Gomotopichni grupi invariant topologichnih prostoriv odne z osnovnih ponyat algebrichnoyi topologiyi Neformalno kazhuchi voni klasifikuyut vidobrazhennya z bagatovimirnih sfer v zadanij topologichnij prostir z tochnistyu do neperervnoyi deformaciyi Nezvazhayuchi na prostotu oznachennya gomotopichni grupi duzhe skladni v obchislenni navit dlya sfer Ce vidriznyaye yih vid grup gomologij yaki prostishe obchislyuyutsya ale skladnishe oznachayutsya Najprostishim okremim vipadkom gomotopichnih grup ye fundamentalna grupa Fundamentalna grupa bula vvedena Anri Puankare vishi gomotopichni grupi Vitoldom Gurevichem Nezvazhayuchi na prostotu yih oznachennya obchislennya konkretnih grup navit dlya takih prostih prostoriv yak bagatovimirni sferi Sn chasto ye duzhe vazhkim zavdannyam prichomu zagalni metodi buli otrimani tilki v seredini XX stolittya z poyavoyu spektralnih poslidovnostej Zmist 1 Oznachennya 2 Zalezhnist vid pochatkovoyi tochki 3 Vlastivosti 4 Prikladi 5 Vidnosni gomotopichni grupi 5 1 Oznachennya 5 2 Vlastivosti 5 3 Tochna gomotopichna poslidovnist 6 Div takozh 7 LiteraturaOznachennya RedaguvatiNehaj X displaystyle X nbsp topologichnij prostir x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp I n R n displaystyle I n subset mathbb R n nbsp odinichnij kub tobto I n t 1 t 2 t n 0 t i 1 displaystyle I n t 1 t 2 ldots t n 0 leqslant t i leqslant 1 nbsp i I n displaystyle partial I n nbsp granicya cogo kuba tobto mnozhina tochok kuba dlya yakih t i 0 displaystyle t i 0 nbsp abo 1 dlya deyakogo i displaystyle i nbsp Mnozhina vidnosnih gomotopichnih klasiv f displaystyle f nbsp neperervnih vidobrazhen f I n X displaystyle f colon I n to X nbsp dlya yakih f I n x 0 X displaystyle f partial I n x 0 in X nbsp poznachayetsya p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp prichomu I n displaystyle partial I n nbsp perehodit v tochku x 0 displaystyle x 0 nbsp pri vsih vidobrazhennyah i gomotopiyah Ekvivalentno oznachennya mozhna dati yak mnozhinu klasiv gomotopiyi vidobrazhen f S n X displaystyle f S n to X nbsp iz n sferi S n displaystyle S n nbsp iz vidilenoyu tochkoyu s 0 displaystyle s 0 nbsp dlya yakih f s 0 x 0 displaystyle f s 0 x 0 nbsp i vsi gomotopiyi ye vidnosnimi shodo s 0 displaystyle s 0 nbsp Na cij mnozhini klasiv gomotopiyi mozhna viznachiti dobutok elementiv f g f g displaystyle f g f g nbsp de f g t 1 t 2 t n f 2 t 1 t 2 t n displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n f 2t 1 t 2 ldots t n nbsp yaksho 0 t 1 1 2 displaystyle 0 leqslant t 1 leqslant frac 1 2 nbsp f g t 1 t 2 t n g 2 t 1 1 t 2 t n displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n g 2t 1 1 t 2 ldots t n nbsp yaksho 1 2 t 1 1 displaystyle frac 1 2 leqslant t 1 leqslant 1 nbsp Oskilki na granici kuba f g x 0 displaystyle f g x 0 nbsp to dobutok ye oznachenim korektno Ekvivalentno v oznachenni dobutku mozhna vzyati bud yaku koordinatu zamist pershoyi Takozh ekvivalentnim ye oznachennya dobutku na mnozhini klasiv vidnosnoyi gomotopiyi vidobrazhen f S n X displaystyle f S n to X nbsp dlya yakih f s 0 x 0 displaystyle f s 0 x 0 nbsp yake ye dane u statti H prostir dlya asociativnih H prostoriv iz obernenimi elementami tobto f g f g m displaystyle f g nabla f vee g m nbsp Dijsno kolo S 1 displaystyle S 1 nbsp ye asociativnim H prostorom iz obernenimi elementami tomu takim ye i sfera S 2 displaystyle S 2 nbsp oskilki redukovana nadbudova asociativnogo H prostoru iz obernenimi elementami tezh ye takim prostorom a S 2 displaystyle S 2 nbsp ye gomeomorfnoyu redukovanij nadbudovi S 1 displaystyle S 1 nbsp Dali oskilki kozhna gipersfera S n displaystyle S n nbsp ye gomeomorfnoyu redukovanij nadbudovi S n 1 displaystyle S n 1 nbsp to za indukciyeyu vsi S n displaystyle S n nbsp ye asociativnimi H prostorami iz obernenimi elementami i dlya nih maye zmist vvedene oznachennya Usi ci oznachennya zadayut yedinij dobutok na mnozhini klasiv vidnosnoyi gomotopiyi Legko pereviriti sho f g displaystyle f g nbsp zalezhit tilki vid klasu gomotopiyi f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp Cej dobutok zadovolnyaye vsim aksiomam grupi U vipadku n 1 displaystyle n 1 nbsp oderzhuyetsya kompoziciya zamknutih shlyahiv otzhe p 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 nbsp ye fundamentalnoyu grupoyu Pri n gt 1 p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp nazivayutsya vishimi gomotopichnimi grupami Okrim togo chasto p 0 X x 0 displaystyle pi 0 X x 0 nbsp poznachayetsya mnozhina klasiv gomotopiyi vidobrazhen f S 0 X displaystyle f colon S 0 to X nbsp tobto vidobrazhen iz dvohelementnoyi mnozhini u X Mnozhina p 0 X x 0 displaystyle pi 0 X x 0 nbsp ye rivnoyu mnozhini linijnih komponent zv yaznosti prostoru X Na nij zagalom ne isnuye zmistovnoyi grupovoyi strukturi tomu p 0 X x 0 displaystyle pi 0 X x 0 nbsp ne rozglyadayetsya yak gomotopichna grupa ale vona maye deyaki spilni vlastivosti iz gomotopichnimi grupami Neperervnomu vidobrazhennyu prostoriv iz vidilenimi tochkami F X x 0 Y y 0 displaystyle F colon X x 0 to Y y 0 nbsp vidpovidaye gomomorfizm F p n X x 0 p n Y y 0 displaystyle F colon pi n X x 0 to pi n Y y 0 nbsp prichomu ce vidpovidnist ye funktorialnoyu tobto kompoziciyi neperervnih vidobrazhen vidpovidaye dobutok gomomorfizmiv gomotopichnih grup F G F G displaystyle FG F G nbsp a totozhnomu vidobrazhennyu vidpovidaye totozhnij gomomorfizm i d i d displaystyle id id nbsp Yaksho vidobrazhennya F displaystyle F nbsp ye gomotopnim G displaystyle G nbsp to F G displaystyle F G nbsp Zalezhnist vid pochatkovoyi tochki RedaguvatiNa vidminu vid gomologichnih grup H n X displaystyle H n X nbsp u viznachenni gomotopichnih grup p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp vazhlivoyu ye vidilena tochka x 0 displaystyle x 0 nbsp Nehaj x 0 displaystyle x 0 nbsp i x 1 displaystyle x 1 nbsp ye dvoma tochkami sho nalezhat odnij komponenti linijnoyi zv yaznosti prostoru X displaystyle X nbsp i g displaystyle gamma nbsp ye shlyahom mizh cimi dvoma tochkami Todi cej shlyah porodzhuye gomomorfizmi g p n X x 0 p n X x 1 displaystyle gamma colon pi n X x 0 to pi n X x 1 nbsp iz takimi vlastivostyami Yaksho dva shlyahi g displaystyle gamma nbsp i d displaystyle delta nbsp ye gomotopnimi vidnosno 0 i 1 to yak gomomorfizmi g d displaystyle gamma delta nbsp Yaksho poznachiti i x 0 displaystyle i x 0 nbsp totozhnij shlyah tobto i x 0 t x 0 displaystyle i x 0 t x 0 nbsp 0 t 1 displaystyle 0 leqslant t leqslant 1 nbsp todi i x 0 displaystyle i x 0 nbsp ye totozhnim gomomorfizmom Yaksho x 2 displaystyle x 2 nbsp ye she odniyeyu tochkoyu u tij zhe komponenti zv yaznosti i b displaystyle beta nbsp ye shlyahom vid x 1 displaystyle x 1 nbsp do x 2 displaystyle x 2 nbsp a g b displaystyle gamma cdot beta nbsp poznachaye dobutok shlyahiv yakij ye shlyahom vid x 0 displaystyle x 0 nbsp do x 2 displaystyle x 2 nbsp to g b b g displaystyle gamma cdot beta beta circ gamma nbsp Yaksho F X Y displaystyle F colon X to Y nbsp ye neperervnim vidobrazhennyam prostoriv dlya yakogo F x 0 y 0 displaystyle F x 0 y 0 nbsp F x 1 y 1 displaystyle F x 1 y 1 nbsp i F displaystyle F nbsp poznachaye porodzheni gomomorfizmi gomotopichnih grup u vidpovidnih vidilenih tochkah to F g F g F displaystyle F circ gamma F circ gamma circ F nbsp yak gomomorfizmi iz p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp u p n Y y 0 displaystyle pi n Y y 0 nbsp Zokrema yaksho x 0 x 1 displaystyle x 0 x 1 nbsp to petli iz bazovoyu tochkoyu x 0 displaystyle x 0 nbsp porodzhuyut avtomorfizmi na grupah p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp tobto p 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 nbsp ye grupoyu avtomorfizmiv dlya vsih gomotopichnih grup Vazhlivimi ye vipadki koli vsi taki avtomorfizmi dlya p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp ye totozhnimi Inodi prostir dlya yakogo ce vikonuyetsya dlya vsih tochok nazivayetsya n displaystyle n nbsp prostim U takomu prostori vsi grupi p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp nezalezhno vid vidilenoyi tochki ye izomorfnimi Dlya linijno zv yazanogo prostoru umovu dostatno pereviriti lishe dlya odniyeyi vidilenoyi tochki Okrim togo dlya linijno zv yazanogo n displaystyle n nbsp prostogo prostoru elementi grupi p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp ye u biyektivnij vidpovidnosti iz klasami gomotopiyi ne vidnosno vidilenih tochok vidobrazhen f S n X displaystyle f colon S n to X nbsp Prikladami linijno zv yazanih prostoriv sho ye n displaystyle n nbsp prostimi ye odnozv yazni prostori i linijno zv yazani H prostori ne obov yazkovo asociativni chi z obernenimi elementami Vidpovidno dlya takih prostoriv vsi gomotopichni grupi dlya riznih vidilenih tochok ye izomorfnimi Vlastivosti RedaguvatiTodi yak fundamentalna grupa p 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 nbsp v zagalnomu vipadku ye neabelevoyu dlya vsih n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp grupi p n X x 0 displaystyle pi n X x 0 nbsp ye abelevimi tobto f g g f displaystyle f g g f nbsp Yaksho p X x 0 X x 0 displaystyle p colon tilde X tilde x 0 to X x 0 nbsp ye proyekciyeyu iz nakrittya prostoru to porodzhenij gomomorfizm gomotopichnih grup p p n X x 0 p X x 0 displaystyle p colon pi n tilde X tilde x 0 to pi X x 0 nbsp ye izomorfizmom dlya vsih n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp Dlya n 1 displaystyle n geqslant 1 nbsp dlya tenzornih dobutkiv vikonuyetsya rivnist p n X Y p n X p n Y displaystyle pi n X times Y cong pi n X oplus pi n Y nbsp Dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp dlya buketu prostoriv vikonuyetsya rivnist p n X Y p n X p n Y p n 1 X Y X Y displaystyle pi n X wedge Y cong pi n X oplus pi n Y oplus pi n 1 X times Y X wedge Y nbsp de v ostannomu dobutku ye vidnosna gomotopichna grupa Teorema Gurevicha Dlya bud yakogo linijno zv yazanogo topologichnogo prostoru X i dodatnogo chisla n displaystyle n nbsp isnuye gomomorfizm grup h p n X H n X displaystyle h colon pi n X to H n X nbsp yakij dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp u vipadku yaksho p i X 0 1 i n 1 displaystyle pi i X cong 0 quad 1 leq i leq n 1 nbsp ye izomorfizmom Prikladi RedaguvatiDlya 0 lt k lt n displaystyle 0 lt k lt n nbsp gomotopichni grupi p k S n 0 displaystyle pi k S n 0 nbsp dlya k n displaystyle k n nbsp natomist p n S n Z displaystyle pi n S n cong mathbb Z nbsp Dlya gomotopichnih grup iz k gt n displaystyle k gt n nbsp usi p k S n displaystyle pi k S n nbsp ye skinchennimi grupami za vinyatkom grup vidu p 4 k 1 S 2 k 0 displaystyle pi 4k 1 S 2k 0 nbsp yaki ye pryamimi sumami Z displaystyle mathbb Z nbsp i skinchennih grup Takozh dlya kozhnogo chisla k displaystyle k nbsp isnuye n 0 displaystyle n 0 nbsp take sho dlya vsih n n 0 displaystyle n geqslant n 0 nbsp grupi p n k S n displaystyle pi n k S n nbsp ye izomorfnimi Dlya prostoriv X yaki mayut styaguvane universalne nakrittya p n X 0 displaystyle pi n X 0 nbsp dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp Napriklad dlya tora T n displaystyle T n nbsp dobutku n kil universalnim nakrittyam ye R n displaystyle mathbb R n nbsp tozh p n T n 0 displaystyle pi n T n 0 nbsp dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp Natomist fundamentalna grupa ye vilnoyu abelevoyu grupoyu rangu n displaystyle n nbsp Vidnosni gomotopichni grupi RedaguvatiOznachennya Redaguvati Vidnosni gomotopichni grupi viznachayutsya dlya prostoru X displaystyle X nbsp jogo pidprostoru A X displaystyle A subset X nbsp i vidilenoyi tochki x 0 A displaystyle x 0 in A nbsp Nehaj I n R n displaystyle I n subset mathbb R n nbsp odinichnij kub I n t 1 t 2 t n 0 t i 1 displaystyle I n t 1 t 2 ldots t n colon 0 leqslant t i leqslant 1 nbsp I n displaystyle partial I n nbsp granicya cogo kuba a I n 1 I n displaystyle I n 1 subset partial I n nbsp gran kuba yaka viznachayetsya rivnyannyam t n 0 displaystyle t n 0 nbsp Mnozhina gomotopichnih klasiv f displaystyle f nbsp neperervnih vidobrazhen f I n X displaystyle f colon I n to X nbsp dlya yakih f I n 1 A displaystyle f colon I n 1 to A nbsp i na inshih granyah f I n Int I n 1 x 0 displaystyle f colon partial I n setminus operatorname Int I n 1 to x 0 nbsp poznachayetsya p n X A x 0 displaystyle pi n X A x 0 nbsp zokrema I n 1 displaystyle I n 1 nbsp perehodit v A displaystyle A nbsp a I n Int I n 1 displaystyle partial I n setminus operatorname Int I n 1 nbsp v tochku x 0 displaystyle x 0 nbsp pri vsih vidobrazhennyah i gomotopiyah Pri n 2 displaystyle n geqslant 2 nbsp cya mnozhina utvoryuye grupu vidnosnu gomotopichnu grupu poryadku n displaystyle n nbsp Dobutok yak i vishe zadayetsya yak f g f g displaystyle f g f g nbsp de f g t 1 t 2 t n f 2 t 1 t 2 t n displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n f 2t 1 t 2 ldots t n nbsp yaksho 0 t 1 1 2 displaystyle 0 leqslant t 1 leqslant frac 1 2 nbsp f g t 1 t 2 t n g 2 t 1 1 t 2 t n displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n g 2t 1 1 t 2 ldots t n nbsp yaksho 1 2 t 1 1 displaystyle frac 1 2 leqslant t 1 leqslant 1 nbsp Pri usih gomotopiyah u cih oznachennyah yak i vishe I n 1 displaystyle I n 1 nbsp perehodit v A displaystyle A nbsp a I n Int I n 1 displaystyle partial I n setminus operatorname Int I n 1 nbsp v tochku x 0 displaystyle x 0 nbsp Ekvivalentno mozhna dati oznachennya iz vikoristannyam usih koordinat okrim t n displaystyle t n nbsp Vlastivosti Redaguvati Mozhna dati ekvivalentne oznachennya vidnosnih gomotopichnih grup rozglyanuvshi vidobrazhennya vkladennya i A X displaystyle i colon A to X nbsp i jogo prostir shlyahiv vidobrazhennya L i displaystyle L i nbsp Cej prostir ye pidprostorom dobutku A L B displaystyle A times LB nbsp de a l L i displaystyle a times lambda in L i nbsp yaksho l 0 a displaystyle lambda 0 a nbsp Tut L B displaystyle LB nbsp poznachaye prostir shlyahiv prostoru X displaystyle X nbsp tobto jogo elementami ye neperervni vidobrazhennya l I B displaystyle lambda colon I to B nbsp dlya yakih l 1 x 0 displaystyle lambda 1 x 0 nbsp podibno do prostoru petel iz kompaktno vidkritoyu topologiyeyu Vidilenoyu tochkoyu u L i displaystyle L i nbsp ye x 0 l 0 displaystyle x 0 times lambda 0 nbsp de l 0 displaystyle lambda 0 nbsp ye totozhnim vidobrazhennyam iz znachennyam x 0 displaystyle x 0 nbsp Todi p n X A x 0 p n 1 L i x 0 l 0 displaystyle pi n X A x 0 pi n 1 L i x 0 lambda 0 nbsp tobto vidnosna gomotopichna grupa ye izomorfnoyu zvichajnij gomotopichnij grupi vidpovidnogo prostoru shlyahiv vidobrazhennya iz poryadkom na odinicyu menshim Takozh mozhna rozglyanuti mnozhinu p 1 X A x 0 p 0 L i x 0 l 0 displaystyle pi 1 X A x 0 pi 0 L i x 0 lambda 0 nbsp yaka zagalom ne bude grupoyu Neperervnomu vidobrazhennyu par prostoriv iz vidilenimi tochkami F X A x 0 Y B y 0 displaystyle F colon X A x 0 to Y B y 0 nbsp vidpovidaye gomomorfizm F p n X A x 0 p n Y B y 0 displaystyle F colon pi n X A x 0 to pi n Y B y 0 nbsp prichomu ce vidpovidnist ye funktorialnoyu tobto kompoziciyi neperervnih vidobrazhen vidpovidaye dobutok gomomorfizmiv gomotopichnih grup F G F G displaystyle FG F G nbsp a totozhnomu vidobrazhennyu vidpovidaye totozhnij gomomorfizm i d i d displaystyle id id nbsp Yaksho vidobrazhennya F displaystyle F nbsp ye gomotopnim do G displaystyle G nbsp yak vidobrazhennya par iz vidilenimi tochkami to F G displaystyle F G nbsp Yaksho n 3 displaystyle n geqslant 3 nbsp to p n X A x 0 displaystyle pi n X A x 0 nbsp ye abelevoyu grupoyu Tochna gomotopichna poslidovnist Redaguvati Vkladennya i A x 0 X x 0 displaystyle i colon A x 0 to X x 0 nbsp indukuye gomomorfizm i p n A x 0 p n X x 0 displaystyle i colon pi n A x 0 to pi n X x 0 nbsp a vkladennya j X x 0 X A x 0 displaystyle j colon X x 0 to X A x 0 nbsp tut X x 0 displaystyle X x 0 nbsp slid rozumiti yak X x 0 x 0 displaystyle X x 0 x 0 nbsp indukuye gomomorfizm j p n X x 0 p n X A x 0 displaystyle j colon pi n X x 0 to pi n X A x 0 nbsp Bud yakij element f p n X A x 0 displaystyle f in pi n X A x 0 nbsp viznachayetsya vidobrazhennyam f displaystyle f nbsp yake zokrema perevodit I n 1 displaystyle I n 1 nbsp v A displaystyle A nbsp prichomu na I n 1 displaystyle partial I n 1 nbsp f totozhno dorivnyuye x 0 displaystyle x 0 nbsp viznachayuchi element z p n 1 A x 0 displaystyle pi n 1 A x 0 nbsp Takim chinom mi otrimuyemo vidobrazhennya p n X A x 0 p n 1 A x 0 displaystyle partial pi n X A x 0 to pi n 1 A x 0 nbsp yake ye gomomorfizmom Mi mayemo taku poslidovnist grup i gomomorfizmiv p n A x 0 i n p n X x 0 j n p n X A x 0 n p n 1 A x 0 displaystyle dots longrightarrow pi n A x 0 stackrel i n longrightarrow pi n X x 0 stackrel j n longrightarrow pi n X A x 0 stackrel partial n longrightarrow pi n 1 A x 0 longrightarrow dots nbsp Cya poslidovnist ye tochnoyu tobto obraz bud yakogo gomomorfizmu zbigayetsya z yadrom nastupnogo gomomorfizmu Zvidsi v razi koli p n X x 0 0 displaystyle pi n X x 0 0 nbsp dlya vsih n 1 displaystyle n geqslant 1 nbsp granichnij gomomorfizm p n 1 X A x 0 p n A x 0 displaystyle partial colon pi n 1 X A x 0 to pi n A x 0 nbsp bude izomorfizmom Div takozh RedaguvatiGomotopiya Teorema Gurevicha Fundamentalna grupaLiteratura RedaguvatiHatcher Allen 2002 Algebraic Topology Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 79540 0 Arhiv originalu za 20 lyutogo 2012 Procitovano 11 veresnya 2020 Section 3 C Maunder Charles Richard Francis 1980 Algebraic topology Cambridge University Press ISBN 9780521231619 Whitehead George W 1978 Elements of Homotopy Theory Graduate Texts in Mathematics 61 Springer Verlag ISBN 978 0 387 90336 1 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gomotopichni grupi amp oldid 36244471
