m X p r 1 m mod p displaystyle X 1 p r m equiv X p r 1 m pmod p nbsp V livij chastini koeficiyent bilya X p r displaystyle X p r nbsp rivnij p k m p k displaystyle p k m choose p k nbsp a v pravij m sho j dovodit tverdzhennya Yak naslidok mayemo sho p k m p k displaystyle p k m choose p k nbsp ne dilitsya na p yaksho na p ne dilitsya chislo m Nehaj G pkm i W poznachaye mnozhinu pidmnozhin G potuzhnosti pk Todi mayemo W p k m p k displaystyle Omega p k m choose p k mathrm nbsp Rozglyanemo diyu G na mnozhini W sho polyagaye u livomu mnozhenni Todi W o o W G o displaystyle Omega sum o o in Omega Go mathrm nbsp de suma beretsya po vsih orbitah mnozhini W Zrozumilo sho kilkist elementiv prinajmni odniyeyi z cih orbit ne dilitsya na p oskilki na p ne dilitsya kilkist elementiv mnozhini W sho viplivaye z dovedenogo vishe Nehaj S odin z elementiv ciyeyi orbiti i P jogo stabilizator Todi dlya velichini orbiti mayemo G P G P p r m P displaystyle G P frac G P frac p r m P nbsp Dlya togo shob ce chislo ne dililosya na p neobhidno p r P displaystyle p r P nbsp i yak naslidok pr P Z inshoyi storoni dlya bud yakogo x S displaystyle x in S nbsp mayemo vidobrazhennya g gx in yektivnim vidobrazhennyam P v S dane vidobrazhennya ye vidobrazhennyam v S oskilki P ye stabilizatorom S Vidpovidno P pr i poyednuyuchi dvi nerivnosti oderzhimo P pr 2 Nehaj H dovilna p pidgrupa G Rozglyanem yiyi diyu na mnozhini pravih klasiv sumizhnosti G P livimi zsuvami de P p pidgrupa Silova Kilkist elementiv dovilnoyi netrivialnoyi orbiti povinno dilitisya na p Ale G P ne dilitsya na p vidpovidno u diyi ye neruhoma tochka gP Tomu h H h g a g a a a P displaystyle forall h in H quad hga ga quad a a in P nbsp a znachit h g a a 1 g 1 g P g 1 displaystyle h ga a 1 g 1 in gPg 1 nbsp tobto H ye pidgrupoyu deyakoyi p pidgrupi Silova Yaksho zh H sama ye p pidgrupoyu Silova to vona spryazhena z P 3 Kilkist p pidgrup Silova rivna G NG P i vidpovidno dilit G Z poperednogo mayemo sho mnozhina p pidgrup Silova rivna X gPg 1 Rozglyanemo diyu P na X spryazhennyami Nehaj H iz X deyaka neruhoma tochka Todi P i H nalezhat normalizatoru pidgrupi H i pri comu spryazheni v NG H yak p pidgrupi Silova Ale H normalna v svoyemu normalizatori tomu H P i yedinoyu neruhomoyu tochkoyu diyi ye P Oskilki poryadki vsih netrivialnih orbit kratni p oderzhuyemo N p 1 mod p displaystyle N p equiv 1 pmod p nbsp Div takozh RedaguvatiP grupaDzherela RedaguvatiVinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros A I Kostrikin Vvedenie v algebru III chast M Fizmatlit 2001 Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoremi Silova amp oldid 36918178