www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Рімана про відображення теорема у комплексному аналізі що стверджує що для довільної однозв язної відкритої підм

Теорема Рімана про відображення

Теорема Рімана про відображення — теорема у комплексному аналізі, що стверджує, що для довільної однозв'язної відкритої підмножини комплексної площини , що не збігається з усією , існує бієктивне голоморфне відображення із множини на відкритий одиничний круг

де

Зауваження Редагувати

Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції або оберненої . Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну — твердження теореми від цього не стане сильнішим.

Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її межі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т. д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку межу. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості межі.

Єдиність відображення Редагувати

Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо  — елемент множини і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам відображає в і аргумент похідної в точці рівний куту φ.

Доведення Редагувати

Доведемо, що в існує хоча б одна голоморфна і ін'єктивна функція, що по модулю є меншою 1. За умовою межа містить дві різні точки Квадратний корінь має аналітичне продовження вздовж будь-якого шляху в області і оскільки ця область є однозв'язною, то по теоремі про монодромію цей корінь допускає виділення в двох однозначних гілок і що відрізняються знаком.

Кожна з цих гілок є ін'єктивною в , бо з рівності випливає рівність

а з неї, зважаючи на ін'єктивність дробово-лінійної функції, рівність . Ці гілки відображають відповідно на області і , які не мають спільних точок, бо в іншому випадку знайшлися б точки такі, що , але з останнього рівності знову випливає рівність , а тому що неможливо оскільки для всіх

Область містить деякий круг а тому в не набуває значень з цього кола. Тому функція

очевидно є голоморфною і ін'єктивною і обмеженою в :

Позначимо як сім'ю всіх голоморфних і ін'єктивних в функцій, по модулю всюди менших 1. Ця

сім'я є непустою, бо містить функцію і по теоремі Монтеля вона є нормальною. Оскільки є ін'єктивною в , то у довільній точці Підсім'я сім'ї , до якої належать усі функції з для яких

в деякій фіксованій точці є нормальною. Також якщо послідовність функцій збігається рівномірно на компактних підмножинах то границя цієї послідовності належить .

Дійсно з наслідку теореми Гурвіца границя послідовності функцій , що сходиться рівномірно на будь-якій компактній підмножині , може бути лише ін'єктивною функцією або константою але останній випадок виключений нерівністю . Також якщо для елементів цієї послідовності, то і для граничної функції Отож також і

Розглянемо на функціонал Він є неперервним адже для рівномірно збіжної на компактах послідовності із границею , послідовність похідних теж рівномірно на компактах збігається до зокрема

Оскільки є компактною (у просторі голоморфних функцій із компактно-відкритою топологією) множиною то існує функція на якій цей функціонал досягає максимуму, тобто така, що для всіх виконується нерівність

Оскільки функція то вона конформно відображає в одиничний круг . Також оскільки в іншому випадку в була б функція

для котрої

що суперечить означенню функції .

Функція відображає на весь круг . Справді, нехай не приймає в деякого значення . Оскільки , то . Але і значення не приймається цією функцією в (оскільки ), і, отже, по теоремі про монодромію в можна виділити однозначну гілку кореня

яка належить . Але тоді належить і функція

для котрої

Але бо , тобто і що суперечить означенню функції .

Узагальнення Редагувати

Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:

Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
  • John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
  • Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Rimana pro vidobrazhennya teorema u kompleksnomu analizi sho stverdzhuye sho dlya dovilnoyi odnozv yaznoyi vidkritoyi pidmnozhini U displaystyle U kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C sho ne zbigayetsya z usiyeyu C displaystyle mathbb C isnuye biyektivne golomorfne vidobrazhennya f displaystyle f iz mnozhini U displaystyle U na vidkritij odinichnij krug D displaystyle D f U D displaystyle f U rightarrow D de D z C z lt 1 displaystyle D z in mathbb C z lt 1 Zmist 1 Zauvazhennya 2 Yedinist vidobrazhennya 3 Dovedennya 4 Uzagalnennya 5 Div takozh 6 Literatura 7 PosilannyaZauvazhennya RedaguvatiGolomorfna funkciya sho ye vzayemno odnoznachnoyu tobto oborotnoyu ye konformnim vidobrazhennyam tak sho teoremu mozhna formulyuvati v terminah konformnoyi ekvivalentnosti Takozh ne maye znachennya stverdzhuvati pro isnuvannya funkciyi f D U displaystyle f colon D to U nbsp abo obernenoyi f 1 U D displaystyle f 1 colon U to D nbsp Mozhna navit vimagati isnuvannya vidobrazhennya z bud yakoyi odnozv yaznoyi oblasti v bud yaku inshu odnozv yaznu tverdzhennya teoremi vid cogo ne stane silnishim Dana teorema zdayetsya paradoksalnoyu oskilki umovi na oblast ye chisto topologichnimi i niyak ne obumovlyuyut geometriyu yiyi mezhi Naspravdi porivnyano legko buduyutsya konformni vidobrazhennya kruga ne tilki na mnogokutniki i podibni figuri ale i oblasti na zrazok kruga z odnim virizanim radiusom i t d Mozhna navit pobuduvati funkciyu na krugu obraz yakoyi maye nide ne gladku mezhu Vtim Riman zumiv dovesti teoremu lishe v pripushenni kuskovoyi gladkosti mezhi Yedinist vidobrazhennya RedaguvatiOskilki odinichnij krug legko netotozhno konformno vidobraziti na sebe to shukane konformne vidobrazhennya yedinim buti ne mozhe Prote legko bachiti sho vsya neodnoznachnist v pobudovi vidobrazhennya vidnositsya do avtomorfizmiv odinichnogo kruga yaki utvoryuyut dijsnu 3 mirnu grupu Li Zokrema yaksho z 0 displaystyle z 0 nbsp element mnozhini U displaystyle U nbsp i f dovilnij kut todi isnuye yedine vidobrazhennya f displaystyle f nbsp iz teoremi Rimana yake dodatkovo zadovolnyaye umovam f displaystyle f nbsp vidobrazhaye z 0 displaystyle z 0 nbsp v 0 displaystyle 0 nbsp i argument pohidnoyi f displaystyle f nbsp v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp rivnij kutu f Dovedennya RedaguvatiDovedemo sho v D displaystyle D nbsp isnuye hocha b odna golomorfna i in yektivna funkciya sho po modulyu ye menshoyu 1 Za umovoyu mezha D displaystyle partial D nbsp mistit dvi rizni tochki a b displaystyle alpha beta nbsp Kvadratnij korin z a z b displaystyle sqrt frac z alpha z beta nbsp maye analitichne prodovzhennya vzdovzh bud yakogo shlyahu v oblasti D displaystyle D nbsp i oskilki cya oblast ye odnozv yaznoyu to po teoremi pro monodromiyu cej korin dopuskaye vidilennya v D displaystyle D nbsp dvoh odnoznachnih gilok f 1 displaystyle varphi 1 nbsp i f 2 displaystyle varphi 2 nbsp sho vidriznyayutsya znakom Kozhna z cih gilok ye in yektivnoyu v D displaystyle D nbsp bo z rivnosti f i z 1 f i z 2 displaystyle varphi i z 1 varphi i z 2 nbsp viplivaye rivnist z 1 a z 1 b z 2 a z 2 b displaystyle frac z 1 alpha z 1 beta frac z 2 alpha z 2 beta nbsp a z neyi zvazhayuchi na in yektivnist drobovo linijnoyi funkciyi rivnist z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 nbsp Ci gilki vidobrazhayut D displaystyle D nbsp vidpovidno na oblasti D 1 f 1 D displaystyle bar D 1 varphi 1 D nbsp i D 2 f 2 D displaystyle bar D 2 varphi 2 D nbsp yaki ne mayut spilnih tochok bo v inshomu vipadku znajshlisya b tochki z 1 z 2 D displaystyle z 1 z 2 in D nbsp taki sho f 1 z 1 f 2 z 2 displaystyle varphi 1 z 1 varphi 2 z 2 nbsp ale z ostannogo rivnosti znovu viplivaye rivnist z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 nbsp a tomu f 1 z 1 f 2 z 1 f 1 z 1 displaystyle varphi 1 z 1 varphi 2 z 1 varphi 1 z 1 nbsp sho nemozhlivo oskilki f 1 z 0 displaystyle varphi 1 z neq 0 nbsp dlya vsih z D displaystyle z in D nbsp Oblast D 2 displaystyle bar D 2 nbsp mistit deyakij krug w w 0 lt r displaystyle w w 0 lt rho nbsp a tomu f 1 displaystyle varphi 1 nbsp v D displaystyle D nbsp ne nabuvaye znachen z cogo kola Tomu funkciya g z r ϕ 1 z w 0 displaystyle g z frac rho phi 1 z w 0 nbsp ochevidno ye golomorfnoyu i in yektivnoyu i obmezhenoyu v D displaystyle D nbsp g z 1 z D displaystyle g z leqslant 1 forall z in D nbsp Poznachimo yak S displaystyle S nbsp sim yu vsih golomorfnih i in yektivnih v D displaystyle D nbsp funkcij po modulyu vsyudi menshih 1 Cyasim ya ye nepustoyu bo mistit funkciyu g z displaystyle g z nbsp i po teoremi Montelya vona ye normalnoyu Oskilki g z displaystyle g z nbsp ye in yektivnoyu v D displaystyle D nbsp to u dovilnij tochci g z gt 0 displaystyle g z gt 0 nbsp Pidsim ya S 1 displaystyle S 1 nbsp sim yi S displaystyle S nbsp do yakoyi nalezhat usi funkciyi z S displaystyle S nbsp dlya yakih f a g a gt 0 displaystyle f a geqslant g a gt 0 nbsp v deyakij fiksovanij tochci a D displaystyle a in D nbsp ye normalnoyu Takozh yaksho poslidovnist funkcij f n S 1 displaystyle f n in S 1 nbsp zbigayetsya rivnomirno na kompaktnih pidmnozhinah D displaystyle D nbsp to granicya ciyeyi poslidovnosti nalezhit S 1 displaystyle S 1 nbsp Dijsno z naslidku teoremi Gurvica granicya poslidovnosti funkcij f n S 1 displaystyle f n in S 1 nbsp sho shoditsya rivnomirno na bud yakij kompaktnij pidmnozhini K D displaystyle K subset D nbsp mozhe buti lishe in yektivnoyu funkciyeyu abo konstantoyu ale ostannij vipadok viklyuchenij nerivnistyu f a gt 0 displaystyle f a gt 0 nbsp Takozh yaksho f n a g a displaystyle f n a geqslant g a nbsp dlya elementiv ciyeyi poslidovnosti to i dlya granichnoyi funkciyi f a g a displaystyle f a geqslant g a nbsp Otozh takozh i f S 1 displaystyle f in S 1 nbsp Rozglyanemo na S 1 displaystyle S 1 nbsp funkcional J f f a displaystyle J f f a nbsp Vin ye neperervnim adzhe dlya rivnomirno zbizhnoyi na kompaktah poslidovnosti f n S 1 displaystyle f n in S 1 nbsp iz graniceyu f S 1 displaystyle f in S 1 nbsp poslidovnist pohidnih f n displaystyle f n nbsp tezh rivnomirno na kompaktah zbigayetsya do f displaystyle f nbsp zokrema f n a f a displaystyle f n a f a nbsp Oskilki S 1 displaystyle S 1 nbsp ye kompaktnoyu u prostori golomorfnih funkcij iz kompaktno vidkritoyu topologiyeyu mnozhinoyu to isnuye funkciya f 0 S 1 displaystyle f 0 in S 1 nbsp na yakij cej funkcional dosyagaye maksimumu tobto taka sho dlya vsih f S 1 displaystyle f in S 1 nbsp vikonuyetsya nerivnist f a f 0 a displaystyle f a leqslant f 0 a nbsp Oskilki funkciya f 0 S 1 displaystyle f 0 in S 1 nbsp to vona konformno vidobrazhaye D displaystyle D nbsp v odinichnij krug U displaystyle U nbsp Takozh f 0 a 0 displaystyle f 0 a 0 nbsp oskilki v inshomu vipadku v S 1 displaystyle S 1 nbsp bula b funkciya h z f 0 z f 0 a 1 f 0 a f 0 z displaystyle h z frac f 0 z f 0 a 1 overline f 0 a f 0 z nbsp dlya kotroyi h a 1 1 f 0 a 2 f 0 a gt f 0 a displaystyle h a frac 1 1 f 0 a 2 f 0 a gt f 0 a nbsp sho superechit oznachennyu funkciyi f 0 displaystyle f 0 nbsp Funkciya f 0 displaystyle f 0 nbsp vidobrazhaye D displaystyle D nbsp na ves krug U displaystyle U nbsp Spravdi nehaj f 0 displaystyle f 0 nbsp ne prijmaye v D displaystyle D nbsp deyakogo znachennya b U displaystyle b in U nbsp Oskilki f 0 a 0 displaystyle f 0 a 0 nbsp to b 0 displaystyle b neq 0 nbsp Ale i znachennya b 1 1 b displaystyle b 1 1 bar b nbsp ne prijmayetsya ciyeyu funkciyeyu v D displaystyle D nbsp oskilki b 1 gt 1 displaystyle b 1 gt 1 nbsp i otzhe po teoremi pro monodromiyu v D displaystyle D nbsp mozhna vidiliti odnoznachnu gilku korenya ps z f 0 z b 1 b f 0 z displaystyle psi z sqrt frac f 0 z b 1 bar b f 0 z nbsp yaka nalezhit S displaystyle S nbsp Ale todi S displaystyle S nbsp nalezhit i funkciya k z ps z ps a 1 ps a ps z displaystyle k z frac psi z psi a 1 overline psi a psi z nbsp dlya kotroyi k a 1 b 2 b f 0 a displaystyle k a frac 1 b 2 sqrt b f 0 a nbsp Ale 1 b gt 2 b displaystyle 1 b gt 2 sqrt b nbsp bo b lt 1 displaystyle b lt 1 nbsp tobto k S 1 displaystyle k in S 1 nbsp i k a gt f 0 a displaystyle k a gt f 0 a nbsp sho superechit oznachennyu funkciyi f 0 displaystyle f 0 nbsp Uzagalnennya RedaguvatiYaksho zamist oblasti na kompleksnij ploshini rozglyadati oblast na dovilnij rimanovoyi poverhni to mi prihodimo do chastkovogo vipadku teoremi pro uniformizaciyu dlya dovilnoyi odnozv yaznoyi vidkritoyi pidmnozhini U displaystyle U nbsp rimanovoyi poverhni isnuye biyektivne golomorfne vidobrazhennya f displaystyle f nbsp iz mnozhini U displaystyle U nbsp na odnu z mnozhin rimanovu sferu kompleksnu ploshinu odinichnij krug Sprobi uzagalniti danu teoremu na dijsnu konformnu geometriyu v rozmirnostyah vishe 2 yak i na kompleksnu geometriyu v rozmirnostyah vishe 1 vikoristovuyuchi ponyattya golomorfnogo vidobrazhennya do osoblivih uspihiv ne priveli Dovedeno sho i v tomu i inshomu vipadku dlya ekvivalentnosti oblastej vzhe nedostatno chisto topologichnih umov U bud yakomu vipadku taki zagalni tverdzhennya pro ekvivalentnist oblastej v bagatovimirnih prostorah nauci ne vidomi Div takozh RedaguvatiSpisok ob yektiv nazvanih na chest Berngarda Rimana Teorema Gurvica Teorema MontelyaLiteratura RedaguvatiShabat B V Vvedenie v kompleksnyj analiz M Nauka 1969 577 s John B Conway Functions of one complex variable Springer Verlag 1978 ISBN 0 387 90328 3 John B Conway Functions of one complex variable II Springer Verlag 1995 ISBN 0 387 94460 5 Reinhold Remmert Classical topics in complex function theory Springer Verlag 1998 ISBN 0 387 98221 3Posilannya RedaguvatiDovedennya teoremi Rimana Arhivovano 20 chervnya 2010 u Wayback Machine na sajti PlanetMath Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Rimana pro vidobrazhennya amp oldid 38054373