www.wikidata.uk-ua.nina.az

Об єднання множин Теоретико множинні операції A displaystyle overline A доповненняA B displaystyle A cup B об єднання A

Об'єднання множин


У математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.

Базові визначення

Об'єднання множин A та B

Якщо A та B — множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.

Об'єднання множин A та B позначається як «A∪B».

Формально:

Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.

Алгебраїчні властивості

Бінарна операція об'єднання є :

  • асоціативною, тобто A∪(B∪C) = (A∪B)∪C   (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: A∪B∪C);
  • комутативною, тобто A∪B = B∪A   (отже, порядок запису множин в виразі не має значення).

Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.

Об'єднання довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо M — множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:

Позначення об'єднання довільної кількості множин такі:

Остання нотація може бути узагальнена до

що відповідає операції об'єднання колекції множин {Ai : i в I}. Тут I — множина, а Ai — множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:

Також можна записати «A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···».

Дистрибутивність об'єднання і перетину

Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто

Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:

Див. також

Джерела


Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoretiko mnozhinni operaciyi A displaystyle overline A dopovnennyaA B displaystyle A cup B ob yednannya A B displaystyle A cap B peretinA B displaystyle A setminus B riznicyaA B displaystyle A triangle B simetrichna riznicya A B displaystyle A times B dekartiv dobutok U matematici zokrema v teoriyi mnozhin ob yednannya mnozhin ye mnozhinoyu yaka vklyuchaye v sebe vsi elementi ob yednuvanih mnozhin i nichogo bilshe Zmist 1 Bazovi viznachennya 2 Algebrayichni vlastivosti 3 Ob yednannya dovilnoyi kilkosti mnozhin 4 Distributivnist ob yednannya i peretinu 5 Div takozh 6 DzherelaBazovi viznachennya Redaguvati Ob yednannya mnozhin A ta BYaksho A ta B mnozhini to ob yednannyam A ta B ye mnozhina yaka vklyuchaye vsi elementi A i vsi elementi B i bilsh nichogo Ob yednannya mnozhin A ta B poznachayetsya yak A B Formalno x ye elementom A B todi j tilki todi koli x ye elementom A abo x ye elementom B Napriklad ob yednannyam mnozhin 1 2 3 ta 2 3 4 bude 1 2 3 4 Algebrayichni vlastivosti RedaguvatiBinarna operaciya ob yednannya ye asociativnoyu tobto A B C A B C otzhe koli v virazi ye tilki operaciya ob yednannya duzhki mozhna ne pisati A B C komutativnoyu tobto A B B A otzhe poryadok zapisu mnozhin v virazi ne maye znachennya Porozhnya mnozhina ye nejtralnim elementom dlya operaciyi ob yednannya v algebri mnozhin Tobto O A A dlya bud yakoyi mnozhini A idempodentnoyu tobto A A A Ob yednannya dovilnoyi kilkosti mnozhin RedaguvatiV zagalnomu vipadku yaksho M mnozhina elementami yakoyi ye takozh mnozhini to x ye elementom M todi j tilki todi yaksho isnuye takij element A z M sho x ye elementom A V simvolichnij formi x M A M x A displaystyle x in bigcup mathbf M iff exists A in mathbf M x in A Poznachennya ob yednannya dovilnoyi kilkosti mnozhin taki M displaystyle bigcup mathbf M abo A M A displaystyle bigcup A in mathbf M A Ostannya notaciya mozhe buti uzagalnena do i I A i displaystyle bigcup i in I A i sho vidpovidaye operaciyi ob yednannya kolekciyi mnozhin Ai i v I Tut I mnozhina a Ai mnozhina dlya kozhnogo i v I V comu vipadku I ye mnozhinoyu indeksiv naturalnih chisel i notaciya ye analogichnoyu uzagalnenij operaciyi sumuvannya i 1 A i displaystyle bigcup i 1 infty A i Takozh mozhna zapisati A1 A2 A3 Distributivnist ob yednannya i peretinu RedaguvatiPeretin mnozhin ye distributivnim vidnosno ob yednannya tobto i I A B i A i I B i displaystyle bigcup i in I A cap B i A cap bigcup i in I B i Mozhna ob yednati take neskinchenne ob yednannya z neskinchennim peretinom otrimavshi spivvidnoshennya i I j J A i j j J i I A i j displaystyle bigcup i in I bigcap j in J A i j subseteq bigcap j in J bigcup i in I A i j Div takozh RedaguvatiDiz yunkciyaDzherela RedaguvatiKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ob 27yednannya mnozhin amp oldid 37662913