Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе теорію категорій в сенсі Люстерника — Шнірельмана.
Основні результати ред.
- Якщо множина компактна, не перетинається з краєм многовиду і містить рівно одну критичну точку, що має індекс Морса , то діффеоморфна многовиду, отриманому з приклеюванням ручки індексу k, див. хірургія.
- Кожній функції Морса на гладкому многовиді (без края) відповідає гомотопічно еквівалентний многовиду клітинний простір, клітини якого перебувають у бієктивній відповідності до критичних точок функції , причому розмірність клітини дорівнює індексу відповідної критичної точки. Важливі наслідки цього подання:
- Нерівність Морса.
- Інструмент для вивчення топології многовидів. Причому важливі не тільки індекси, але і кількість критичних точок. Припустимо, на замкнутому многовиді задана функція Морса , що має в точности критичних точок (індекси яких невідомі), — як це впливає на топологію многовиду?
- Випадок неможливий згідно з нерівностями Морса.
- Випадок : Теорема Ріба про сферу стверджує, що гомеоморфно (але, взагалі кажучи, не дифеоморфно) сфері .
- Випадок можливий тільки в деяких малих розмірностях, при цьому гомеоморфно многовиду Ілса — Кейпера.
Література ред.
- Милнор Дж. Теория Морса = Morse Theory. — М. : Мир, 1965. — 184 с.
- Морс М. Вариационное исчисление в целом = The Calculus of Variations in the Large. — Ижевск : РХД, 2010. — 512 с.
- Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М. : Наука, 1971. — 568 с.