www.wikidata.uk-ua.nina.az

Порядок елемента в теорії груп найменше додатне ціле m displaystyle m таке що m displaystyle m разове групове множення д

Порядок елемента

Порядок елемента в теорії груп — найменше додатне ціле , таке що -разове групове множення даного елемента на себе дає нейтральний елемент:

Іншими словами,  — кількість різних елементів циклічної підгрупи, породженої даним елементом. Якщо такого не існує (або, еквівалентно, число елементів циклічної підгрупи нескінченне), то кажуть, що має нескінечний порядок. Позначається як або .

Вивчення порядків елементів групи може дати інформацію про її структуру. Декілька глибоких питань щодо зв'язку порядку елементів і порядку групи містяться в різних задачах Бернсайда, деякі з них залишаються відкритими.

Основні властивості Редагувати

Порядок елемента дорівнює одиниці тоді й лише тоді, коли елемент є нейтральним.

Якщо будь-який не нейтральний елемент у збігається зі своїм оберненим (тобто ), то і є абелевою групою, оскільки . Обернене твердження в загальному випадку хибне: наприклад, (адитивна) циклічна група цілих чисел за модулем 6 — абелева, але число 2 має порядок 3:

Для будь-якого цілого тотожність виконана тоді й лише тоді, коли ділить .

Усі степені елемента нескінченного порядку мають нескінченний порядок. Якщо має скінченний порядок, то порядок дорівнює порядку , поділеному на найбільший спільний дільник чисел і . Порядок оберненого елемента збігається з порядком елемента ().

Зв'язок із порядком групи Редагувати

Порядок будь-якого елемента групи ділить порядок групи. Наприклад, у симетричній групі , що складається з шести елементів, нейтральний елемент має (за визначенням) порядок 1, три елементи, що є коренями з  — порядок 2, а порядок 3 мають два елементи, що залишилися, які є коренями елементів порядку 2: тобто, всі порядки елементів є дільниками порядку групи.

Частково обернене твердження правильне для скінченних груп (теоретико-групова теорема Коші): якщо просте число ділить порядок групи , то існує елемент , для якого . Твердження не виконується для складених порядків, так що 4-група Кляйна не містить елемента порядку чотири.

Порядок добутку Редагувати

У будь-якій групі .

Немає загальної формули, що пов'язує порядок добутку з порядками співмножників і . Можливий випадок, коли і , і мають скінченні порядки, а порядок добутку нескінченний, також можливо, що і , і мають нескінченний порядок, тоді як  — скінченний. Приклад першого випадку: в симетричній групі над цілими числами перестановки, що задаються формулами тоді . Приклад другого випадку: перестановки в тій самій групі , добуток яких є нейтральним елементом (перестановка , що залишає елементи на своїх місцях). Якщо то можна стверджувати, що ділить найменше спільне кратне чисел і . Як наслідок, у скінченій абелевій групі порядок будь-якого елемента ділить максимальний порядок елементів групи.

Підрахунок за порядком елементів Редагувати

Для даної скінченної групи порядку , кількість елементів із порядком ( — дільник ) кратна , де  — функція Ейлера, що дає число додатних чисел, які не перевищують та взаємно прості з ним. Наприклад, у випадку , і є рівно два елементи порядку 3; при цьому дане твердження не дає жодної корисної інформації щодо елементів порядку 2, оскільки , і дуже обмежену інформацію про складені числа, такі як , оскільки , і в групі є нуль елементів порядку 6.

Зв'язок із гомоморфізмами Редагувати

Гомоморфізми груп мають властивість знижувати порядок елементів. Якщо є гомоморфізмом, та  — елемент скінченного порядку, то ділить . Якщо ін'єктивне, то . Цей факт можна використати для доведення відсутності (ін'єктивного) гомоморфізму між двома заданими групами. (Наприклад, немає нетривіального гомоморфізму , оскільки будь-яке число, за винятком нуля, в має порядок 5, а 5 не ділить жодного з порядків 1, 2 та 3 елементів .) Іншим наслідком є твердження, що спряжені елементи мають однаковий порядок.

Література Редагувати

  • Курош А.Г. Теория групп. — Москва : Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN ISBN 5-02-014426-6.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Poryadok elementa v teoriyi grup najmenshe dodatne cile m displaystyle m take sho m displaystyle m razove grupove mnozhennya danogo elementa g G displaystyle g in G na sebe daye nejtralnij element g g g m g m e displaystyle underbrace gg dots g m g m e Inshimi slovami m displaystyle m kilkist riznih elementiv ciklichnoyi pidgrupi porodzhenoyi danim elementom Yaksho takogo m displaystyle m ne isnuye abo ekvivalentno chislo elementiv ciklichnoyi pidgrupi neskinchenne to kazhut sho g displaystyle g maye neskinechnij poryadok Poznachayetsya yak o r d g displaystyle mathrm ord g abo g displaystyle g Vivchennya poryadkiv elementiv grupi mozhe dati informaciyu pro yiyi strukturu Dekilka glibokih pitan shodo zv yazku poryadku elementiv i poryadku grupi mistyatsya v riznih zadachah Bernsajda deyaki z nih zalishayutsya vidkritimi Zmist 1 Osnovni vlastivosti 2 Zv yazok iz poryadkom grupi 3 Poryadok dobutku 4 Pidrahunok za poryadkom elementiv 5 Zv yazok iz gomomorfizmami 6 LiteraturaOsnovni vlastivosti RedaguvatiPoryadok elementa dorivnyuye odinici todi j lishe todi koli element ye nejtralnim Yaksho bud yakij ne nejtralnij element u G displaystyle G nbsp zbigayetsya zi svoyim obernenim tobto g 2 e displaystyle g 2 e nbsp to o r d a 2 displaystyle mathrm ord a 2 nbsp i G displaystyle G nbsp ye abelevoyu grupoyu oskilki a b a b 1 b 1 a 1 b a displaystyle ab ab 1 b 1 a 1 ba nbsp Obernene tverdzhennya v zagalnomu vipadku hibne napriklad aditivna ciklichna grupa Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp cilih chisel za modulem 6 abeleva ale chislo 2 maye poryadok 3 2 2 2 6 0 mod 6 displaystyle 2 2 2 6 equiv 0 pmod 6 nbsp Dlya bud yakogo cilogo k displaystyle k nbsp totozhnist g k e displaystyle g k e nbsp vikonana todi j lishe todi koli o r d g displaystyle mathrm ord g nbsp dilit k displaystyle k nbsp Usi stepeni elementa neskinchennogo poryadku mayut neskinchennij poryadok Yaksho g displaystyle g nbsp maye skinchennij poryadok to poryadok g k displaystyle g k nbsp dorivnyuye poryadku g displaystyle g nbsp podilenomu na najbilshij spilnij dilnik chisel o r d g displaystyle mathrm ord g nbsp i k displaystyle k nbsp Poryadok obernenogo elementa zbigayetsya z poryadkom elementa o r d g o r d g 1 displaystyle mathrm ord g mathrm ord g 1 nbsp Zv yazok iz poryadkom grupi RedaguvatiPoryadok bud yakogo elementa grupi dilit poryadok grupi Napriklad u simetrichnij grupi S 3 displaystyle S 3 nbsp sho skladayetsya z shesti elementiv nejtralnij element e displaystyle e nbsp maye za viznachennyam poryadok 1 tri elementi sho ye korenyami z e displaystyle e nbsp poryadok 2 a poryadok 3 mayut dva elementi sho zalishilisya yaki ye korenyami elementiv poryadku 2 tobto vsi poryadki elementiv ye dilnikami poryadku grupi Chastkovo obernene tverdzhennya pravilne dlya skinchennih grup teoretiko grupova teorema Koshi yaksho proste chislo p displaystyle p nbsp dilit poryadok grupi G displaystyle G nbsp to isnuye element g G displaystyle g in G nbsp dlya yakogo o r d g p displaystyle mathrm ord g p nbsp Tverdzhennya ne vikonuyetsya dlya skladenih poryadkiv tak sho 4 grupa Klyajna ne mistit elementa poryadku chotiri Poryadok dobutku RedaguvatiU bud yakij grupi o r d a b o r d b a displaystyle mathrm ord ab mathrm ord ba nbsp Nemaye zagalnoyi formuli sho pov yazuye poryadok dobutku a b displaystyle ab nbsp z poryadkami spivmnozhnikiv a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp Mozhlivij vipadok koli i a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp mayut skinchenni poryadki a poryadok dobutku a b displaystyle ab nbsp neskinchennij takozh mozhlivo sho i a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp mayut neskinchennij poryadok todi yak o r d a b displaystyle mathrm ord ab nbsp skinchennij Priklad pershogo vipadku v simetrichnij grupi nad cilimi chislami perestanovki sho zadayutsya formulami a x 2 x b x 1 x displaystyle a x 2 x b x 1 x nbsp todi a b x x 1 displaystyle ab x x 1 nbsp Priklad drugogo vipadku perestanovki v tij samij grupi a x x 1 b x x 1 displaystyle a x x 1 b x x 1 nbsp dobutok yakih ye nejtralnim elementom perestanovka a b x i d displaystyle ab x mathrm id nbsp sho zalishaye elementi na svoyih miscyah Yaksho a b b a displaystyle ab ba nbsp to mozhna stverdzhuvati sho o r d a b displaystyle mathrm ord ab nbsp dilit najmenshe spilne kratne chisel o r d a displaystyle mathrm ord a nbsp i o r d b displaystyle mathrm ord b nbsp Yak naslidok u skinchenij abelevij grupi poryadok bud yakogo elementa dilit maksimalnij poryadok elementiv grupi Pidrahunok za poryadkom elementiv RedaguvatiDlya danoyi skinchennoyi grupi G displaystyle G nbsp poryadku n displaystyle n nbsp kilkist elementiv iz poryadkom d displaystyle d nbsp d displaystyle d nbsp dilnik n displaystyle n nbsp kratna f d displaystyle varphi d nbsp de f displaystyle varphi nbsp funkciya Ejlera sho daye chislo dodatnih chisel yaki ne perevishuyut d displaystyle d nbsp ta vzayemno prosti z nim Napriklad u vipadku S 3 displaystyle S 3 nbsp f 3 2 displaystyle varphi 3 2 nbsp i ye rivno dva elementi poryadku 3 pri comu dane tverdzhennya ne daye zhodnoyi korisnoyi informaciyi shodo elementiv poryadku 2 oskilki f 2 1 displaystyle varphi 2 1 nbsp i duzhe obmezhenu informaciyu pro skladeni chisla taki yak d 6 displaystyle d 6 nbsp oskilki f 6 2 displaystyle varphi 6 2 nbsp i v grupi S 3 displaystyle S 3 nbsp ye nul elementiv poryadku 6 Zv yazok iz gomomorfizmami RedaguvatiGomomorfizmi grup mayut vlastivist znizhuvati poryadok elementiv Yaksho f G H displaystyle f G to H nbsp ye gomomorfizmom ta g G displaystyle g in G nbsp element skinchennogo poryadku to o r d f g displaystyle mathrm ord f g nbsp dilit o r d g displaystyle mathrm ord g nbsp Yaksho f displaystyle f nbsp in yektivne to o r d f g o r d g displaystyle mathrm ord f g mathrm ord g nbsp Cej fakt mozhna vikoristati dlya dovedennya vidsutnosti in yektivnogo gomomorfizmu mizh dvoma zadanimi grupami Napriklad nemaye netrivialnogo gomomorfizmu h S 3 Z 5 displaystyle h S 3 to mathbb Z 5 nbsp oskilki bud yake chislo za vinyatkom nulya v Z 5 displaystyle mathbb Z 5 nbsp maye poryadok 5 a 5 ne dilit zhodnogo z poryadkiv 1 2 ta 3 elementiv S 3 displaystyle S 3 nbsp Inshim naslidkom ye tverdzhennya sho spryazheni elementi mayut odnakovij poryadok Literatura RedaguvatiKurosh A G Teoriya grupp Moskva Nauka 1967 ISBN 5 8114 0616 9 Melnikov O V Remeslennikov V N Romankov V A Glava II Gruppy Obshaya algebra Pod obsh red L A Skornyakova M Nauka 1990 T 1 S 66 290 Spravochnaya matematicheskaya biblioteka 30000 prim ISBN ISBN 5 02 014426 6 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Poryadok elementa amp oldid 36957802