Простір петель конструкція у топології особливо важлива у теорії гомотопії Зміст 1 Означення 2 як функтор 3 Гомотопії та

Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.

Означення Редагувати

Нехай є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай є простором усіх неперервних функцій , із компактно-відкритою топологією. Простором петель називається підпростір

з топологією підпростору.

Еквівалентно можна розглянути одиничне коло із деякою виділеною точкою і тоді задати

Елементами простору є замкнуті контури із початковою та кінцевою точкою .

Простір петель є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю для всіх .

Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із у із компактно-відкритою топологією.

Простір петель як функтор Редагувати

Якщо і є топологічними просторами із виділеними точками і є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель

Якщо є третім топологічним простором із виділеною точкою і є неперервним відображенням то

Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.

Гомотопії та фундаментальні групи Редагувати

Гомотопією між двома петлями називається неперервне відображення

Можна уявити, що петлі і за допомогою відображення постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі також є петлями з виділеною точкою . Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.

Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на позначається . Клас еквівалентності петлі позначається і називається класом гомотопії.

Якщо задано дві петлі , для них можна дати означення добутку , як петлі, яка спочатку пробігає петлю , а потім . Точніше

Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині класів гомотопії: . Разом із цим добутком є групою, яка називається фундаментальною групою для Нейтральним елементом цієї групи є , клас гомотопії постійної петлі.

Зв'язок із редукованою надбудовою Редагувати

За означенням редукована надбудова топологічного простору із виділеною точкою є фактор-простором

Нехай позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору є виділеною точкою у . Якщо є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення

одержується неперервне відображення

і також неперервне відображення

Оскільки образами і при відображенні є виділена точка у і є відображенням просторів із виділеною точкою, то , тобто є елементом простору петель .

Таким чином існує бієктивне відображення

у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори і є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.

Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором .

Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій і можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.

Важливим частковим випадком є коли тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням є гомотопічною групою , а редукована надбудова є гомеоморфною гіперсфері . Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою ізоморфізм:

Примітки Редагувати

Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Розділ 4.4: Loop Space

Див. також Редагувати

Література Редагувати

Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.
Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7

[1] Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Розділ 4.4: Loop Space