www.wikidata.uk-ua.nina.az

Характеристика Ейлера Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера Пуанкаре характеристика топологічного простору Е

Характеристика Ейлера

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору зазвичай позначається .

Визначення Редагувати

Властивості Редагувати

Ейлерова характеристика поліедрів Редагувати

  • Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива формула Ейлера:

Теорема Ґауса—Бонне Редагувати

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику з кривиною Ґауса многовиду:

де  — елемент площі поверхні .

  • Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
  • Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
  • Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на .
  • Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані й неорієнтовані поверхні Редагувати

  • Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: , де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як .

Величина характеристики Ейлера Редагувати

Назва Вид Ейлерова характеристика
Відрізок 1
Коло 0
Круг 1
Сфера 2
Тор
(добуток двох кіл) 		0
Подвійний тор −2
Потрійний тор −4
Проективна поверхня 1
Стрічка Мебіуса 0
Пляшка Кляйна 0
Дві сфери (незв'язані) 2 + 2 = 4
Три сфери 2 + 2 + 2 = 6

Історія Редагувати

У 1752 році Ейлер опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році .

У 1899 році Анрі Пуанкаре узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

де  — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

Примітки Редагувати

  1. ERGUN AKLEMAN, JIANER CHEN. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem. Texas A&M University. Процитовано 21 жовтня 2019. 
  2. Л. Ейлер Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus Соліда hedris planis inclusa Сюнт praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербурзькій Академії 6 квітня 1752 року. Opera Omnia 1 (26): 94-108.
  3. Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). — М., 1981. — С. 344.
  4. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Література Редагувати

  • Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
  • Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
  • Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ejlerova harakteristika abo harakteristika Ejlera Puankare harakteristika topologichnogo prostoru Ejlerova harakteristika prostoru X displaystyle X zazvichaj poznachayetsya x X displaystyle chi X Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 2 1 Ejlerova harakteristika poliedriv 2 2 Teorema Gausa Bonne 3 Oriyentovani j neoriyentovani poverhni 4 Velichina harakteristiki Ejlera 5 Istoriya 6 Primitki 7 LiteraturaViznachennya RedaguvatiDlya skinchennogo klitkovogo kompleksu zokrema dlya skinchennogo simplicijnogo kompleksu ejlerova harakteristika mozhe buti viznachena yak znakozminna suma x k 0 k 1 k 2 displaystyle chi k 0 k 1 k 2 nbsp gde k i displaystyle k i nbsp oznachaye chislo klitinok rozmirnosti i displaystyle i nbsp Ejlerova harakteristika dovilnogo topologichnogo prostoru mozhe buti viznachena cherez chisla Betti b n displaystyle b n nbsp yak znakozminna suma x b 0 b 1 b 2 b 3 displaystyle chi b 0 b 1 b 2 b 3 nbsp Ce viznachennya maye sens lishe yaksho vsi chisla Betti skinchenni j zbigayutsya do nulya dlya dostatno velikih indeksiv Ostannye viznachennya uzagalnyuye poperednye i uzagalnyuyetsya na inshi gomologiyi z dovilnimi koeficiyentami Vlastivosti RedaguvatiEjlerova harakteristika ye gomotopichnim invariantom tobto zberigayetsya pri gomotopichnij ekvivalentnosti topologichnih prostoriv Zokrema ejlerova harakteristika ye topologichnim invariantom Ejlerova harakteristika poliedriv Redaguvati Ejlerova harakteristika dvovimirnih topologichnih poliedriv mozhe buti obchislena za formuloyu x G P B displaystyle chi Gamma hbox P hbox B nbsp de G R i V kilkist granej reber i vershin vidpovidno Zokrema dlya bud yakogo mnogogrannika spravedliva formula Ejlera G P B x S 2 2 displaystyle Gamma hbox P hbox B chi S 2 2 nbsp Napriklad harakteristika Ejlera dlya kuba dorivnyuye 6 12 8 2 a dlya trikutnoyi piramidi 4 6 4 2 Teorema Gausa Bonne Redaguvati Dlya kompaktnogo dvovimirnogo oriyentovanogo rimanovogo mnogovidu S displaystyle S nbsp poverhni bez krayu spravedliva Formula Gausa Bonne sho pov yazuye ejlerovu harakteristiku x S displaystyle chi S nbsp z krivinoyu Gausa K displaystyle K nbsp mnogovidu S K d s 2 p x S displaystyle int limits S K d sigma 2 pi chi S nbsp de d s displaystyle d sigma nbsp element ploshi poverhni S displaystyle S nbsp Isnuye uzagalnennya formuli Gausa Bonne dlya dvovimirnogo mnogovidu z krayem mezheyu Isnuye uzagalnennya formuli Gausa Bonne na parnovimirni rimanovi mnogovidi yake vidome yak Teorema Gausa Bonne Cherna abo Uzagalnena formula Gausa Bonne Isnuye takozh diskretnij analog teoremi Gausa Bonne yakij govorit sho harakteristika Ejlera dorivnyuye sumi defektiv poliedra podilenij na 2 p displaystyle 2 pi nbsp 1 Isnuyut kombinatorni analogi formuli Gaussa Bonne Oriyentovani j neoriyentovani poverhni RedaguvatiEjlerova harakteristika dlya oriyentovanoyi sferi z ruchkami tora podvijnogo tora podayetsya formuloyu x X 2 2 g displaystyle chi X 2 2g nbsp de g chislo ruchok dlya neoriyentovanoyi poverhni formula viglyadaye yak x X 2 g displaystyle chi X 2 g nbsp Velichina harakteristiki Ejlera RedaguvatiNazva Vid Ejlerova harakteristikaVidrizok nbsp 1Kolo nbsp 0Krug nbsp 1Sfera nbsp 2Tor dobutok dvoh kil nbsp 0Podvijnij tor nbsp 2Potrijnij tor nbsp 4Proektivna poverhnya nbsp 1Strichka Mebiusa nbsp 0Plyashka Klyajna nbsp 0Dvi sferi nezv yazani nbsp nbsp 2 2 4Tri sferi nbsp nbsp nbsp 2 2 2 6Istoriya RedaguvatiU 1752 roci Ejler 2 opublikuvav formulu sho pov yazuye mizh soboyu kilkist granej trivimirnogo bagatogrannika V originalnij roboti formula privoditsya u viglyadi S H A 2 displaystyle S H A 2 nbsp de S kilkist vershin N kilkist granej A kilkist reber Ranishe cya formula zustrichayetsya v rukopisah Rene Dekarta opublikovanih Lejbnicem u 1760 roci 3 U 1899 roci Anri Puankare 4 uzagalniv cyu formulu na vipadok N vimirnogo mnogotogrannika i 0 N 1 1 i A i 1 1 N 1 displaystyle sum i 0 N 1 1 i A i 1 1 N 1 nbsp de A i displaystyle A i nbsp kilkist i vimirnih granej N vimirnogo mnogogrannika i 0 N 1 i A i 1 displaystyle sum i 0 N 1 i A i 1 nbsp Primitki Redaguvati ERGUN AKLEMAN JIANER CHEN Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian Bonnet Theorem Texas A amp M University Procitovano 21 zhovtnya 2019 L Ejler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus Solida hedris planis inclusa Syunt praedita Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4 140 160 1758 Predstavleno Sankt Peterburzkij Akademiyi 6 kvitnya 1752 roku Opera Omnia 1 26 94 108 Pereklad anglijskoyu movoyu Leonard EjlerProof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed Translated by Christopher Francese and David Richeson Emelichev V A Kovalov M M Kravcov M K Mnogogranniki grafi optimizaciya kombinatorna teoriya bagatogrannikiv M 1981 S 344 H Poincare Sur la generalisation d un theoreme d Euler relatif aux polyedres Compt Rend Acad Sci 117 1893 144 145 Oeuvres Vol XI 6 7 Literatura RedaguvatiDolbilin N Tri teoremy o vypuklyh mnogogrannikah Kvant 2001 5 S 7 12 Lakatos I Dokazatelstva i oproverzheniya Kak dokazyvayutsya teoremy Per I N Veselovskogo M Nauka 1967 Shashkin Yu A Ejlerova harakteristika M Nauka 1984 T 58 Populyarnye lekcii po matematike Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Harakteristika Ejlera amp oldid 37530372