www.wikidata.uk-ua.nina.az

Векторне числення область математичного аналізу в якій вивчаються скалярні і векторні поля Основною теоремою векторного

Векторне числення

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії. Векторне числення відіграє важливу роль у диференційній геометрії і при вивченні диференційних рівнянь з частинними похідними. Воно широко використовується у фізиці і інженерії, особливо при описанні електромагнітних полів, гравітаційних полів і законів гідродинаміки.

Векторне числення розвинулося із області аналізу кватерніонів, над яким працювали Дж. Віллард Гіббз і Олівер Хевісайд наприкінці 19-го століття, і більша частина нотацій і термінології була встановлена Гіббзом і Едвіном Бідвеллом Вілсоном[en] у опублікованій ними книзі в 1901, Векторний аналіз[en]. У традиційній формі із застосуванням векторного добутку, векторне числення не можна узагальнити до більших вимірів, в той час як альтернативний підхід геометричної алгебри[en], що використовує зовнішній добуток може бути узагальненим.

Базові поняття Редагувати

Скалярне поле Редагувати

Скалярне поле пов'язує скалярне значення до кожної точки в просторі. Скаляром може бути як математичне число так і фізична величина. Прикладом скалярних полів в типових застосуваннях є розподілення температури в просторі, розповсюдження тиску в рідині, або спін-нульові квантові поля, такі як Бозон Хіггса. Ці поля є предметом вивчення теорії скалярного поля[en].

Векторне поле Редагувати

Векторне поле пов'язує вектор до кожної точки з підмножини простору. Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої сили, такої як магнітна або гравітаційна сила, і того як вони змінюються від точки до точки.

Вектори і псевдовектори Редагувати

У більш складних випадках, розрізняють псевдовекторні поля і псевдоскалярні поля, що є ідентичними до векторних і скалярним полів, замість того, що вони змінюють свій знак відповідно до мапи перевертання орієнтації: наприклад, ротор векторного поля є псевдовекторним полем, і якщо хтось відображає векторне поле, ротор вказує в протилежному напряму. Ці відмінності детально вивчаються в геометричній алгебрі.

Векторна алгебра Редагувати

Алгебраїчні (не диференційні) операції над векторами називаються векторною алгеброю, яка визначається для векторного простору і застосовується для векторного поля. Базовими векторними операціями є наступні:

Операція Позначення Опис
Додавання векторів Додавання двох векторних полів, в результаті дає векторне поле.
Множення на скаляр Множення скалярного поля на векторне поле, дає результатом векторне поле.
Скалярний добуток Множення двох векторних полів має результатом скалярне поле.
Векторний добуток Множення двох векторних полів в , породжує (псевдо)векторне поле.

Також використовуються два мішаних добутки:

Операція Позначення Опис
Скалярний мішаний добуток Скалярний добуток вектора на векторний добуток двох векторів.
Векторний мішаний добуток Векторний добуток вектора на скалярний добуток двох векторів.

Операції і теореми Редагувати

Диференційні оператори Редагувати

Векторне числення вивчає різні диференціальні оператори визначені для скалярного або векторного полів, які зазвичай позначаються оператором Гамільтона (), що також відомий як "набла". Трьома основними векторними операторами є:

Операція Позначення Опис Аналогія позначень Область/Діапазон
Градієнт Вимірює швидкість і напрям зміни скалярного поля. Множення на скаляр Зображає скалярні поля у векторні поля.
Дивергенція Вимірює скалярну величину джерела векторного поля в даній точці. Скалярний добуток Зображає векторні поля у скалярні поля.
Ротор Вимірює тенденцію до обертання довкола точки у векторному полі . Векторний добуток Зображає векторні поля у псевдо-векторні поля.
позначає скалярне поле, а позначає векторне поле

Також загальновживаними є два оператори Лапласа:

Операція Позначення Опис Область/Діапазон
Оператор Лапласа Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах. Виконує перетворення між скалярними полями.
Векторний оператор лапласа Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах. Виконує перетворення між векторними полями.
позначає скалярне поле, а позначає векторне поле

Величина, що називається Якобіаном є корисною для вивчення функцій, коли коли область і діапазон значень функції є багатомірними, наприклад, при заміні змінних під час інтегрування.

Інтегральні теореми Редагувати

Три основні векторні оператори мають під собою відповідні теореми, які узагальнюють основну формулу інтегрального числення до більших вимірів:

Теорема Твердження Опис
Градієнтна теорема Криволінійний інтеграл градієнта над скалярним полем дорівнює різниці значень скалярного поля у кінцевих точках кривої.
Теорема про дивергенцію Інтеграл над дивергенцією векторного поля по n-вимірному тілу дорівнює густині потоку векторного поля через (n − 1)-вимірну замкнену поверхню, що обмежує тіло.
Теорема Кельвіна-Стокса Інтеграл по кривій у векторному полі по поверхні в просторі дорівнює лінійному інтегралу векторного поля по замкненій кривій, що обмежує поверхню.
позначає скалярне поле, а позначає векторне поле

У випадку для двох вимірів, теореми про дивергенцію і Кельвіна-Стокса спрощуються до теореми Гріна:

Теорема Твердження Опис
Теорема Гріна Інтеграл над дивергенцією або кривою у векторному полі по деякій області в дорівнює густині потоку енергії або лінійному інтегралу у векторному полі по замкненій кривій, що обмежує область.
Для дивергенції, . Для кривої, . L і M є функціями змінних (x, y).

Застосування Редагувати

Лінійна апроксимація Редагувати

Лінійна апроксимація (наближення) використовується аби замінити складні функції лінійними функціями, що є дуже подібними. Дана диференційована функція дійсних змінних. Можна апроксимувати функцію для , що є близькими до за допомогою формули

В правій частині представлене рівняння площини, що є дотичною до графіку функції у точці

Оптимізація Редагувати

Для неперервно диференційованої функції багатьох дійсних змінних[en], точка P (що є множиною значень вхідних змінних, і яка розглядається як точка в просторі Rn) є критичною точкою якщо всі часткові похідні функції дорівнюють нулю в даній точці P, або, еквівалентно, якщо її градієнт дорівнює нулю. Критичними значеннями є значення функції в критичних точках.

Якщо функція є гладкою, або, принаймні двічі неперервно диференційована, критична точка може бути або локальним максимумом, локальним мінімумом або сідловою точкою. Ці різні випадки можна розрізнити, якщо розглянути власні значення матриці Гессе для других похідних.

Відповідно до теореми Ферма, всі локальні максимуми і мінімуми диференційованої функції знаходяться в критичних точках. Таким чином, аби знайти локальні максимуми і мінімуми, теоретично, є достатнім розрахувати нулі градієнта і власні значення матриці Гессе в цих нулях.

Фізика і інженерія Редагувати

Векторне числення зокрема важливе для вивчення:

Основні формули векторного числення Редагувати

Для довільних векторних полів та і довільних склярних полів та

Узагальнення Редагувати

Різні 3-вимірні многовиди Редагувати

Векторне числення як правило визначається для евклідового 3-вимірного простору яке як правило має додаткову структуру крім простого представлення як 3-вимірного дійсного векторного простору, цією структурою є норма (що задає поняття довжини) яка визначається через внутрішній добуток (скалярний добуток). Це в свою чергу додає поняття кута, і орієнтації, що може визначатися за правилом правої чи лівої руки. Ці структури також приводять до поняття форми об'єму, а також до векторного добутку, який досить широко і всебічно використовується у векторному численні.

Оператори градієнту і дивергенції потребують лише існування внутрішнього добутку, а ротор і векторний добуток потребують враховувати направленість системи координат за правилом правої чи лівої руки.

Векторне числення може бути визначене і для інших 3-вимірних векторних просторів, якщо вони визначають предгільбертів простір (або в більш загально кажучи, мають симетричну невироджену форму) і орієнтацію. Варто зауважити що ці вимоги є вужчими за ізоморфізм Евклідового простору, оскільки векторне числення не потребує використання множини координат (тобто системи відліку), що підкреслює той факт, що векторне числення є інваріантним до обертань (спеціальна ортогональна група SO(3)).

У більш загальному випадку, векторне числення може визначатися для будь-якого 3-вимірного орієнтованого ріманового многовиду, або для псевдоріманового многовида. Ця структура просто кажучи означає, що дотичний простір в кожній точці має внутрішній добуток (симетричну невироджену форму) і орієнтацію, або більш загально, в ньому існує симетричний невироджений метричний тензор і орієнтація, і це є дійсним тому що векторне числення визначається через дотичні вектори в кожній точці.

Примітки Редагувати

  1. Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). . Springer. с. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. Архів оригіналу за 25 квітня 2016. Процитовано 27 листопада 2016. 

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Vektorne chislennya oblast matematichnogo analizu v yakij vivchayutsya skalyarni i vektorni polya Osnovnoyu teoremoyu vektornogo chislennya ye Teorema Stoksa Bagato rezultativ vektornogo chislennya mozhut buti predstavleni yak chastkovi vipadki diferencialnoyi geometriyi Vektorne chislennya vidigraye vazhlivu rol u diferencijnij geometriyi i pri vivchenni diferencijnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Vono shiroko vikoristovuyetsya u fizici i inzheneriyi osoblivo pri opisanni elektromagnitnih poliv gravitacijnih poliv i zakoniv gidrodinamiki Vektorne chislennya rozvinulosya iz oblasti analizu kvaternioniv nad yakim pracyuvali Dzh Villard Gibbz i Oliver Hevisajd naprikinci 19 go stolittya i bilsha chastina notacij i terminologiyi bula vstanovlena Gibbzom i Edvinom Bidvellom Vilsonom en u opublikovanij nimi knizi v 1901 Vektornij analiz en U tradicijnij formi iz zastosuvannyam vektornogo dobutku vektorne chislennya ne mozhna uzagalniti do bilshih vimiriv v toj chas yak alternativnij pidhid geometrichnoyi algebri en sho vikoristovuye zovnishnij dobutok mozhe buti uzagalnenim Zmist 1 Bazovi ponyattya 1 1 Skalyarne pole 1 2 Vektorne pole 1 3 Vektori i psevdovektori 2 Vektorna algebra 3 Operaciyi i teoremi 3 1 Diferencijni operatori 3 2 Integralni teoremi 4 Zastosuvannya 4 1 Linijna aproksimaciya 4 2 Optimizaciya 4 3 Fizika i inzheneriya 5 Osnovni formuli vektornogo chislennya 6 Uzagalnennya 6 1 Rizni 3 vimirni mnogovidi 7 Primitki 8 PosilannyaBazovi ponyattya RedaguvatiSkalyarne pole Redaguvati Dokladnishe Skalyarne poleSkalyarne pole pov yazuye skalyarne znachennya do kozhnoyi tochki v prostori Skalyarom mozhe buti yak matematichne chislo tak i fizichna velichina Prikladom skalyarnih poliv v tipovih zastosuvannyah ye rozpodilennya temperaturi v prostori rozpovsyudzhennya tisku v ridini abo spin nulovi kvantovi polya taki yak Bozon Higgsa Ci polya ye predmetom vivchennya teoriyi skalyarnogo polya en Vektorne pole Redaguvati Dokladnishe Vektorne poleVektorne pole pov yazuye vektor do kozhnoyi tochki z pidmnozhini prostoru 1 Vektorne pole na ploshini yak priklad mozhna zobraziti yak nabir strilok iz zadanoyu velichinoyu i napryamom sho priv yazani do okremih tochok na ploshini Vektorni polya chasto vikoristovuyutsya dlya modelyuvannya napriklad napryamu i shvidkosti ruhu ridini v prostori abo sili i napryamku diyi deyakoyi sili takoyi yak magnitna abo gravitacijna sila i togo yak voni zminyuyutsya vid tochki do tochki Vektori i psevdovektori Redaguvati U bilsh skladnih vipadkah rozriznyayut psevdovektorni polya i psevdoskalyarni polya sho ye identichnimi do vektornih i skalyarnim poliv zamist togo sho voni zminyuyut svij znak vidpovidno do mapi perevertannya oriyentaciyi napriklad rotor vektornogo polya ye psevdovektornim polem i yaksho htos vidobrazhaye vektorne pole rotor vkazuye v protilezhnomu napryamu Ci vidminnosti detalno vivchayutsya v geometrichnij algebri Vektorna algebra RedaguvatiDokladnishe Vektorna algebraAlgebrayichni ne diferencijni operaciyi nad vektorami nazivayutsya vektornoyu algebroyu yaka viznachayetsya dlya vektornogo prostoru i zastosovuyetsya dlya vektornogo polya Bazovimi vektornimi operaciyami ye nastupni Operaciya Poznachennya OpisDodavannya vektoriv v 1 v 2 displaystyle mathbf v 1 mathbf v 2 nbsp Dodavannya dvoh vektornih poliv v rezultati daye vektorne pole Mnozhennya na skalyar a v displaystyle a mathbf v nbsp Mnozhennya skalyarnogo polya na vektorne pole daye rezultatom vektorne pole Skalyarnij dobutok v 1 v 2 displaystyle mathbf v 1 cdot mathbf v 2 nbsp Mnozhennya dvoh vektornih poliv maye rezultatom skalyarne pole Vektornij dobutok v 1 v 2 displaystyle mathbf v 1 times mathbf v 2 nbsp Mnozhennya dvoh vektornih poliv v R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp porodzhuye psevdo vektorne pole Takozh vikoristovuyutsya dva mishanih dobutki Operaciya Poznachennya OpisSkalyarnij mishanij dobutok v 1 v 2 v 3 displaystyle mathbf v 1 cdot left mathbf v 2 times mathbf v 3 right nbsp Skalyarnij dobutok vektora na vektornij dobutok dvoh vektoriv Vektornij mishanij dobutok v 1 v 2 v 3 displaystyle mathbf v 1 times left mathbf v 2 times mathbf v 3 right nbsp Vektornij dobutok vektora na skalyarnij dobutok dvoh vektoriv Operaciyi i teoremi RedaguvatiDokladnishe Formuli vektornogo analizuDiferencijni operatori Redaguvati Dokladnishe Gradiyent Divergenciya matematika Rotor matematika Operator Laplasa Potik vektora ta Cirkulyaciya vektoraVektorne chislennya vivchaye rizni diferencialni operatori viznacheni dlya skalyarnogo abo vektornogo poliv yaki zazvichaj poznachayutsya operatorom Gamiltona displaystyle nabla nbsp sho takozh vidomij yak nabla Troma osnovnimi vektornimi operatorami ye Operaciya Poznachennya Opis Analogiya poznachen Oblast DiapazonGradiyent grad f f displaystyle operatorname grad f nabla f nbsp Vimiryuye shvidkist i napryam zmini skalyarnogo polya Mnozhennya na skalyar Zobrazhaye skalyarni polya u vektorni polya Divergenciya div F F displaystyle operatorname div mathbf F nabla cdot mathbf F nbsp Vimiryuye skalyarnu velichinu dzherela vektornogo polya v danij tochci Skalyarnij dobutok Zobrazhaye vektorni polya u skalyarni polya Rotor curl F F displaystyle operatorname curl mathbf F nabla times mathbf F nbsp Vimiryuye tendenciyu do obertannya dovkola tochki u vektornomu poli R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Vektornij dobutok Zobrazhaye vektorni polya u psevdo vektorni polya f displaystyle f nbsp poznachaye skalyarne pole a F displaystyle F nbsp poznachaye vektorne poleTakozh zagalnovzhivanimi ye dva operatori Laplasa Operaciya Poznachennya Opis Oblast DiapazonOperator Laplasa D f 2 f f displaystyle Delta f nabla 2 f nabla cdot nabla f nbsp Vimiryuye riznicyu mizh znachennyam skalyarnogo polya v yih serednih znachennyah pri neskinchenno malih sferah Vikonuye peretvorennya mizh skalyarnimi polyami Vektornij operator laplasa 2 F F F displaystyle nabla 2 mathbf F nabla nabla cdot mathbf F nabla times nabla times mathbf F nbsp Vimiryuye riznicyu mizh znachennyam skalyarnogo polya v yih serednih znachennyah pri neskinchenno malih sferah Vikonuye peretvorennya mizh vektornimi polyami f displaystyle f nbsp poznachaye skalyarne pole a F displaystyle F nbsp poznachaye vektorne poleVelichina sho nazivayetsya Yakobianom ye korisnoyu dlya vivchennya funkcij koli koli oblast i diapazon znachen funkciyi ye bagatomirnimi napriklad pri zamini zminnih pid chas integruvannya Integralni teoremi Redaguvati Tri osnovni vektorni operatori mayut pid soboyu vidpovidni teoremi yaki uzagalnyuyut osnovnu formulu integralnogo chislennya do bilshih vimiriv Teorema Tverdzhennya OpisGradiyentna teorema L p q R n f d r f q f p displaystyle int L mathbf p to mathbf q subset mathbb R n nabla varphi cdot d mathbf r varphi left mathbf q right varphi left mathbf p right nbsp Krivolinijnij integral gradiyenta nad skalyarnim polem dorivnyuye riznici znachen skalyarnogo polya u kincevih tochkah krivoyi Teorema pro divergenciyu V R n n F d V V n 1 F d S displaystyle underbrace int cdots int V subset mathbb R n n nabla cdot mathbf F dV underbrace oint cdots oint partial V n 1 mathbf F cdot d mathbf S nbsp Integral nad divergenciyeyu vektornogo polya po n vimirnomu tilu dorivnyuye gustini potoku vektornogo polya cherez n 1 vimirnu zamknenu poverhnyu sho obmezhuye tilo Teorema Kelvina Stoksa S R 3 F d S S F d r displaystyle iint Sigma subset mathbb R 3 nabla times mathbf F cdot d mathbf Sigma oint partial Sigma mathbf F cdot d mathbf r nbsp Integral po krivij u vektornomu poli po poverhni v prostori R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp dorivnyuye linijnomu integralu vektornogo polya po zamknenij krivij sho obmezhuye poverhnyu f displaystyle varphi nbsp poznachaye skalyarne pole a F displaystyle F nbsp poznachaye vektorne poleU vipadku dlya dvoh vimiriv teoremi pro divergenciyu i Kelvina Stoksa sproshuyutsya do teoremi Grina Teorema Tverdzhennya OpisTeorema Grina A R 2 M x L y d A A L d x M d y displaystyle iint A subset mathbb R 2 left frac partial M partial x frac partial L partial y right dA oint partial A left L dx M dy right nbsp Integral nad divergenciyeyu abo krivoyu u vektornomu poli po deyakij oblasti v R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp dorivnyuye gustini potoku energiyi abo linijnomu integralu u vektornomu poli po zamknenij krivij sho obmezhuye oblast Dlya divergenciyi F M L displaystyle F M L nbsp Dlya krivoyi F L M 0 displaystyle F L M 0 nbsp L i M ye funkciyami zminnih x y Zastosuvannya RedaguvatiLinijna aproksimaciya Redaguvati Linijna aproksimaciya nablizhennya vikoristovuyetsya abi zaminiti skladni funkciyi linijnimi funkciyami sho ye duzhe podibnimi Dana diferencijovana funkciya f x y displaystyle f x y nbsp dijsnih zminnih Mozhna aproksimuvati funkciyu f x y displaystyle f x y nbsp dlya x y displaystyle x y nbsp sho ye blizkimi do a b displaystyle a b nbsp za dopomogoyu formuli f x y f a b f x a b x a f y a b y b displaystyle f x y approx f a b frac partial f partial x a b x a frac partial f partial y a b y b nbsp V pravij chastini predstavlene rivnyannya ploshini sho ye dotichnoyu do grafiku funkciyi z f x y displaystyle z f x y nbsp u tochci a b displaystyle a b nbsp Optimizaciya Redaguvati Dokladnishe Optimizaciya matematika Dlya neperervno diferencijovanoyi funkciyi bagatoh dijsnih zminnih en tochka P sho ye mnozhinoyu znachen vhidnih zminnih i yaka rozglyadayetsya yak tochka v prostori Rn ye kritichnoyu tochkoyu yaksho vsi chastkovi pohidni funkciyi dorivnyuyut nulyu v danij tochci P abo ekvivalentno yaksho yiyi gradiyent dorivnyuye nulyu Kritichnimi znachennyami ye znachennya funkciyi v kritichnih tochkah Yaksho funkciya ye gladkoyu abo prinajmni dvichi neperervno diferencijovana kritichna tochka mozhe buti abo lokalnim maksimumom lokalnim minimumom abo sidlovoyu tochkoyu Ci rizni vipadki mozhna rozrizniti yaksho rozglyanuti vlasni znachennya matrici Gesse dlya drugih pohidnih Vidpovidno do teoremi Ferma vsi lokalni maksimumi i minimumi diferencijovanoyi funkciyi znahodyatsya v kritichnih tochkah Takim chinom abi znajti lokalni maksimumi i minimumi teoretichno ye dostatnim rozrahuvati nuli gradiyenta i vlasni znachennya matrici Gesse v cih nulyah Fizika i inzheneriya Redaguvati Vektorne chislennya zokrema vazhlive dlya vivchennya Centra mas Teoriyi polya Kinematiki Rivnyan MaksvellaOsnovni formuli vektornogo chislennya RedaguvatiDokladnishe Formuli vektornogo analizuDlya dovilnih vektornih poliv a displaystyle mathbf a nbsp ta b displaystyle mathbf b nbsp i dovilnih sklyarnih poliv f displaystyle varphi nbsp ta 3 displaystyle xi nbsp rot f 0 displaystyle text rot nabla varphi 0 nbsp div rot a 0 displaystyle text div text rot mathbf a 0 nbsp rot rot a div a D a displaystyle text rot text rot mathbf a nabla text div mathbf a Delta mathbf a nbsp f 3 f 3 3 f displaystyle nabla varphi xi varphi nabla xi xi nabla varphi nbsp div f a f div a a f displaystyle text div varphi mathbf a varphi text div mathbf a mathbf a cdot nabla varphi nbsp rot f a f rot a f a displaystyle text rot varphi mathbf a varphi text rot mathbf a nabla varphi times mathbf a nbsp div a b b rot a a rot b displaystyle text div mathbf a times mathbf b mathbf b cdot text rot mathbf a mathbf a cdot text rot mathbf b nbsp a b a b b a a rot b b rot a displaystyle nabla mathbf a cdot mathbf b mathbf a cdot nabla mathbf b mathbf b cdot nabla mathbf a mathbf a times text rot mathbf b mathbf b times text rot mathbf a nbsp rot a b b a a b a div b b div a displaystyle text rot mathbf a times mathbf b mathbf b cdot nabla mathbf a mathbf a nabla mathbf b mathbf a text div mathbf b mathbf b text div mathbf a nbsp Uzagalnennya RedaguvatiRizni 3 vimirni mnogovidi Redaguvati Vektorne chislennya yak pravilo viznachayetsya dlya evklidovogo 3 vimirnogo prostoru R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp yake yak pravilo maye dodatkovu strukturu krim prostogo predstavlennya yak 3 vimirnogo dijsnogo vektornogo prostoru ciyeyu strukturoyu ye norma sho zadaye ponyattya dovzhini yaka viznachayetsya cherez vnutrishnij dobutok skalyarnij dobutok Ce v svoyu chergu dodaye ponyattya kuta i oriyentaciyi sho mozhe viznachatisya za pravilom pravoyi chi livoyi ruki Ci strukturi takozh privodyat do ponyattya formi ob yemu a takozh do vektornogo dobutku yakij dosit shiroko i vsebichno vikoristovuyetsya u vektornomu chislenni Operatori gradiyentu i divergenciyi potrebuyut lishe isnuvannya vnutrishnogo dobutku a rotor i vektornij dobutok potrebuyut vrahovuvati napravlenist sistemi koordinat za pravilom pravoyi chi livoyi ruki Vektorne chislennya mozhe buti viznachene i dlya inshih 3 vimirnih vektornih prostoriv yaksho voni viznachayut predgilbertiv prostir abo v bilsh zagalno kazhuchi mayut simetrichnu nevirodzhenu formu i oriyentaciyu Varto zauvazhiti sho ci vimogi ye vuzhchimi za izomorfizm Evklidovogo prostoru oskilki vektorne chislennya ne potrebuye vikoristannya mnozhini koordinat tobto sistemi vidliku sho pidkreslyuye toj fakt sho vektorne chislennya ye invariantnim do obertan specialna ortogonalna grupa SO 3 U bilsh zagalnomu vipadku vektorne chislennya mozhe viznachatisya dlya bud yakogo 3 vimirnogo oriyentovanogo rimanovogo mnogovidu abo dlya psevdorimanovogo mnogovida Cya struktura prosto kazhuchi oznachaye sho dotichnij prostir v kozhnij tochci maye vnutrishnij dobutok simetrichnu nevirodzhenu formu i oriyentaciyu abo bilsh zagalno v nomu isnuye simetrichnij nevirodzhenij metrichnij tenzor i oriyentaciya i ce ye dijsnim tomu sho vektorne chislennya viznachayetsya cherez dotichni vektori v kozhnij tochci Primitki Redaguvati Galbis Antonio amp Maestre Manuel 2012 Vector Analysis Versus Vector Calculus Springer s 12 ISBN 978 1 4614 2199 3 Arhiv originalu za 25 kvitnya 2016 Procitovano 27 listopada 2016 Posilannya RedaguvatiHazewinkel Michiel red 2001 Vector analysis Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Hazewinkel Michiel red 2001 Vector algebra Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Vector Calculus Video Lectures Arhivovano 31 grudnya 2013 u Wayback Machine from University of New South Wales on Academic Earth A survey of the improper use of in vector analysis 1994 Tai Chen Expanding vector analysis to an oblique coordinate system nedostupne posilannya z zhovtnya 2019 Vector Analysis Arhivovano 25 kvitnya 2016 u Wayback Machine A Text book for the Use of Students of Mathematics and Physics based upon the lectures of Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson published 1902 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Vector Analysis Arhivovano 19 chervnya 2018 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vektorne chislennya amp oldid 40289834