В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної гомологічної групи з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому.
Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті.
Приклади Редагувати
- Для сфери
- Для проективної площини
- Для тора
Приклад: перше число Бетті в теорії графів Редагувати
В топологічній теорії графів перше число Бетті графу G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює
Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.
Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення.
Властивості Редагувати
- Для скінченного симпліційного комплекса K групи гомологій Hk(K) є скінченно-породженими і, відтак, мають скінченний ранг. Якщо k перевищує максимальну розмірність симплексів K, то відповідні групи гомологій нульові. У цьому випадку
- Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином
- Функція Пуанкаре є поліномом.
- Згідно з теоремою Кюннета для будь-яких двох просторів X і Y, вірно наступне співвідношення для функцій Пуанкаре
- Якщо X — замкнутий і орієнтовний n-вимірний многовид, то, згідно з двоїстістю Пуанкаре, для будь-якого k:
Література Редагувати
- Александров П. С, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.