www.wikidata.uk-ua.nina.az

Топологія У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна значення Тополо гія грец τόπος місце logos наука розділ м

Топологія

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Топологія (значення).

Тополо́гія (грец. τόπος — місце, logos — наука) — розділ математики, який наближений до геометрії. У той час як алгебра починається з розглядання операцій, геометрія — фігур, а математичний аналіз — функцій; найфундаментальніше поняття топології — неперервність.

Стрічка Мебіуса, цікава тим, що має лише одну поверхню; такі форми є об'єктом вивчення топології.

Загальний опис

Неперервне відображення деформує простір, не розриваючи його, при цьому окремі точки або частини простору можуть склеїтися (поєднатися), але близькі точки залишаються близькими. На відміну від геометрії, де розглядаються переважно метричні характеристики, такі як довжина, кут і площа, у топології ці характеристики вважаються несуттєвими і натомість вивчаються такі фундаментальніші властивості фігури, як зв'язність (кількість шматків, дірок тощо) або можливість неперервно здеформувати її до сфери і зворотно (це можливо для поверхні куба, але неможливо для поверхні тора).

Аксіоматика топології побудована на засадах теорії множин, але провідну роль у дослідженнях з сучасної топології відіграють насамперед алгебраїчні і геометричні методи. Об'єктами дослідження топології є топологічні простори, спільне узагальнення таких структур як граф, поверхня у тривимірному просторі і множина Кантора, та відображення між ними. При цьому досліджуються властивості топологічних просторів як в малому (локальні), так і в цілому (глобальні). Серед різноманітних напрямків топології відзначимо наближену до теорії множин загальну топологію, яка вивчає такі загальні властивості абстрактних топологічних просторів як компактність або зв'язність, та алгебричну топологію, яка намагається описати топологічні простори за допомогою їхніх алгебраїчних інваріантів, наприклад чисел Бетті та фундаментальної групи. Геометрична топологія вивчає топологічні простори геометричного походження, зокрема вузли у тривимірному евклідовому просторі і тривимірні многовиди. До геометричної топології належить одна із найвизначніших і найвідоміших математичних проблем, гіпотеза Пуанкаре, яку нарешті (2003 р.) довів російський математик Григорій Перельман.

Поряд з алгеброю і геометрією, топологічні методи широко використовуються у функціональному аналізі, теорії динамічних систем і сучасній математичній фізиці.

Термін топологія використовується для позначення як математичної дисципліни, так і для певної математичної структури, дивись топологічний простір.

Рання історія

Сім мостів Кенігсберга — перша задача топології, що була розглянута Л. Ейлером.

Початкові дослідження з топології належать Леонарду Ейлеру.

Вважається, що стаття Ейлера «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» («Розв'язання питання, пов'язаного з геометрією положення»), надрукована у 1736 р., містила перші результати з топології. Нова точка зору, запропонована Ейлером, полягала в тому, щоб під час вивчання певних питань з геометрії відмовитися від розглядання метричних властивостей геометричних фігур, таких як довжина та площа. Так, у 1750 р. у листі до Гольдбаха Ейлер повідомив про свою славетну формулу: В — Р + Г = 2, яка пов'язує кількість вершин В, ребер Р і граней Г опуклого багатогранника.

В 1895 р. Анрі Пуанкаре опублікував цикл статей Analysis Situs[en], у яких заклав підвалини алгебричної топології. Удосконалюючи попередні дослідження стосовно зв'язності топологічних просторів, Пуанкаре впровадив поняття гомотопії і гомології та надав визначення фундаментальної групи.

У певному розумінні, роботи Пуанкаре підвели підсумок дослідженням Ейлера, Люіл'є, Гауса, Рімана, Лістінга, Мебіуса, Жордана, Клейна, Бетті та ін. з комбінаторної та геометричної топології. Важливою відзнакою майже всіх цих робіт, включаючи Пуанкаре, був їхній інтуїтивний характер. Водночас з істотною кількістю прикладів топологічних об'єктів і результатів щодо їхніх властивостей, новій галузі математики бракувало чи не найголовнішого: строгого визначення об'єктів її дослідження, тобто, сучасною мовою, топологічних просторів.

Усвідомлення важливості топологічної парадигми у математичному аналізі, пов'язаної із строгим обґрунтуванням границь, неперервності та компактності у роботах Больцано, Коші, Вейєрштрасса, Кантора та ін. призвело до аксіоматичного визначення основних понять топології і розвитку загальної топології, а разом з нею і топології векторних просторів, функціонального аналізу. Таким чином, проблеми аналізу утворюють друге, великою мірою, незалежне від питань геометрії, джерело для розвитку топології. Слід відзначити що ще й досі шляхи розвитку загальної і алгебраїчної топології майже не перетинаються.

Загальновизнана нині аксіоматика топології ґрунтується на теорії множин, яка була утворена Георгом Кантором у другій половині 19-го століття. У 1872 р. Кантор надав означення відкритих і замкнених множин дійсних чисел. Цікаво відзначити, що Кантор надійшов до деяких ідей теорії множин, наприклад, множини Кантора, у межах своїх досліджень з рядів Фур'є. Систематизуючи роботи Георга Кантора, Віто Вольтерри, Чезаре Арцели, Жака Адамара та ін., в 1906 році Моріс Фреше означив поняття метричного простору. Трохи пізніше було усвідомлено, що метричний простір — це частковий випадок загальнішого поняття, топологічного простору. У 1914 р. Фелікс Гаусдорф використав термін «топологічний простір» у близькому до сучасного змісті (розглянуті ним топологічні простори зараз називають гаусдорфовими).

Походження назви

Власне термін «топологія» («topologie» німецькою мовою) вперше з'явився лише в 1847 р. у статті Лістінга Vorstudien zur Topologie. Однак на той час Лістінг вже понад 10 років використовував цей термін в своїх листуваннях. «Topology», англійська форма терміну, була запропонована в 1883 в журналі Nature для того щоб розрізнити якісну геометрію від геометрії звичайної, в якій превалюють кількісні співвідношення. Слово topologist — тобто тополог, в розумінні «спеціаліст з топології» було вперше використано в 1905 в журналі The Spectator[en]. Завдяки впливу згаданих вище статей Пуанкаре, топологія тривалий час була відома ще під назвою Analysis Situs (лат. аналіз місця).

Інтуїтивне пояснення

Топологічні простори природно з'являються в багатьох розділах математики. Це робить топологію надзвичайно універсальним інструментом для математиків. Загальна топологія визначає і вивчає такі властивості просторів і відображень між ними як зв'язність, компактність та неперервність. Алгебрична топологія використовує об'єкти абстрактної алгебри, а особливо теорії категорій для вивчення топологічних просторів і відображень між ними.

Щоб зрозуміти, для чого потрібна топологія, можна навести такий приклад: в деяких геометричних задачах не так важливо знати точну форму об'єктів, як знати як вони розташовані. Якщо розглянути квадрат і коло (контури), здавалося б такі різні фігури, можна помітити дещо спільне: обидва об'єкти є одновимірними та обидва розділяють простір на дві частини — внутрішність та зовнішність.

Темою однієї з найперших статей (автор — Леонард Ейлер) з топології була демонстрація того, що неможливо знайти шлях в місті Кенігсберг (тепер Калінінград), який би проліг через кожен з семи міських мостів рівно по одному разу. Цей результат не залежав ні від довжини мостів, ні від відстані між ними. Впливали лише властивості зв'язності: які мости зв'язують які острови чи береги. Ця задача Семи мостів Кенігсбергу є показовою при вивченні математики, також вона стала засадничою в розділі математики, що називається теорія графів.

Схожою є теорема про причісування їжака з алгебраїчної топології, в якій говориться таке: «неможливо зачесати волосся на кулі в один бік». Цей факт є достатньо наочним і багато людей відразу знаходять розуміння, однак її формальний запис для багатьох не є очевидним: не існує ненульового неперервного поля дотичних векторів на сфері. Як і з Кенігсберзькими мостами, результат не залежить від точної форми сфери; твердження виконується і для грушоподібних форм, навіть для загальніших — краплеподібних форм (з деякими умовами на гладкість поверхні), при загальній умові відсутності дірок.

Отже для того, щоб розв'язувати подібні задачі, які насправді не потребують відомостей про точну форму об'єктів, потрібно чітко знати, від яких же властивостей залежить розв'язок таких задач. Відразу виникає потреба в визначенні топологічної еквівалентності. Неможливість пройти кожним з мостів по одному разу відноситься також до будь-якого розташування мостів, еквівалентного Кенігсберзькому; теорема волохатої кулі може бути застосована до будь-якого об'єкта топологічно еквівалентного кулі.

Неперервна деформація кавової чашки в бублик (тор). Таке перетворення називають гомотопією.
Фази перетворення чашки в бублик

Інтуїтивно, два топологічних простори є еквівалентними (гомеоморфними), якщо один може бути перетворений в інший без відрізань або склеювань. Традиційним є такий жарт: тополог не може відрізнити чашку кави, з якої вона п'є, від бублика, який вона їсть, оскільки достатньо гнучкий бублик можна легко перетворити у форму чашки, створивши заглиблення і збільшуючи його, водночас зменшуючи дірку до розмірів ручки.

Як просте початкове завдання можна класифікувати літери Латинської абетки в термінах топологічної еквівалентності. (Будемо вважати, що товщина ліній, з яких складено літери ненульова.) В більшості шрифтів що зараз застосовуються існує клас літер рівно з однією діркою: {a, b, d, e, o, p, q}, клас літер без дірок: {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, та клас літер, що складаються з двох шматків: {i, j}. Літера «g» може належати або класу літер з однією діркою, або (в деяких шрифтах) це може бути літера з двома дірками (якщо її хвостик був замкнений). Для складнішого прикладу можна розглянути випадок нульової товщини ліній; можна розглянути різні топології в залежності від того, який шрифт обрати. Топологія літер має своє практичне застосування в трафаретній типографії: наприклад, шрифт Braggadocio[en] може бути вирізаний з площини, не розпавшись після цього.

У початкових дослідженнях для пояснення ефектів елементарної довжини користувалися «природною топологією». При цьому цю довжину розглядали як деяке фундаментальне число таке, що усі вимірювані довжини є цілими числами, кратними . Це інтерпретували так: відстань між двома частинками не можна виміряти із точністю, більшою від ; крім того, ця відстань повинна бути кратною . Теорія розсіювання, побудована за допомогою квантової електродинаміки, була не в стані пояснити аномальні результати експериментів по розсіюванню пар електрон-позитрон. З метою пояснення аномальної ситуації було уведене поняття топологічного потенціалу, який є наслідком існування елементарної довжини. Було поставлене питання про те, який клас топологій, будучи поміщеним на системі координат частинки, сумісний із декотрими природними вимогами до елементарної довжини. За уведення топології елементарної довжини виходять з визначення довжини й елементарної довжини на нормованому лінійному просторі де  — норма, як функції

визначеної на множині Однак використання в якості базису топології елементарної довжини відкритих куль приводить до того, що набір відкритих куль, які відповідають фізично значимим й підходящим підмножинам множини дає дискретну топологію на Таким чином, для пояснення фізичної реальності необхідно змінювати базисну множину, на якій повинна задаватися топологічна структура. Довжини, які уводяться, повинні представляти з себе відстань між двома частинками, оскільки окрема частинка експериментально неспостережувана. Для цього уводять декартовий добуток який представляє координатні простори двох частинок. Потім визначають похідні координати просторів які представляють відповідно центр мас цих частинок та їх відносне положення. Таким чином, у розглядуваній області теоретичної фізики структура топологічного простору виражає фундаментальну фізичну властивість. Проблема нескінченності подільності простору хвилювала стародавніх мислителів. Міркування на цю тему зустрічаються у апоріях Зенона.

Вплив у межах математики

Топологія — одна з найбільш центрально-розташованих математичних дисциплін, у розумінні чисельності зв'язків і ступеня взаємного впливу з іншими розділами математики. Наведемо такі приклади.

Математична спільнота високо відзначила внесок топологів до розвитку математики. За період з 1936 по 2006 р., одна з найвищих відзнак у математиці, Медаль Філдса, була присуджена 48 математикам, 9 з них за дослідження саме у топології. У роботах ще декількох з лауреатів топологічні методи відігравали важливу роль.

Трьом з них премія була присуджена за розв'язання гіпотези Пуанкаре: Григорію Перельману за доведення оригінальної гіпотези стосовно тривимірної сфери, і Майклу Фрідману і Стівену Смейлу — за розв'язання аналогічного питання у чотирьох (Фрідман) і п'яти та більше вимірах (Смейл). Цікаво, що ще дві з Філдсовських премій було присуджено за результати про сфери: Джону Мілнору за відкриття 28 диференційовних структур на семивимірній сфері, та Жану-П'єру Серру за розробку методів обчислення гомотопічних груп сфер. Таким чином, п'ять з сорока восьми Філдсівських премій одержали дослідники сфер!

Розділи Топології

Примітки

  1. J. V. Cornacchio. Topological Structure in Malhcmalioal Models of General Systems. 
  2. Ковальов С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. І., Михайленко В.Є, Бурчак І. Н. Прикладна геометрія та іженерна графіка. Спеціальні розділи. Випуск 1. — Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2006. — 256 с. (С. 90)
  3. Опис шляху сполучення окремих атомів та їх груп у молекулярній частинці. Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

Література

  • Бабич В.М., Пєхтєрєв В.О. Загальна топологія в задачах і прикладах. — К. : Аксіома, 2015. — 207 с. — ISBN 978-966-496-333-3. (укр.)
  • Пришляк О.О. Основи сучасної топології : навчальний посібник. — К. : Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2006. — 78 с. — ISBN 966594746X. (укр.)
  • В.В. Городецький, І.В. Житарюк, О.В. Мартинюк. Основи топології в теоремах і задачах. — Ч. : Прут, 2010. — 544 с. — ISBN 9789665605164. (укр.)
  • О.А. Борисенко. Диференціальна геометрія і топологія : навчальний посібник. — Х. : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5776803888. (укр.)

Див. також

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Topologiya znachennya Topolo giya grec topos misce logos nauka rozdil matematiki yakij nablizhenij do geometriyi U toj chas yak algebra pochinayetsya z rozglyadannya operacij geometriya figur a matematichnij analiz funkcij najfundamentalnishe ponyattya topologiyi neperervnist Strichka Mebiusa cikava tim sho maye lishe odnu poverhnyu taki formi ye ob yektom vivchennya topologiyi Zmist 1 Zagalnij opis 2 Rannya istoriya 2 1 Pohodzhennya nazvi 3 Intuyitivne poyasnennya 4 Vpliv u mezhah matematiki 5 Rozdili Topologiyi 6 Primitki 7 Literatura 8 Div takozh 9 PosilannyaZagalnij opis RedaguvatiNeperervne vidobrazhennya deformuye prostir ne rozrivayuchi jogo pri comu okremi tochki abo chastini prostoru mozhut skleyitisya poyednatisya ale blizki tochki zalishayutsya blizkimi Na vidminu vid geometriyi de rozglyadayutsya perevazhno metrichni harakteristiki taki yak dovzhina kut i plosha u topologiyi ci harakteristiki vvazhayutsya nesuttyevimi i natomist vivchayutsya taki fundamentalnishi vlastivosti figuri yak zv yaznist kilkist shmatkiv dirok tosho abo mozhlivist neperervno zdeformuvati yiyi do sferi i zvorotno ce mozhlivo dlya poverhni kuba ale nemozhlivo dlya poverhni tora Aksiomatika topologiyi pobudovana na zasadah teoriyi mnozhin ale providnu rol u doslidzhennyah z suchasnoyi topologiyi vidigrayut nasampered algebrayichni i geometrichni metodi Ob yektami doslidzhennya topologiyi ye topologichni prostori spilne uzagalnennya takih struktur yak graf poverhnya u trivimirnomu prostori i mnozhina Kantora ta vidobrazhennya mizh nimi Pri comu doslidzhuyutsya vlastivosti topologichnih prostoriv yak v malomu lokalni tak i v cilomu globalni Sered riznomanitnih napryamkiv topologiyi vidznachimo nablizhenu do teoriyi mnozhin zagalnu topologiyu yaka vivchaye taki zagalni vlastivosti abstraktnih topologichnih prostoriv yak kompaktnist abo zv yaznist ta algebrichnu topologiyu yaka namagayetsya opisati topologichni prostori za dopomogoyu yihnih algebrayichnih invariantiv napriklad chisel Betti ta fundamentalnoyi grupi Geometrichna topologiya vivchaye topologichni prostori geometrichnogo pohodzhennya zokrema vuzli u trivimirnomu evklidovomu prostori i trivimirni mnogovidi Do geometrichnoyi topologiyi nalezhit odna iz najviznachnishih i najvidomishih matematichnih problem gipoteza Puankare yaku nareshti 2003 r doviv rosijskij matematik Grigorij Perelman Poryad z algebroyu i geometriyeyu topologichni metodi shiroko vikoristovuyutsya u funkcionalnomu analizi teoriyi dinamichnih sistem i suchasnij matematichnij fizici Termin topologiya vikoristovuyetsya dlya poznachennya yak matematichnoyi disciplini tak i dlya pevnoyi matematichnoyi strukturi divis topologichnij prostir Rannya istoriya Redaguvati Sim mostiv Kenigsberga persha zadacha topologiyi sho bula rozglyanuta L Ejlerom Pochatkovi doslidzhennya z topologiyi nalezhat Leonardu Ejleru Vvazhayetsya sho stattya Ejlera Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis Rozv yazannya pitannya pov yazanogo z geometriyeyu polozhennya nadrukovana u 1736 r mistila pershi rezultati z topologiyi Nova tochka zoru zaproponovana Ejlerom polyagala v tomu shob pid chas vivchannya pevnih pitan z geometriyi vidmovitisya vid rozglyadannya metrichnih vlastivostej geometrichnih figur takih yak dovzhina ta plosha Tak u 1750 r u listi do Goldbaha Ejler povidomiv pro svoyu slavetnu formulu V R G 2 yaka pov yazuye kilkist vershin V reber R i granej G opuklogo bagatogrannika V 1895 r Anri Puankare opublikuvav cikl statej Analysis Situs en u yakih zaklav pidvalini algebrichnoyi topologiyi Udoskonalyuyuchi poperedni doslidzhennya stosovno zv yaznosti topologichnih prostoriv Puankare vprovadiv ponyattya gomotopiyi i gomologiyi ta nadav viznachennya fundamentalnoyi grupi U pevnomu rozuminni roboti Puankare pidveli pidsumok doslidzhennyam Ejlera Lyuil ye Gausa Rimana Listinga Mebiusa Zhordana Klejna Betti ta in z kombinatornoyi ta geometrichnoyi topologiyi Vazhlivoyu vidznakoyu majzhe vsih cih robit vklyuchayuchi Puankare buv yihnij intuyitivnij harakter Vodnochas z istotnoyu kilkistyu prikladiv topologichnih ob yektiv i rezultativ shodo yihnih vlastivostej novij galuzi matematiki brakuvalo chi ne najgolovnishogo strogogo viznachennya ob yektiv yiyi doslidzhennya tobto suchasnoyu movoyu topologichnih prostoriv Usvidomlennya vazhlivosti topologichnoyi paradigmi u matematichnomu analizi pov yazanoyi iz strogim obgruntuvannyam granic neperervnosti ta kompaktnosti u robotah Bolcano Koshi Vejyershtrassa Kantora ta in prizvelo do aksiomatichnogo viznachennya osnovnih ponyat topologiyi i rozvitku zagalnoyi topologiyi a razom z neyu i topologiyi vektornih prostoriv funkcionalnogo analizu Takim chinom problemi analizu utvoryuyut druge velikoyu miroyu nezalezhne vid pitan geometriyi dzherelo dlya rozvitku topologiyi Slid vidznachiti sho she j dosi shlyahi rozvitku zagalnoyi i algebrayichnoyi topologiyi majzhe ne peretinayutsya Zagalnoviznana nini aksiomatika topologiyi gruntuyetsya na teoriyi mnozhin yaka bula utvorena Georgom Kantorom u drugij polovini 19 go stolittya U 1872 r Kantor nadav oznachennya vidkritih i zamknenih mnozhin dijsnih chisel Cikavo vidznachiti sho Kantor nadijshov do deyakih idej teoriyi mnozhin napriklad mnozhini Kantora u mezhah svoyih doslidzhen z ryadiv Fur ye Sistematizuyuchi roboti Georga Kantora Vito Volterri Chezare Arceli Zhaka Adamara ta in v 1906 roci Moris Freshe oznachiv ponyattya metrichnogo prostoru Trohi piznishe bulo usvidomleno sho metrichnij prostir ce chastkovij vipadok zagalnishogo ponyattya topologichnogo prostoru U 1914 r Feliks Gausdorf vikoristav termin topologichnij prostir u blizkomu do suchasnogo zmisti rozglyanuti nim topologichni prostori zaraz nazivayut gausdorfovimi Pohodzhennya nazvi Redaguvati Vlasne termin topologiya topologie nimeckoyu movoyu vpershe z yavivsya lishe v 1847 r u statti Listinga Vorstudien zur Topologie Odnak na toj chas Listing vzhe ponad 10 rokiv vikoristovuvav cej termin v svoyih listuvannyah Topology anglijska forma terminu bula zaproponovana v 1883 v zhurnali Nature dlya togo shob rozrizniti yakisnu geometriyu vid geometriyi zvichajnoyi v yakij prevalyuyut kilkisni spivvidnoshennya Slovo topologist tobto topolog v rozuminni specialist z topologiyi bulo vpershe vikoristano v 1905 v zhurnali The Spectator en Zavdyaki vplivu zgadanih vishe statej Puankare topologiya trivalij chas bula vidoma she pid nazvoyu Analysis Situs lat analiz miscya Intuyitivne poyasnennya RedaguvatiTopologichni prostori prirodno z yavlyayutsya v bagatoh rozdilah matematiki Ce robit topologiyu nadzvichajno universalnim instrumentom dlya matematikiv Zagalna topologiya viznachaye i vivchaye taki vlastivosti prostoriv i vidobrazhen mizh nimi yak zv yaznist kompaktnist ta neperervnist Algebrichna topologiya vikoristovuye ob yekti abstraktnoyi algebri a osoblivo teoriyi kategorij dlya vivchennya topologichnih prostoriv i vidobrazhen mizh nimi Shob zrozumiti dlya chogo potribna topologiya mozhna navesti takij priklad v deyakih geometrichnih zadachah ne tak vazhlivo znati tochnu formu ob yektiv yak znati yak voni roztashovani Yaksho rozglyanuti kvadrat i kolo konturi zdavalosya b taki rizni figuri mozhna pomititi desho spilne obidva ob yekti ye odnovimirnimi ta obidva rozdilyayut prostir na dvi chastini vnutrishnist ta zovnishnist Temoyu odniyeyi z najpershih statej avtor Leonard Ejler z topologiyi bula demonstraciya togo sho nemozhlivo znajti shlyah v misti Kenigsberg teper Kaliningrad yakij bi prolig cherez kozhen z semi miskih mostiv rivno po odnomu razu Cej rezultat ne zalezhav ni vid dovzhini mostiv ni vid vidstani mizh nimi Vplivali lishe vlastivosti zv yaznosti yaki mosti zv yazuyut yaki ostrovi chi beregi Cya zadacha Semi mostiv Kenigsbergu ye pokazovoyu pri vivchenni matematiki takozh vona stala zasadnichoyu v rozdili matematiki sho nazivayetsya teoriya grafiv Shozhoyu ye teorema pro prichisuvannya yizhaka z algebrayichnoyi topologiyi v yakij govoritsya take nemozhlivo zachesati volossya na kuli v odin bik Cej fakt ye dostatno naochnim i bagato lyudej vidrazu znahodyat rozuminnya odnak yiyi formalnij zapis dlya bagatoh ne ye ochevidnim ne isnuye nenulovogo neperervnogo polya dotichnih vektoriv na sferi Yak i z Kenigsberzkimi mostami rezultat ne zalezhit vid tochnoyi formi sferi tverdzhennya vikonuyetsya i dlya grushopodibnih form navit dlya zagalnishih kraplepodibnih form z deyakimi umovami na gladkist poverhni pri zagalnij umovi vidsutnosti dirok Otzhe dlya togo shob rozv yazuvati podibni zadachi yaki naspravdi ne potrebuyut vidomostej pro tochnu formu ob yektiv potribno chitko znati vid yakih zhe vlastivostej zalezhit rozv yazok takih zadach Vidrazu vinikaye potreba v viznachenni topologichnoyi ekvivalentnosti Nemozhlivist projti kozhnim z mostiv po odnomu razu vidnositsya takozh do bud yakogo roztashuvannya mostiv ekvivalentnogo Kenigsberzkomu teorema volohatoyi kuli mozhe buti zastosovana do bud yakogo ob yekta topologichno ekvivalentnogo kuli Neperervna deformaciya kavovoyi chashki v bublik tor Take peretvorennya nazivayut gomotopiyeyu Fazi peretvorennya chashki v bublikIntuyitivno dva topologichnih prostori ye ekvivalentnimi gomeomorfnimi yaksho odin mozhe buti peretvorenij v inshij bez vidrizan abo skleyuvan Tradicijnim ye takij zhart topolog ne mozhe vidrizniti chashku kavi z yakoyi vona p ye vid bublika yakij vona yist oskilki dostatno gnuchkij bublik mozhna legko peretvoriti u formu chashki stvorivshi zagliblennya i zbilshuyuchi jogo vodnochas zmenshuyuchi dirku do rozmiriv ruchki Yak proste pochatkove zavdannya mozhna klasifikuvati literi Latinskoyi abetki v terminah topologichnoyi ekvivalentnosti Budemo vvazhati sho tovshina linij z yakih skladeno literi nenulova V bilshosti shriftiv sho zaraz zastosovuyutsya isnuye klas liter rivno z odniyeyu dirkoyu a b d e o p q klas liter bez dirok c f h k l m n r s t u v w x y z ta klas liter sho skladayutsya z dvoh shmatkiv i j Litera g mozhe nalezhati abo klasu liter z odniyeyu dirkoyu abo v deyakih shriftah ce mozhe buti litera z dvoma dirkami yaksho yiyi hvostik buv zamknenij Dlya skladnishogo prikladu mozhna rozglyanuti vipadok nulovoyi tovshini linij mozhna rozglyanuti rizni topologiyi v zalezhnosti vid togo yakij shrift obrati Topologiya liter maye svoye praktichne zastosuvannya v trafaretnij tipografiyi napriklad shrift Braggadocio en mozhe buti virizanij z ploshini ne rozpavshis pislya cogo U pochatkovih doslidzhennyah dlya poyasnennya efektiv elementarnoyi dovzhini koristuvalisya prirodnoyu topologiyeyu Pri comu cyu dovzhinu rozglyadali yak deyake fundamentalne chislo l lambda take sho usi vimiryuvani dovzhini ye cilimi chislami kratnimi l lambda Ce interpretuvali tak vidstan mizh dvoma chastinkami ne mozhna vimiryati iz tochnistyu bilshoyu vid l lambda krim togo cya vidstan povinna buti kratnoyu l lambda Teoriya rozsiyuvannya pobudovana za dopomogoyu kvantovoyi elektrodinamiki bula ne v stani poyasniti anomalni rezultati eksperimentiv po rozsiyuvannyu par elektron pozitron Z metoyu poyasnennya anomalnoyi situaciyi bulo uvedene ponyattya topologichnogo potencialu yakij ye naslidkom isnuvannya elementarnoyi dovzhini Bulo postavlene pitannya pro te yakij klas topologij buduchi pomishenim na sistemi koordinat chastinki sumisnij iz dekotrimi prirodnimi vimogami do elementarnoyi dovzhini Za uvedennya topologiyi elementarnoyi dovzhini vihodyat z viznachennya dovzhini j elementarnoyi dovzhini na normovanomu linijnomu prostori x displaystyle x cdot de displaystyle cdot norma yak funkciyif l X n l n 0 1 2 displaystyle f lambda X rightarrow n lambda n 0 1 2 viznachenoyi na mnozhini X displaystyle X Odnak vikoristannya v yakosti bazisu topologiyi elementarnoyi dovzhini vidkritih kul privodit do togo sho nabir vidkritih kul yaki vidpovidayut fizichno znachimim j pidhodyashim pidmnozhinam mnozhini X displaystyle X daye diskretnu topologiyu na X displaystyle X Takim chinom dlya poyasnennya fizichnoyi realnosti neobhidno zminyuvati bazisnu mnozhinu na yakij povinna zadavatisya topologichna struktura Dovzhini yaki uvodyatsya povinni predstavlyati z sebe vidstan mizh dvoma chastinkami oskilki okrema chastinka eksperimentalno nesposterezhuvana Dlya cogo uvodyat dekartovij dobutok X X displaystyle X times X yakij predstavlyaye koordinatni prostori dvoh chastinok Potim viznachayut pohidni koordinati prostoriv X c X r displaystyle X c X r yaki predstavlyayut vidpovidno centr mas cih chastinok ta yih vidnosne polozhennya Takim chinom u rozglyaduvanij oblasti teoretichnoyi fiziki struktura topologichnogo prostoru virazhaye fundamentalnu fizichnu vlastivist 1 Problema neskinchennosti podilnosti prostoru hvilyuvala starodavnih misliteliv Mirkuvannya na cyu temu zustrichayutsya u aporiyah Zenona Vpliv u mezhah matematiki RedaguvatiTopologiya odna z najbilsh centralno roztashovanih matematichnih disciplin u rozuminni chiselnosti zv yazkiv i stupenya vzayemnogo vplivu z inshimi rozdilami matematiki Navedemo taki prikladi Teorema Gausa Bonne yaka pov yazuye ejlerovu harakteristiku poverhni z yiyi krivinoyu ce pershij z nizki rezultativ stosovno topologichnih vlastivostej geometrichnih ob yektiv Teorema uniformizaciyi Rimana visvitlila desho inshij zv yazok mizh topologiyeyu i geometriyeyu do yakogo nabagato piznishe bl 1975 r povernuvsya Terston u svoyij programi geometrizaciyi V robotah Rimana topologiya bula pov yazana takozh z kompleksnim analizom i algebrayichnoyu geometriyeyu ideyeyu rimanovoyi poverhni Na pochatku 20 st German Vejl povernuvsya do ciyeyi temi u svoyij knizhci Die Idee der Riemanniesche Flache yaka prizvela do usvidomlennya matematikami ponyattya nakrittya i do podalshogo rozpovsyudzhennya topologichnih metodiv zokrema u geometriyi Odin z zasnovnikiv topologiyi Anri Puankare zaklav pidvalini teoriyi dinamichnih sistem svoyimi doslidzhennyami z yakisnogo na vidminu vid kilkisnogo analizu diferencialnih rivnyan Yak bulo zaznacheno vishe doslidzhennya z analizu utvorili odno z dzherel dlya rozvitku topologiyi i topologiya ne zalishilasya v borgu tak argumenti pov yazani z kompaktnistyu napriklad teoremi Arcela Askoli i Banaha Alaoglu nalezhat do standartnogo znaryaddya analitikiv zokrema u funkcionalnomu analizi Slid takozh viddati nalezhne robotam Davida Gilberta z obgruntuvannya variacijnogo chislennya yaki provistili majbutnij vpliv topologiyi na problemi diferencialnoyi geometriyi i globalnogo analizu Iz rozroblennyam topologichnoyi teoriyi Morsa cej napryamok otrimav odin z svoyih najpotuzhnishih instrumentiv Doslidzhennya z topologiyi poverhon ta trivimirnih mnogovidiv yaki velikoyu miroyu viznachayutsya svoyeyu fundamentalnoyu grupoyu prizveli do rozvitku abstraktnoyi teoriyi grup Topologichni studiyi polskoyi matematichnoyi shkoli mali velikij vpliv na prinajmni dvi galuzi matematiki yaki vidpochkuvalisya vid topologiyi i peretvorilisya na samostijni disciplini teoriyu grafiv i teoriyu fraktaliv Topologichni ideyi prizveli u roboti Ejlenberga Maklejna do viniknennya teoriyi kategorij yaka ne tilki mala neabiyakij vpliv na podalshij rozvitok algebrayichnoyi topologiyi i abstraktnoyi algebri a i nadala osnovu abo prinajmni spodivannya dlya metodologichnogo poyednannya bilshosti z isnuyuchih galuzej matematiki Trohi menshim za masshtabom prote nadzvichajno vplivovim bulo zastosuvannya Andre Vejlem Serrom Grotendikom tam inshimi topologichnih metodiv u algebrayichnij geometriyi Zgadayemo takozh teoremu Atiya Zingera pro indeks eliptichnih operatoriv yaka vinajshla chudovu topologichnu vidpovid na zdavalosya b suto analitichne pitannya Pochinayuchi z 60 h rokiv 20 st topologichni metodi vidigrayut postupovo zrostayuchu rol u teoretichnij fizici zokrema u teoriyi gravitaciyi i kvantovij teoriyi polya Za divnim efektom bumeranga ce vidkrilo novi gorizonti u samij topologiyi napriklad kvantovi invarianti vuzliv i zapochatkuvalo novi napryamki rozvitku v matematici por invarianti Donaldsona Gromova Vittena ta Zajberga Vittena a takozh kvantovi kogomologiyi i dzerkalna simetriya Stiven Smejl iz spivavtorami aktivno vede doslidzhennya z topologichnoyi teoriyi skladnosti a Majkl Fridman z spivavtorami rozroblyaye z pribl 2000 r teoriyu topologichnih kvantovih obchislyuvan Matematichna spilnota visoko vidznachila vnesok topologiv do rozvitku matematiki Za period z 1936 po 2006 r odna z najvishih vidznak u matematici Medal Fildsa bula prisudzhena 48 matematikam 9 z nih za doslidzhennya same u topologiyi U robotah she dekilkoh z laureativ topologichni metodi vidigravali vazhlivu rol 2006 Grigorij Perelman 1990 Edvard Vitten 1986 Majkl Fridman 1982 Vilyam Terston 1970 Sergij Novikov 1966 Stiven Smejl 1966 Majkl Atiya 1966 Oleksandr Grotendik 1962 Dzhon Milnor 1958 Rene Tom 1954 Zhan P yer Serr 1936 Lars AlforsTrom z nih premiya bula prisudzhena za rozv yazannya gipotezi Puankare Grigoriyu Perelmanu za dovedennya originalnoyi gipotezi stosovno trivimirnoyi sferi i Majklu Fridmanu i Stivenu Smejlu za rozv yazannya analogichnogo pitannya u chotiroh Fridman i p yati ta bilshe vimirah Smejl Cikavo sho she dvi z Fildsovskih premij bulo prisudzheno za rezultati pro sferi Dzhonu Milnoru za vidkrittya 28 diferencijovnih struktur na semivimirnij sferi ta Zhanu P yeru Serru za rozrobku metodiv obchislennya gomotopichnih grup sfer Takim chinom p yat z soroka vosmi Fildsivskih premij oderzhali doslidniki sfer Rozdili Topologiyi RedaguvatiZagalna topologiya Algebrayichna topologiya Diferencialna topologiya Kombinatorna topologiya 2 Molekulyarna topologiya 3 Primitki Redaguvati J V Cornacchio Topological Structure in Malhcmalioal Models of General Systems Kovalov S M Gumen M S Pustyulga S I Mihajlenko V Ye Burchak I N Prikladna geometriya ta izhenerna grafika Specialni rozdili Vipusk 1 Luck Redakcijno vidavnichij viddil LDTU 2006 256 s S 90 Opis shlyahu spoluchennya okremih atomiv ta yih grup u molekulyarnij chastinci Glosarij terminiv z himiyi J Opejda O Shvajka In t fiziko organichnoyi himiyi ta vuglehimiyi im L M Litvinenka NAN Ukrayini Doneckij nacionalnij universitet Doneck Veber 2008 758 s ISBN 978 966 335 206 0Literatura RedaguvatiUkrayinskoyuBabich V M Pyehtyeryev V O Zagalna topologiya v zadachah i prikladah K Aksioma 2015 207 s ISBN 978 966 496 333 3 ukr Prishlyak O O Osnovi suchasnoyi topologiyi navchalnij posibnik K Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2006 78 s ISBN 966594746X ukr V V Gorodeckij I V Zhitaryuk O V Martinyuk Osnovi topologiyi v teoremah i zadachah Ch Prut 2010 544 s ISBN 9789665605164 ukr O A Borisenko Diferencialna geometriya i topologiya navchalnij posibnik H Osnova 1995 304 s ISBN 5776803888 ukr Inshimi movamiJames Munkres 2000 Topology vid 2nd Prentice Hall ISBN 978 8120320468 angl Aleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros V G Boltyanskij V A Yefremovich Naglyadnaya topologiya vipusk 21 seriyi Bibliotechka kvant M Nauka 1982 ros O Ya Viro O O Ivanov V M Harlamov i N Yu Nyecvyetayev Elementarnaya topologiya ros Ya Styuart Topologiya Kvant 7 1992 ros V V Prasolov Naglyadnaya topologiya ros Div takozh Redaguvati Portal Matematika Topologichnij prostir Teoriya vuzliv Teoriya kisPosilannya RedaguvatiSydney A Morris 2016 Topology without tears angl Elementary Topology A First Course Viro Ivanov Netsvetaev Kharlamov St Petersburg University An invitation to Topology Planar Machines web site angl Geometry and Topology Index MacTutor History of Mathematics archive angl ODP category The Topological Zoo at The Geometry Center Topology Atlas Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster Topology Atlas Topology Glossary Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Topologiya amp oldid 38216748