Екзотична сфера — гладкий многовид М, що гомеоморфний, але не дифеоморфний стандартній n-сфері.
Історія ред.
Перші приклади екзотичних сфер були побудовані Джоном Мілнором в розмірності 7; він довів, що на існує як мінімум 7 різних гладких структур. Тепер відомо, що має 28 гладких структур.
Ці приклади, так звані сфери Мілнора, були знайдені серед просторів -розшарувань над . Такі розшарування класифікуються двома цілими числами і — елементом . Деякі з цих розшарувань гомеоморфні стандартній сфері, і при цьому не дифеоморфні їй.
Оскільки одинзв'язні, згідно узагальненої гіпотези Пуанкаре, перевірка гомеоморфності і зводиться до підрахунку гомологій ; ця умова накладає певні умови на і .
У доведенні недифеоморфності Мілнор міркує від противного. Він зауважує, що многовид є межею 8-вимірного многовиду — простору розшарування диска над . Далі, якщо дифеоморфний стандартній сфері, то можна заклеїти кулею, отримавши замкнутий гладкий 8-вимірний многовид. Підрахунок сигнатури отриманого многовиду через його числа Понтрягіна призводить до протиріччя.
Див. також ред.
| Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |