Теорема про уніформізацію — узагальнення теореми Рімана про відображення на двовимірні ріманові многовиди. Можна сказати, що теорема дає найкращу метрику в даному конформному класі.
Формулювання ред.
Будь-яка однозв'язна ріманова поверхня конформно еквівалентна сфері Рімана , комплексній площині або відкритому одиничному диску .
Наслідки ред.
- Будь-яка ріманова метрика на зв'язному двовимірному многовиді конформно еквівалентна повній метриці зі сталою кривиною.
- Якщо многовид замкнутий, то знак кривини можна знайти за його ейлеровою характеристикою:
- якщо ейлерова характеристика додатна, то многовид конформно еквівалентний сфері або проєктивній площині з канонічною метрикою;
- якщо ейлерова характеристика дорівнює нулю, то многовид конформно еквівалентний плоскому тору або плоскій пляшці Кляйна. При цьому тор і пляшка Кляйна мають 2-параметричне сімейство плоских метрик, які не конформно еквівалентні одно одній.
- Якщо ейлерова характеристика від'ємна, то многовид конформно еквівалентний гіперболічній поверхні.
- Якщо многовид замкнутий, то знак кривини можна знайти за його ейлеровою характеристикою:
Варіації та узагальнення ред.
Теорему геометризації можна розглядати як узагальнення теореми про уніформізацію на тривимірні многовиди.
Література ред.
- Abikoff, William. The uniformization theorem // Amer. Math. Monthly. — 1981. — Vol. 88, no. 8 (22 October). — P. 574–592.
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Uniformization theorem(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
|