www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кватерніони таблиця множення i j ki 1 k jj k 1 ik j i 1Кватерніо н чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нул

Кватерніони

таблиця множення
i j k
i −1 k −j
j -k −1 i
k j -i −1

Кватерніо́н  — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Означення Редагувати

Загальне означення Редагувати

Кватерніони можна означити як суму

де  — дійсні числа;  — уявні одиниці, які справджують співвідношення:

з яких випливають ще й такі співвідношення:

Часто замість використовують позначення для уявних одиниць відповідно а також покладають

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень:

Означення через вектор і скаляр Редагувати

Кватерніон представляє собою пару , де — вектор тривимірного простору , а — скаляр, тобто дійсне число.

Через комплексні числа Редагувати

Довільний кватерніон можна представити як пару комплексних чисел у вигляді .

Це еквівалентно , де , ( тобто — комплексні числа , оскільки )

Через дійсні матриці Редагувати

Кватерніони також можна визначити як матрицю такого вигляду:

Через комплексні матриці Редагувати

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду

,

де є комплексно-спряженими числами до .

Пов'язані означення Редагувати

  • Для кватерніона ,
  • Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначають як

Легко перевірити, що , тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; із цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Якщо то називають одиничним кватерніоном

Алгебраїчні властивості Редагувати

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, можна отримати такі властивості:

Із некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається . Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Чотири базисних кватерніони і чотири протилежних їм за знаком кватерніони утворюють групу кватерніонів по множенню (з порядком 8). Тобто

Детальніше про векторне представлення Редагувати

Оскільки кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

Піднесення до степеня Редагувати

Рівність

доводиться подібно до формули Ейлера зіставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон у векторній (тригонометричній) формі

  • Натуральний степінь:

Використавши математичну індукцію отримаємо:

  • Дійсний степінь:

Піднесення кватерніона до дійсного степеня застосовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Комплексні кватерніони Редагувати

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що  — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця не ототожнюється з кватерніонною одиницею так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, із використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Історія Редагувати

Пам'ятна табличка на мосту Брум Бридж в Дубліні: «Тут на прогулянці, 16 жовтня 1843 року, осяяний генієм, сер Вільям Ровен Гамільтон відкрив формулу множення кватерніонів» i2 = j2 = k2 = ijk = −1

Бурхливий і надзвичайно плідний розвиток комплексного аналізу в XIX столітті стимулював у математиків інтерес до наступної задачі: знайти новий вид чисел, аналогічний за властивостями комплексним, що містить не одну, а дві уявні одиниці. Передбачалося, що така модель буде корисна для розв'язання просторових задач математичної фізики. Проте зусилля в цьому напрямку виявилася безуспішними.

1843 року новий тип чисел виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон. Ці числа містили не дві уявні одиниці, як очікувалося, а три. Гамільтон назвав ці числа кватерніонами. Історики науки також виявили начерки по цій темі в неопублікованих рукописах Гаусса 1819—1820 років.
Модель досить швидко принесла практичну користь. Пізніше на основі алгебри кватерніонів Ґіббс та Гевісайд створили тривимірний векторний аналіз.

Сучасне використання Редагувати

У XX столітті намагалися використовувати кватерніонні моделі у квантовій механіці й теорії відносності. Реальне застосування кватерніони знайшли в комп'ютерній графіці й програмуванні ігор, а також в обчислювальній механіці, в інерціальній навігації й теорії управління. У багатьох галузях було знайдено більш загальні й практичні засоби, ніж кватерніони. Наприклад, для дослідження рухів у просторі найчастіше застосовують матричне числення. Однак там, де важливо описувати тривимірний поворот за допомогою мінімальної кількості скалярних параметрів, застосування параметрів Родріго — Гамільтона (тобто, чотирьох компонент кватерніона повороту) часто виявляється кращим: такий опис ніколи не вироджується, тоді як опис поворотів трьома параметрами (наприклад, кутами Ейлера) завжди має критичні значення цих параметрів.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
tablicya mnozhennya i j ki 1 k jj k 1 ik j i 1Kvaternio n chotirivimirne giperkompleksne chislo bez dilnikiv nulya Upershe opisane V R Gamiltonom u 1843 roci Kvaternioni vikoristovuyutsya yak u teoretichnij tak i u prikladnij matematici zokrema dlya rozrahunku povorotiv u prostori u trivimirnij grafici ta mashinnomu zori Zmist 1 Oznachennya 1 1 Zagalne oznachennya 1 1 1 Oznachennya cherez vektor i skalyar 1 1 1 1 Cherez kompleksni chisla 1 1 1 1 1 Cherez dijsni matrici 1 1 1 1 2 Cherez kompleksni matrici 2 Pov yazani oznachennya 3 Algebrayichni vlastivosti 4 Detalnishe pro vektorne predstavlennya 5 Pidnesennya do stepenya 6 Kompleksni kvaternioni 7 Istoriya 8 Suchasne vikoristannya 9 Div takozh 10 DzherelaOznachennya RedaguvatiZagalne oznachennya Redaguvati Kvaternioni mozhna oznachiti yak sumuq a b i c j d k displaystyle q a bi cj dk nbsp de a b c d displaystyle a b c d nbsp dijsni chisla i j k displaystyle i j k nbsp uyavni odinici yaki spravdzhuyut spivvidnoshennya i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle i 2 j 2 k 2 ijk 1 nbsp z yakih viplivayut she j taki spivvidnoshennya i j j i k j k k j i k i i k j displaystyle begin matrix ij amp amp ji amp amp k jk amp amp kj amp amp i ki amp amp ik amp amp j end matrix nbsp Chasto zamist i j k displaystyle i j k nbsp vikoristovuyut poznachennya dlya uyavnih odinic vidpovidno i 1 i 2 i 3 displaystyle i 1 i 2 i 3 nbsp a takozh pokladayut i 0 1 displaystyle i 0 1 nbsp She odin zridka vzhivanij variant poznachen e 0 e 1 e 2 e 3 displaystyle e 0 e 1 e 2 e 3 nbsp Oznachennya cherez vektor i skalyar Redaguvati Kvaternion predstavlyaye soboyu paru a u displaystyle a vec u nbsp de u displaystyle vec u nbsp vektor trivimirnogo prostoru a a displaystyle a nbsp skalyar tobto dijsne chislo Cherez kompleksni chisla Redaguvati Dovilnij kvaternion q a b i c j d k displaystyle q a bi cj dk nbsp mozhna predstaviti yak paru kompleksnih chisel u viglyadi q a b i c d i j displaystyle q a bi c di j nbsp Ce ekvivalentno q z 1 z 2 j displaystyle q z 1 z 2 j nbsp de z 1 a b i displaystyle z 1 a bi nbsp z 2 c d i displaystyle z 2 c di nbsp tobto z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 nbsp kompleksni chisla oskilki i 2 1 k i j displaystyle i 2 1 k ij nbsp Cherez dijsni matrici Redaguvati Kvaternioni takozh mozhna viznachiti yak matricyu takogo viglyadu a b b a c d d c c d d c a b b a displaystyle begin pmatrix begin matrix a amp b b amp a end matrix amp begin matrix c amp d d amp c end matrix begin matrix c amp d d amp c end matrix amp begin matrix a amp b b amp a end matrix end pmatrix nbsp Cherez kompleksni matrici Redaguvati Alternativno kvaternioni mozhna viznachiti yak kompleksni matrici takogo viglyadu a b b a a b i c d i c d i a b i displaystyle begin pmatrix alpha amp beta bar beta amp bar alpha end pmatrix begin pmatrix a bi amp c di c di amp a bi end pmatrix nbsp de a b displaystyle bar alpha bar beta nbsp ye kompleksno spryazhenimi chislami do a b displaystyle alpha beta nbsp Pov yazani oznachennya RedaguvatiDlya kvaterniona q a b i c j d k displaystyle q a bi cj dk nbsp dijsne chislo a displaystyle a nbsp nazivayut skalyarnoyu chastinoyu kvaterniona v b i c j d k displaystyle vec v bi cj dk nbsp jogo vektornoyu chastinoyu Yaksho v 0 displaystyle vec v 0 nbsp to kvaternion nazivayetsya chisto skalyarnim pri a 0 displaystyle a 0 nbsp chisto vektornim Kvaternion q a b i c j d k displaystyle bar q a bi cj dk nbsp nazivayut spryazhenim do q displaystyle q nbsp q 1 q 2 q 2 q 1 displaystyle overline q 1 q 2 bar q 2 bar q 1 nbsp Yak i dlya kompleksnih chisel norma kvaterniona viznachayut yak q q q a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle q sqrt q bar q sqrt a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp q 1 q q 2 displaystyle q 1 frac bar q q 2 nbsp Legko pereviriti sho p q p q displaystyle p cdot q p cdot q nbsp tobto kvaternioni mayut multiplikativnu normu iz cogo spivvidnoshennya viplivaye tak zvana totozhnist chotiroh kvadrativ Yaksho q 1 displaystyle q 1 nbsp to q displaystyle q nbsp nazivayut odinichnim kvaternionomAlgebrayichni vlastivosti RedaguvatiVihodyachi z vishenavedenih vlastivostej uyavnih odinic mozhna otrimati taki vlastivosti dodavannya kvaternioniv ye asociativnim ta komutativnim mnozhennya kvaternioniv ye asociativnim ale ne ye komutativnim Iz nekomutativnosti mnozhennya viplivaye sho sistema kvaternioniv ne ye polem Prote vona ye tilom i takim chinom ne mistit dilnikiv nulya Tilo kvaternioniv zazvichaj poznachayetsya H displaystyle mathbb H nbsp Skazane vishe svidchit pro zdijsnennist dilennya v sistemi kvaternioniv ale slid rozriznyati live ta prave dilennya Chotiri bazisnih kvaternioni i chotiri protilezhnih yim za znakom kvaternioni utvoryuyut grupu kvaternioniv po mnozhennyu z poryadkom 8 Tobto Q 8 1 i j k displaystyle Q 8 pm 1 pm i pm j pm k nbsp Detalnishe pro vektorne predstavlennya RedaguvatiOskilki kvaternion q a b i c j d k displaystyle mathbf q a bi cj dk nbsp mozhna predstaviti u viglyadi pari skalyara ta 3 vimirnogo vektora q s v s a v b c d displaystyle mathbf q s vec v quad s a quad vec v b c d nbsp Viyavlyayetsya sho mnozhennya kvaternioniv mozhna zapisati cherez skalyarnij ta vektornij dobutki vidpovidnih 3 vimirnih vektoriv q 1 q 2 s 1 v 1 s 2 v 2 s 1 s 2 v 1 v 2 s 1 v 2 s 2 v 1 v 1 v 2 displaystyle mathbf q 1 q 2 s 1 vec v 1 s 2 vec v 2 s 1 s 2 vec v 1 cdot vec v 2 s 1 vec v 2 s 2 vec v 1 vec v 1 times vec v 2 nbsp Pri takomu pidhodi chisto vektorni kvaternioni mozhna ototozhniti z 3 vimirnimi vektorami Todi dobutok dvoh takih kvaternioniv mozhna otrimati vidnyavshi vid yih vektornogo dobutku yih skalyarnij dobutok 0 v 1 0 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 displaystyle 0 vec v 1 0 vec v 2 vec v 1 cdot vec v 2 vec v 1 times vec v 2 nbsp Pidnesennya do stepenya RedaguvatiRivnist e v f cos f v sin f displaystyle e vec v varphi cos varphi vec v cdot sin varphi nbsp dovoditsya podibno do formuli Ejlera zistavlennyam ryadiv Tejlora z oboh bokiv Zapishemo kvaternion u vektornij trigonometrichnij formi q q cos f v sin f q e v f v 1 displaystyle q q cos varphi vec v cdot sin varphi q e vec v varphi qquad vec v 1 nbsp Naturalnij stepin q 2 q 2 cos 2 f sin 2 f 2 v cos f sin f q 2 cos 2 f v sin 2 f displaystyle q 2 q 2 cos 2 varphi sin 2 varphi 2 vec v cos varphi sin varphi q 2 cos 2 varphi vec v sin 2 varphi nbsp Vikoristavshi matematichnu indukciyu otrimayemo q n q n cos n f v sin n f n N displaystyle q n q n cos n varphi vec v sin n varphi qquad n in mathbb N nbsp Dijsnij stepin ln q ln q e v f ln q v f displaystyle ln q ln q e vec v varphi ln q vec v varphi nbsp q a e ln q a e ln q v f a q e v f a q a e v f a q a cos a f v sin a f displaystyle q a left e ln q right a left e ln q vec v varphi right a left q e vec v varphi right a q a e vec v varphi cdot a q a cos a varphi vec v sin a varphi nbsp Pidnesennya kvaterniona do dijsnogo stepenya zastosovuyetsya dlya interpolyaciyi povorotiv z postijnoyu kutovoyu shvidkistyu Kompleksni kvaternioni RedaguvatiInodi oznacheni v cij statti kvaternioni nazivayut dijsnimi kvaternionami rozglyadayuchi takozh kompleksni kvaternioni oznachennya yakih vidriznyayetsya vid navedenogo lishe tim sho a b c d displaystyle a b c d nbsp kompleksni chisla Pri comu kompleksna odinicya i displaystyle i nbsp ne ototozhnyuyetsya z kvaternionnoyu odiniceyu i displaystyle i nbsp tak sho yih dovoditsya poznachati po riznomu napriklad iz vikoristannyam navedenih vishe alternativnih poznachen abo vidilyayuchi kvaternionni odinici zhirnim shriftom Istoriya Redaguvati nbsp Pam yatna tablichka na mostu Brum Bridzh v Dublini Tut na progulyanci 16 zhovtnya 1843 roku osyayanij geniyem ser Vilyam Roven Gamilton vidkriv formulu mnozhennya kvaternioniv i2 j2 k2 ijk 1Burhlivij i nadzvichajno plidnij rozvitok kompleksnogo analizu v XIX stolitti stimulyuvav u matematikiv interes do nastupnoyi zadachi znajti novij vid chisel analogichnij za vlastivostyami kompleksnim sho mistit ne odnu a dvi uyavni odinici Peredbachalosya sho taka model bude korisna dlya rozv yazannya prostorovih zadach matematichnoyi fiziki Prote zusillya v comu napryamku viyavilasya bezuspishnimi 1843 roku novij tip chisel viyaviv irlandskij matematik Vilyam Roven Gamilton Ci chisla mistili ne dvi uyavni odinici yak ochikuvalosya a tri Gamilton nazvav ci chisla kvaternionami Istoriki nauki takozh viyavili nacherki po cij temi v neopublikovanih rukopisah Gaussa 1819 1820 rokiv Model dosit shvidko prinesla praktichnu korist Piznishe na osnovi algebri kvaternioniv Gibbs ta Gevisajd stvorili trivimirnij vektornij analiz Suchasne vikoristannya RedaguvatiU XX stolitti namagalisya vikoristovuvati kvaternionni modeli u kvantovij mehanici j teoriyi vidnosnosti Realne zastosuvannya kvaternioni znajshli v komp yuternij grafici j programuvanni igor a takozh v obchislyuvalnij mehanici v inercialnij navigaciyi j teoriyi upravlinnya U bagatoh galuzyah bulo znajdeno bilsh zagalni j praktichni zasobi nizh kvaternioni Napriklad dlya doslidzhennya ruhiv u prostori najchastishe zastosovuyut matrichne chislennya Odnak tam de vazhlivo opisuvati trivimirnij povorot za dopomogoyu minimalnoyi kilkosti skalyarnih parametriv zastosuvannya parametriv Rodrigo Gamiltona tobto chotiroh komponent kvaterniona povorotu chasto viyavlyayetsya krashim takij opis nikoli ne virodzhuyetsya todi yak opis povorotiv troma parametrami napriklad kutami Ejlera zavzhdi maye kritichni znachennya cih parametriv Dokladnishe Kvaternioni i povoroti prostoruDiv takozh RedaguvatiKvaternion GurvicaDzherela RedaguvatiMatematicheskij enciklopedicheskij slovar Moskva 1988 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvaternioni amp oldid 37324813