www.wikidata.uk-ua.nina.az

Диференціальна топологія є розділом математики в якому досліджуються диференційовані функції на диференційованих многови

Диференціальна топологія

Диференціальна топологія є розділом математики, в якому досліджуються диференційовані функції на диференційованих многовидах. Вона тісно пов'язана з диференціальною геометрією і разом вони складають геометричну теорію диференційованих многовидів.

Опис ред.

Диференціальна топологія має справу з властивостями та структурами многовиду, з єдиною вимогою до многовиду — задання гладкої структури[en], тобто такої, яка дозволяє застосувати математичний аналіз на многовиді. Гладкі многовиди є більш «гнучкими», ніж многовиди з додатковими геометричними структурами, наявність таких вимог обмежує класи многовидів та перетворень[en], які розглядаються у диференціальній топології. Наприклад, об'єм та ріманова кривина є інваріантами, які дозволяють розрізняти різні геометричні структури на одному многовиді, тобто можна плавно «розрівняти» певні многовиди, але це може потребувати викривлення простору і зміни кривини або об'єму. Наприклад, можна відобразити ділянку циліндра на евклідову площину.

З іншого боку, гладкі многовиди більш жорсткі, ніж топологічні многовиди. Джон Мілнор виявив, що деякі сфери мають більш ніж одну гладку структуру — див. екзотичну сферу та теорему Дональдсона[en]. Керваре показав топологічні многовиди, які не мають гладкої структури. Деякі конструкції теорії гладкого многовиду, такі як існування дотичних зв'язків, можуть бути виконані в топологічній обстановці з набагато більше роботи, а інші не можуть.

Однією з основних тем в диференціальній топології є вивчення особливих видів гладких відображень між многовидами, а саме а саме імерсія і субмерсія, а також перехрещення підмноговидів через трансверсальність. Загалом, цікавлять властивості та інваріанти гладких многовидів, які переносяться дифеоморфізмами, інший особливий вид гладкого відображення . Теорія Морса — це ще одна гілка диференціальної топології, в якій топологічна інформація про многовиди виводиться з змін у ранзі якобіанів функції.

Диференціальна топологія та диференціальна геометрія ред.

Диференціальна топологія та диференціальна геометрія спочатку характеризуються їх подібністю. Вони обидва вивчають в першу чергу властивості диференційованих многовидів, іноді з різними накладами на них структур.

Одна з головних відмінностей полягає в характері проблем, які намагаються розглянути кожен предмет. З одного погляду диференціальна топологія відрізняється від диференціальної геометрії, вивчаючи в першу чергу ті проблеми, які по суті є глобальними. Розглянемо приклад чашки для кави та пончика (Див. цей приклад [ 14 листопада 2017 у Wayback Machine.]). З точки зору диференціальної топології, пончик і чашка для кави однакові (у певному сенсі). Це, по суті, глобальна точка зору, однак, тому що диференціальному топологу неможливо визначити, чи є обидва об'єкти однаковими (у цьому сенсі), дивлячись на лише крихітну (локальну) частину одного з них. Він або вона повинні мати доступ до кожного цілого (глобального) об'єкта.

З точки зору диференціальної геометрії кавова чашка та пончик відрізняються, оскільки неможливо обертати чашку для кави таким чином, щоб його конфігурація була такою ж, як і пончик. Це також глобальний спосіб думати про проблему. Але важлива відмінність полягає в тому, що геометру не потрібен цілий об'єкт, щоб вирішити це. Наприклад, дивлячись лише на крихітну частину ручки, він може вирішити, що чашка для кави відрізняється від пончика, оскільки ручка є тоншою (або більш вигнутою) ніж будь-яка частина пончика.

Коротко кажучи, диференційована топологія вивчає структури на многовидах, які в певному сенсі не мають цікавої локальної структури. Диференціальна геометрія вивчає структури на многовидах, які мають цікаву локальну (а іноді навіть нескінченно малу) структуру.

Більш математично, наприклад, проблема побудови дифеоморфізму між двома многовидами тієї ж розмірності є глобальною, оскільки локально два таких многовиди завжди дифеоморфні. Аналогічно, проблема обчислення кількості на многовиді, інваріантна при диференційованих відображеннях, за своєю суттю є глобальною, оскільки будь-який локальний інваріант буде тривіальним в тому сенсі, що він вже виявляється в топології Rn. Крім того, диференціальна топологія не обмежує себе обов'язково вивченням дифеоморфізму. Наприклад, симплектична топологія, підгалузь диференціальної топології — вивчає глобальні властивості симплектичного многовиду. Диференціальна геометрія стосується проблем (які можуть бути локальними або глобальними), які завжди мають деякі нетривіальні локальні властивості. Таким чином, диференціальна геометрія може вивчати диференційовані многовиди, обладнані з'єднанням, метрикою (яка може бути римановою, псевдоримановою або фінслеровою), особливого роду розподілу (наприклад, структури CR) тощо.

Ця різниця між диференціальною геометрією та диференціальною топологією розмивається, однак, у питаннях, що стосуються локальних інваріантів диффеоморфізма, таких як дотичний простір в точці. Диференціальна топологія також розглядає такі питання, які, зокрема, стосуються властивостей диференційовних відображень на Rn (наприклад, дотичні розшарування, джетні розшарування, теорема про продовження Уїтні[en] та інше).

Різниця в абстрактному вигляді коротка:

  • Диференціальна топологія полягає у вивченні (нескінченно малих, локальних і глобальних) властивостей структур на многовидах, що мають лише тривіальні локальні модулі
  • Диференціальна геометрія — це дослідження структур на многовидах, що мають один або декілька нетривіальних локальних модулів.

Навчальні матеріали ред.

Посилання ред.

Джерела ред.

Примітки ред.

  1. (Kervaire, 1960)
  2. (Lashof, 1972)
  3. (Hirsch, 1997)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Diferencialna topologiya ye rozdilom matematiki v yakomu doslidzhuyutsya diferencijovani funkciyi na diferencijovanih mnogovidah Vona tisno pov yazana z diferencialnoyu geometriyeyu i razom voni skladayut geometrichnu teoriyu diferencijovanih mnogovidiv Zmist 1 Opis 2 Diferencialna topologiya ta diferencialna geometriya 3 Navchalni materiali 4 Posilannya 5 Dzherela 6 PrimitkiOpis red Diferencialna topologiya maye spravu z vlastivostyami ta strukturami mnogovidu z yedinoyu vimogoyu do mnogovidu zadannya gladkoyi strukturi en tobto takoyi yaka dozvolyaye zastosuvati matematichnij analiz na mnogovidi Gladki mnogovidi ye bilsh gnuchkimi nizh mnogovidi z dodatkovimi geometrichnimi strukturami nayavnist takih vimog obmezhuye klasi mnogovidiv ta peretvoren en yaki rozglyadayutsya u diferencialnij topologiyi Napriklad ob yem ta rimanova krivina ye invariantami yaki dozvolyayut rozriznyati rizni geometrichni strukturi na odnomu mnogovidi tobto mozhna plavno rozrivnyati pevni mnogovidi ale ce mozhe potrebuvati vikrivlennya prostoru i zmini krivini abo ob yemu Napriklad mozhna vidobraziti dilyanku cilindra na evklidovu ploshinu Z inshogo boku gladki mnogovidi bilsh zhorstki nizh topologichni mnogovidi Dzhon Milnor viyaviv sho deyaki sferi mayut bilsh nizh odnu gladku strukturu div ekzotichnu sferu ta teoremu Donaldsona en Kervare pokazav topologichni mnogovidi yaki ne mayut gladkoyi strukturi 1 Deyaki konstrukciyi teoriyi gladkogo mnogovidu taki yak isnuvannya dotichnih zv yazkiv 2 mozhut buti vikonani v topologichnij obstanovci z nabagato bilshe roboti a inshi ne mozhut Odniyeyu z osnovnih tem v diferencialnij topologiyi ye vivchennya osoblivih vidiv gladkih vidobrazhen mizh mnogovidami a same a same imersiya i submersiya a takozh perehreshennya pidmnogovidiv cherez transversalnist Zagalom cikavlyat vlastivosti ta invarianti gladkih mnogovidiv yaki perenosyatsya difeomorfizmami inshij osoblivij vid gladkogo vidobrazhennya Teoriya Morsa ce she odna gilka diferencialnoyi topologiyi v yakij topologichna informaciya pro mnogovidi vivoditsya z zmin u ranzi yakobianiv funkciyi Diferencialna topologiya ta diferencialna geometriya red Diferencialna topologiya ta diferencialna geometriya spochatku harakterizuyutsya yih podibnistyu Voni obidva vivchayut v pershu chergu vlastivosti diferencijovanih mnogovidiv inodi z riznimi nakladami na nih struktur Odna z golovnih vidminnostej polyagaye v harakteri problem yaki namagayutsya rozglyanuti kozhen predmet Z odnogo poglyadu 3 diferencialna topologiya vidriznyayetsya vid diferencialnoyi geometriyi vivchayuchi v pershu chergu ti problemi yaki po suti ye globalnimi Rozglyanemo priklad chashki dlya kavi ta ponchika Div cej priklad Arhivovano 14 listopada 2017 u Wayback Machine Z tochki zoru diferencialnoyi topologiyi ponchik i chashka dlya kavi odnakovi u pevnomu sensi Ce po suti globalna tochka zoru odnak tomu sho diferencialnomu topologu nemozhlivo viznachiti chi ye obidva ob yekti odnakovimi u comu sensi divlyachis na lishe krihitnu lokalnu chastinu odnogo z nih Vin abo vona povinni mati dostup do kozhnogo cilogo globalnogo ob yekta Z tochki zoru diferencialnoyi geometriyi kavova chashka ta ponchik vidriznyayutsya oskilki nemozhlivo obertati chashku dlya kavi takim chinom shob jogo konfiguraciya bula takoyu zh yak i ponchik Ce takozh globalnij sposib dumati pro problemu Ale vazhliva vidminnist polyagaye v tomu sho geometru ne potriben cilij ob yekt shob virishiti ce Napriklad divlyachis lishe na krihitnu chastinu ruchki vin mozhe virishiti sho chashka dlya kavi vidriznyayetsya vid ponchika oskilki ruchka ye tonshoyu abo bilsh vignutoyu nizh bud yaka chastina ponchika Korotko kazhuchi diferencijovana topologiya vivchaye strukturi na mnogovidah yaki v pevnomu sensi ne mayut cikavoyi lokalnoyi strukturi Diferencialna geometriya vivchaye strukturi na mnogovidah yaki mayut cikavu lokalnu a inodi navit neskinchenno malu strukturu Bilsh matematichno napriklad problema pobudovi difeomorfizmu mizh dvoma mnogovidami tiyeyi zh rozmirnosti ye globalnoyu oskilki lokalno dva takih mnogovidi zavzhdi difeomorfni Analogichno problema obchislennya kilkosti na mnogovidi invariantna pri diferencijovanih vidobrazhennyah za svoyeyu suttyu ye globalnoyu oskilki bud yakij lokalnij invariant bude trivialnim v tomu sensi sho vin vzhe viyavlyayetsya v topologiyi Rn Krim togo diferencialna topologiya ne obmezhuye sebe obov yazkovo vivchennyam difeomorfizmu Napriklad simplektichna topologiya pidgaluz diferencialnoyi topologiyi vivchaye globalni vlastivosti simplektichnogo mnogovidu Diferencialna geometriya stosuyetsya problem yaki mozhut buti lokalnimi abo globalnimi yaki zavzhdi mayut deyaki netrivialni lokalni vlastivosti Takim chinom diferencialna geometriya mozhe vivchati diferencijovani mnogovidi obladnani z yednannyam metrikoyu yaka mozhe buti rimanovoyu psevdorimanovoyu abo finslerovoyu osoblivogo rodu rozpodilu napriklad strukturi CR tosho Cya riznicya mizh diferencialnoyu geometriyeyu ta diferencialnoyu topologiyeyu rozmivayetsya odnak u pitannyah sho stosuyutsya lokalnih invariantiv diffeomorfizma takih yak dotichnij prostir v tochci Diferencialna topologiya takozh rozglyadaye taki pitannya yaki zokrema stosuyutsya vlastivostej diferencijovnih vidobrazhen na Rn napriklad dotichni rozsharuvannya dzhetni rozsharuvannya teorema pro prodovzhennya Uyitni en ta inshe Riznicya v abstraktnomu viglyadi korotka Diferencialna topologiya polyagaye u vivchenni neskinchenno malih lokalnih i globalnih vlastivostej struktur na mnogovidah sho mayut lishe trivialni lokalni moduli Diferencialna geometriya ce doslidzhennya struktur na mnogovidah sho mayut odin abo dekilka netrivialnih lokalnih moduliv Navchalni materiali red ukr Kurs lekcij Diferencialna topologiya na YouTube S Maksimenko Institut matematiki NAN Ukrayini angl Kurs lekcij Dzhona Milnora Differential Topology na YouTube angl Konspekt lekcij Dzhona Milnora Differential Topology Arhivovano 9 zhovtnya 2020 u Wayback Machine 1958 Posilannya red Bloch Ethan D 1996 A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry Boston Birkhauser ISBN 0 8176 3840 7 Hirsch Morris 1997 Differential Topology Springer Verlag ISBN 0 387 90148 5 Lashof Richard Dec 1972 The Tangent Bundle of a Topological Manifold The American Mathematical Monthly 79 10 1090 1096 JSTOR 2317423 doi 10 2307 2317423 Kervaire Michel A Dec 1960 A manifold which does not admit any differentiable structure Commentarii Mathematici Helvetici 34 1 257 270 doi 10 1007 BF02565940 Dzherela red Hazewinkel Michiel red 2001 Differential topology Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Primitki red Kervaire 1960 Lashof 1972 Hirsch 1997 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferencialna topologiya amp oldid 35050865