Множина куполів | |
---|---|
![]() П'ятисхилий купол (приклад) | |
Тип | Множина куполів |
(Символ Шлефлі) | {n} || t{n} |
(Граней) | 2n+2 : n (рівнобедрених трикутників), |
(Ребер) | 5n |
(Вершин) | 3n |
(Характеристика Ейлера) | |
Un ([en]) | |
(Група симетрії) | [en], [n], (*nn), порядок 2n (Циклічна симетрія n-Піраміди) |
(Група поворотів) | Cn, [n]+, (nn), порядок n |
(Дуальний многогранник) | ? |
Властивості | опуклий |
Ку́пол (n-схилий купол) — тіло, утворене з'єднанням двох (багатокутників), у якому один (основа) має вдвічі більше сторін, порівняно з іншим (верхньою гранню). З'єднання багатокутників здійснюється рівнобедреними (трикутниками) і прямокутниками.
n-схилий купол — (призматоїд), що складається з 2n-кутника (нижня основа купола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: n прямокутників та n (рівнобедрених трикутників). При чому нижня грань може бути правильним 2n-кутником, або напівправильним 2n-кутником, у якого сторони рівні через одну і всі кути рівні.
Купол можна розглядати як (призму), де один з багатокутників наполовину стягнуто попарним об'єднанням вершин.
Куполу можна приписати розширений (символ Шлефлі) {n} || t{n}, що описує правильний багатокутник {n}, з'єднаний з паралельною йому копією, t{n} або {2n}.
Куполи є підкласом (призматоїдів).
Його (двоїстий многогранник) має форму, яка є свого роду поєднанням половини n-стороннього (трапецоедра) та 2n-гранної (піраміди).
Купол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи.
Два купола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи многогранник .
Куполи і бікуполи існують як (нескінченні множини) многогранників, так само, як множини (пірамід), (біпірамід), (призм), (антипризм), (трапецоедрів) та ін.
Приклади
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|
Назва | (Двосхилий купол) | (Трисхилий купол) | (Чотирисхилий купол) | Шестисхилий купол (плоский) | Семисхилий купол (з неправильними бічними гранями) | |
(Символ Шлефлі) | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} | {7} || t{7} |
Купол | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Пов'язані однорідні багатогранники | Трикутна призма![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (Кубооктаедр)![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Ромбокубо- октаедр ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Ромбоікосо- додекаедр ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Трикутну призму) можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).
Якщо бокові грані купола є (правильними) трикутниками та (квадратами), тоді як основа і верхня грань є правильними багатокутниками, купол є многогранником Джонсона. Ці куполи: (трисхилий купол), (чотирисхилий) і , можна отримати, взявши зрізи (кубооктаедра), (ромбокубооктаедра) і (ромбоікосододекаедра) відповідно.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly91cGxvYWQud2lraW1lZGlhLm9yZy93aWtpcGVkaWEvY29tbW9ucy90aHVtYi82LzZlL1RpbGVfMzQ2NC5zdmcvMjIwcHgtVGlsZV8zNDY0LnN2Zy5wbmc=.png)
Якщо купол має всі ребра одинакової довжини (правильногранний) ‒ n = 3, 4, 5, то: Висота купола:
Радіус описаної сфери:
Рівносторонній («Шестисхилий) купол» є плоскою фігурою. Таким чином, сімейство куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.
Куполи з числом сторін багатокутників n > 5 можна побудувати тільки з неправильними трикутними і прямокутними гранями.
Координати вершин
Визначення купола не вимагає правильності основи і верхньої грані, але зручно розглядати випадки, в яких куполи мають максимальну симетрію, Cnv. В цьому випадку верхня грань є правильним n-кутником, тоді як основа є правильним 2n-кутником, або 2n-кутником з двома різними довжинами сторін (через одну) і тими ж кутами, що й у правильного 2n- кутника.
Розташуємо купол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в (початку координат), а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від A1 до An.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly91cGxvYWQud2lraW1lZGlhLm9yZy93aWtpcGVkaWEvY29tbW9ucy90aHVtYi8xLzExLyVEMCVBMSVEMCVCNSVEMCVCQyVEMCVCOCVEMSU4MSVEMSU4NSVEMCVCOCVEMCVCQiVEMCVCOCVEMCVCOV8lRDAlQkElRDElODMlRDAlQkYlRDAlQkUlRDAlQkIucG5nLzI5MXB4LSVEMCVBMSVEMCVCNSVEMCVCQyVEMCVCOCVEMSU4MSVEMSU4NSVEMCVCOCVEMCVCQiVEMCVCOCVEMCVCOV8lRDAlQkElRDElODMlRDAlQkYlRDAlQkUlRDAlQkIucG5n.png)
Координати вершин тоді можна записати таким чином:
де k = 1, 2, …, n.
‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)
‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)
‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.
h ‒ висота купола
Координати вершин купола, повернутого на деякий кут навноло його осі (осі z):
де k = 1, 2, …, n.
Антикуполи
Множина антикуполів | |
---|---|
![]() П'ятисхилий антикупол (приклад) | |
Тип | Множина антикуполів |
(Символ Шлефлі) | s{n} || t{n} |
(Граней) | n (рівнобедрених трикутників), 2n (різносторонніх трикутників), 1 правильний n-кутник, 1 правильний 2n-кутник |
(Ребер) | 6n |
(Вершин) | 3n |
(Характеристика Ейлера) | |
Vn ([en]) | |
(Група симетрії) | , [1,n], (*nn), порядок 2n |
(Група поворотів) | Cn, [1,n]+, (nn), порядок n |
(Дуальний многогранник) | ? |
Властивості | опуклий |
Антику́пол (n‒ кутний антикупол) — тіло, що складається з правильного 2n-кутника (основа антикупола), правильного n-кутника (верхня грань, що паралельна основі), та 3n трикутників двох типів (n (рівнобедрених трикутників) та 2n (різносторонніх трикутників)).
При n = 2, верхня грань вироджується в ребро. Антикуполи є підкласом (призматоїдів).
Антикупол має вісь симетрії порядку n, що проходить через центри основ та перпендикулярна їм, а також n площин дзеркальної симетрії, що проходять через вісь многогранника та вершини нижньої основи.
Не можна побудувати n-кутний антикупол, щоб всі його грані були правильними багатокутниками; лише деякі грані можуть бути зроблені правильними.
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6… |
---|---|---|---|---|---|
Назва | Шестисхилий антикупол | ||||
Антикупол | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Прозоре зображення | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(Символ Шлефлі) | s{2} || t{2} | s{3} || t{3} | s{4} || t{4} | s{5} || t{5} | s{6} || t{6} |
Розгортка | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Координати вершин антикупола
Координати вершин n ‒ антикупола можемо отримати з координат вершин n ‒ купола шляхом повороту верхнього n ‒ кутника на кут
Розташуємо антикупол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині Oxy з центром в початку координат, а верхня грань проходила паралельно цій площині на висоті h. Вісь Oz є віссю симетрії порядку n. Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від A1 до An.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly91cGxvYWQud2lraW1lZGlhLm9yZy93aWtpcGVkaWEvY29tbW9ucy90aHVtYi8zLzM1LyVEMCVBMSVEMCVCNSVEMCVCQyVEMCVCOCVEMSU4MSVEMSU4NSVEMCVCOCVEMCVCQiVEMCVCOCVEMCVCOV8lRDAlQjAlRDAlQkQlRDElODIlRDAlQjglRDAlQkElRDElODMlRDAlQkYlRDAlQkUlRDAlQkIucG5nLzM1MXB4LSVEMCVBMSVEMCVCNSVEMCVCQyVEMCVCOCVEMSU4MSVEMSU4NSVEMCVCOCVEMCVCQiVEMCVCOCVEMCVCOV8lRDAlQjAlRDAlQkQlRDElODIlRDAlQjglRDAlQkElRDElODMlRDAlQkYlRDAlQkUlRDAlQkIucG5n.png)
Координати вершин тоді можна записати таким чином:
Поворот n — кутника відбувається по- або проти годинникової стрілки (відповідно знаки «‒» або «+»)
де k = 1, 2, …, n.
‒ радіус описаного кола верхнього багатокутника (правильного n ‒ кутника)
‒ радіус описаного кола нижнього багатокутника (правильного 2n ‒ кутника)
‒ довжина ребра багатокутників верхньої та нижньої основ.
h ‒ висота антикупола.
Два антикупола можуть бути з'єднані по їх нижній основі, та утворюють многогранник .
Антикуполи і біантикуполи існують як нескінченні множини многогранників, так само, як множини (пірамід), (біпірамід), (призм) , (антипризм) , (трапецоедрів) та ін.
Зірчасті куполи
n / d | 4 | 5 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|
3 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
5 | — | — | ![]() | ![]() |
n / d | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|
2 | ![]() (Перехрещений трикутний куполоїд) {3/2} | ![]() {5/2} | ![]() Гептаграмний куполоїд {7/2} |
4 | — | ![]() {5/4} | ![]() Перехрещений гептаграмний куполоїд {7/4} |
Зірчасті куполи існують для всіх основ {n/d}, де 6/5 < n/d < 6 і d непарне. На границях куполи перетворюються на плоскі фігури. Якщо d парне, нижня основа {2n/d} вироджується — ми можемо утворити куполоїд або напівукупол шляхом видалення цієї виродженої грані і дозволивши трикутникам і квадратам з'єднуватися один з одним. Зокрема, (тетрагемігексаедр) можна розглядати як {3/2}-куполоїд. Усі куполи (орієнтовані), тоді як всі куполоїди неорієнтовані. Якщо в куполоїда n/d > 2, трикутники і квадрати не покривають всю основу і на ній залишається тоненька перетинка, яка просто закриває отвір. Таким чином, куполоїди {5/2} і {7/2} на малюнку вище мають перетинки (не заповнені), тоді як куполоїди {5/4} і {7/4} їх не мають.
Висота h купола {n/d} або куполоїда задається формулою
.
Зокрема, h = 0 на границях n/d = 6 та n/d = 6/5, і h максимальне при n/d = 2 (трикутна призма, де трикутники розташовані вертикально).
На малюнках вище зірчасті куполи показано в кольорах, щоб підкреслити їх грані — грань n/d-кутника показано червоним, грань 2n/d-кутника показано жовтим, квадрати подано синім кольором, а трикутники — зеленим. Куполоїди мають червоні n/d-кутні грані, жовті квадратні грані, а трикутні грані пофарбовано в блакитний колір, другу ж основу видалено.
Гіперкуполи
Гіперкуполи або многогранні куполи — це сімейство опуклих неоднорідних (чотиривимірних многогранників), аналогічних куполам. Основами кожного такого многогранника є (правильний многогранник) (тривимірний) і його .
В таблиці використовується поняття сегментогранник (англ. Segmentochora) — це фігура, що задовольняє таким властивостям:
- 1. всі вершини розташовані на одній гіперсфері
- 2. всі вершини розташовані на двох паралельних гіперплощинах
- 3. всі ребра мають довжину 1
У площині існує два сегментогранники (сегментокутники) — правильний трикутник і квадрат.
У 3-вимірному просторі до них належать піраміди, призми, антипризми, куполи.
Назва | [en] | [en] | [en] | [en] | Шестикутний мозаїчний купол | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(Символ Шлефлі) | {3,3} ∨ rr{3,3} | {4,3} ∨ rr{4,3} | {3,4} ∨ rr{3,4} | {5,3} ∨ rr{5,3} | {6,3} ∨ rr{6,3} | |||||
Індекс сегментогранника | K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
Радіус описаного кола | 1 | |||||||||
Малюнок | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
Головні комірки | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | |||||
(Вершин) | 16 | 32 | 30 | 80 | ∞ | |||||
(Ребер) | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
(Граней) | 42 | 24 ({3}) + 18 ({4}) | 80 | 32 ({3}) + 48 ({4}) | 82 | 40 ({3}) + 42 ({4}) | 194 | 80 ({3}) + 90 ({4}) + 24 ({5}) | ∞ | |
Комірок | 16 | 1 (тетраедр) 4 (трикутні призми) 6 (трикутних призм) 4 (трикутні призми) 1 (кубооктаедр) | 28 | 1 (куб) 6 (квадратних призм) 12 (трикутних призм) 8 (трикутних пірамід) 1 (ромбокубооктаедр) | 28 | 1 октаэдр 8 (трикутних призм) 12 (трикутних призм) 6 (квадратних пірамід) 1 (ромбокубооктаедр) | 64 | 1 (додекаедр) 12 (п'ятикутних призм) 30 (трикутних призм) 20 (трикутних пірамід) 1 (ромбоікосододекаедр) | ∞ | 1 шестикутна мозаїка ∞ шестикутних призм ∞ трикутних призм ∞ трикутних пірамід 1 ромботришестикутна мозаїка |
Пов'язані однорідні 4-вимірні многогранники | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | [en]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Примітки
- Regular Polygons and Other Two Dimensional Shapes. www.polytope.net (англ.) .
- https://mathworld.wolfram.com/Cupola.html
- cupolas (англ) .
- semicupolas (англ.) .
- Klitzing, 2000 та 139-181.
Література
- [en]. Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966. — Вип. 18 (4 червня). — С. 169–200.
- Dr. Richard Klitzing. Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181. з джерела 19 квітня 2014
Посилання
- Weisstein, Eric W. Cupola(англ.) на сайті Wolfram (MathWorld).
- Segmentotopes [ 13 грудня 2014 у Wayback Machine.]
- Cupola. Polytope Wiki (англ.).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет