www.wikidata.uk-ua.nina.az

Псевдоріманів многовид Псевдорімановий многовид многовид на якому визначено метричний тензор квадратична форма що є неви

Псевдоріманів многовид

Псевдорімановий многовид  — многовид, на якому визначено метричний тензор (квадратична форма), що є невиродженим у кожній точці, але, на відміну від ріманових многовидів, не обов'язково додатноозначений. Зазвичай передбачається, що сигнатура метрики постійна (у разі зв'язного многовида це автоматично випливає з умови невиродженості).

Означення Редагувати

Нехай  — диференційовний многовид розмірності і для кожної точки дотичний простір у цій точці позначається .

Многовид називається псевдорімановим, якщо задано відображення (метричний тензор) який кожній парі векторів із деякого дотичного простору ставить у відповідність дійсне число й задовольняє властивостям симетричності, білінійності, гладкості та існування нуля.

Тобто, для виконуються такі умови:

Єдиною відмінністю від визначення ріманового многовиду є відсутність умови додатноозначеності. Тому якщо для ріманових многовидів дотичні простори набувають структуру евклідового простору, для псевдоріманових многовидів дотичні простори є лише псевдоевклідовими.

Сигнатура Редагувати

Для метричного тензора g на n-вимірному дійсному многовиді, квадратична форма q(x) = g(X, X) пов'язана з метричним тензором для елементів кожного ортогонального базису визначає n дійсних чисел. Згідно закону інерції Сильвестра, кількість додатних, від'ємних і нульових значень не залежить від вибору ортогонального базису. Для невиродженого метричного тензора нульових значень немає і сигнатура визначена як (p, q), де p + q = n. Сигнатура не змінюється в усіх точках будь-якої компоненти зв'язності многовида.

Приклади Редагувати

Геометрія псевдоріманових просторів Редагувати

У локальних координатах метричний тензор може бути записаний як На многовиді однозначно визначена зв'язність Леві-Чивіти і тензор кривини.

Довжина кривої визначається за формулою:

Вона може бути дійсною, уявною або рівною нулю (Ізотропна крива). Геодезичні лінії в псевдоріманових просторах навіть в малих своїх частинах втрачають екстремальні властивості, залишаючись лініями стаціонарної довжини. Довжина деякої дуги може бути більшою або меншою довжини геодезичної лінії, що з'єднує кінці дуги.

У випадку простору сигнатури (1, n), відрізок геодезичної лінії дійсної довжини дає найбільшу відстань між кінцевими точками (у припущенні, що дугу геодезичної лінії можна вкласти в напівгеодезичну координатну систему у вигляді координатної лінії і що для порівняння беруться гладкі криві дійсної довжини з області, де є визначеною ця координатна система).

У разі, коли розглядається псевдоевклідів простір сигнатури (1, n), можна будь-яку пряму дійсної довжини прийняти за вісь ортонормованої координатної системи, в якій скалярний квадрат вектора має вигляд:

Тут будь-який прямолінійний відрізок дійсної довжини (уздовж осі ) буде визначати найдовшу відстань між точками, які є його кінцями.

У разі многовида сигнатури (n, 1) відрізок геодезичної лінії уявної довжини буде мати більшу довжину в порівнянні з іншими гладкими кривими уявної довжини, кінці яких збігаються з кінцями геодезичного відрізка.

На відміну від ріманових многовидів на власне псевдоріманових многовидах неможливо запровадити природну структуру метричного простору, оскільки існують різні точки, відстань між якими дорівнює нулю.

У псевдорімановому многовиді визначається секційна кривина, вона може бути інтерпретована як кривина геодезичної (неізотропної) 2-поверхні, проведеної в даній точці в даному двовимірному напрямку. Якщо значення секційної кривини в кожній точці одне і те ж за всіма двовимірними напрямками, то воно є постійним у всіх точках (теорема Шура) і псевдорімановий многовид в цьому випадку називається псевдорімановим многовидом сталої кривини.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (вид. First Dover 1980). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6. 
  • Chen, Bang-Yen (2011). Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications. World Scientific Publisher. ISBN 978-981-4329-63-7. 
  • O'Neill, Barrett (1983). Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity. Pure and Applied Mathematics 103. Academic Press. ISBN 9780080570570. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Psevdorimanovij mnogovid mnogovid na yakomu viznacheno metrichnij tenzor kvadratichna forma sho ye nevirodzhenim u kozhnij tochci ale na vidminu vid rimanovih mnogovidiv ne obov yazkovo dodatnooznachenij Zazvichaj peredbachayetsya sho signatura metriki postijna u razi zv yaznogo mnogovida ce avtomatichno viplivaye z umovi nevirodzhenosti Zmist 1 Oznachennya 1 1 Signatura 2 Prikladi 3 Geometriya psevdorimanovih prostoriv 4 Div takozh 5 LiteraturaOznachennya RedaguvatiNehaj M displaystyle M nbsp diferencijovnij mnogovid rozmirnosti n displaystyle n nbsp i dlya kozhnoyi tochki p M displaystyle p in M nbsp dotichnij prostir u cij tochci poznachayetsya T p M displaystyle T p M nbsp Mnogovid nazivayetsya psevdorimanovim yaksho zadano vidobrazhennya metrichnij tenzor g T p M T p M R displaystyle g T p M times T p M to mathbb R nbsp yakij kozhnij pari vektoriv iz deyakogo dotichnogo prostoru stavit u vidpovidnist dijsne chislo j zadovolnyaye vlastivostyam simetrichnosti bilinijnosti gladkosti ta isnuvannya nulya Tobto dlya X Y Z T p M displaystyle X Y Z in T p M nbsp vikonuyutsya taki umovi g X Y g Y X displaystyle g X Y g Y X nbsp simetrichnist g a X Y Z a g X Z g Y Z a R displaystyle g aX Y Z ag X Z g Y Z forall a in mathbb R nbsp bilinijnist Yaksho dlya deyakogo X T p M displaystyle X in T p M nbsp dlya vsih Y T p M displaystyle Y in T p M nbsp spravedlivo g X Y 0 displaystyle g X Y 0 nbsp to X 0 displaystyle X 0 nbsp Dlya dovilnih gladkih vektornih poliv X Y displaystyle mathcal X mathcal Y nbsp g X Y displaystyle g mathcal X mathcal Y nbsp ye gladkoyu funkciyeyu na mnogovidi M displaystyle M nbsp Yedinoyu vidminnistyu vid viznachennya rimanovogo mnogovidu ye vidsutnist umovi dodatnooznachenosti Tomu yaksho dlya rimanovih mnogovidiv dotichni prostori nabuvayut strukturu evklidovogo prostoru dlya psevdorimanovih mnogovidiv dotichni prostori ye lishe psevdoevklidovimi Signatura Redaguvati Dlya metrichnogo tenzora g na n vimirnomu dijsnomu mnogovidi kvadratichna forma q x g X X pov yazana z metrichnim tenzorom dlya elementiv kozhnogo ortogonalnogo bazisu viznachaye n dijsnih chisel Zgidno zakonu inerciyi Silvestra kilkist dodatnih vid yemnih i nulovih znachen ne zalezhit vid viboru ortogonalnogo bazisu Dlya nevirodzhenogo metrichnogo tenzora nulovih znachen nemaye i signatura viznachena yak p q de p q n Signatura ne zminyuyetsya v usih tochkah bud yakoyi komponenti zv yaznosti mnogovida Prikladi RedaguvatiPsevdoevklidiv prostir ye najprostishim prikladom psevdorimanovogo mnogovida Rimaniv mnogovid mozhna rozglyadati yak okremij vipadok psevdorimanovogo iz signaturoyu n 0 Psevdorimanovi mnogovidi yaki ne ye vlasne rimanovimi inodi nazivayut vlasne psevdorimanovimi Psevdorimanovij mnogovid signaturi 1 n abo n 1 nazivayut prostorom Minkovskogo Vin ye osnovnim utochniti ob yektom zagalnoyi teoriyi vidnosnosti Geometriya psevdorimanovih prostoriv RedaguvatiU lokalnih koordinatah metrichnij tenzor mozhe buti zapisanij yak g i j g i j d x i d x j displaystyle g sum i j g ij mathrm d x i mathrm d x j nbsp Na mnogovidi odnoznachno viznachena zv yaznist Levi Chiviti i tenzor krivini Dovzhina krivoyi viznachayetsya za formuloyu s l i j g i j d x i d x j displaystyle s int l sqrt sum i j g ij mathrm d x i mathrm d x j nbsp Vona mozhe buti dijsnoyu uyavnoyu abo rivnoyu nulyu Izotropna kriva Geodezichni liniyi v psevdorimanovih prostorah navit v malih svoyih chastinah vtrachayut ekstremalni vlastivosti zalishayuchis liniyami stacionarnoyi dovzhini Dovzhina deyakoyi dugi mozhe buti bilshoyu abo menshoyu dovzhini geodezichnoyi liniyi sho z yednuye kinci dugi U vipadku prostoru signaturi 1 n vidrizok geodezichnoyi liniyi dijsnoyi dovzhini daye najbilshu vidstan mizh kincevimi tochkami u pripushenni sho dugu geodezichnoyi liniyi mozhna vklasti v napivgeodezichnu koordinatnu sistemu u viglyadi koordinatnoyi liniyi i sho dlya porivnyannya berutsya gladki krivi dijsnoyi dovzhini z oblasti de ye viznachenoyu cya koordinatna sistema U razi koli rozglyadayetsya psevdoevklidiv prostir signaturi 1 n mozhna bud yaku pryamu dijsnoyi dovzhini prijnyati za vis x n displaystyle x n nbsp ortonormovanoyi koordinatnoyi sistemi v yakij skalyarnij kvadrat vektora X displaystyle X nbsp maye viglyad X 2 i 1 n 1 x i 2 x n 2 displaystyle X 2 sum i 1 n 1 x i 2 x n 2 nbsp Tut bud yakij pryamolinijnij vidrizok dijsnoyi dovzhini uzdovzh osi x n displaystyle x n nbsp bude viznachati najdovshu vidstan mizh tochkami yaki ye jogo kincyami U razi mnogovida signaturi n 1 vidrizok geodezichnoyi liniyi uyavnoyi dovzhini bude mati bilshu dovzhinu v porivnyanni z inshimi gladkimi krivimi uyavnoyi dovzhini kinci yakih zbigayutsya z kincyami geodezichnogo vidrizka Na vidminu vid rimanovih mnogovidiv na vlasne psevdorimanovih mnogovidah nemozhlivo zaprovaditi prirodnu strukturu metrichnogo prostoru oskilki isnuyut rizni tochki vidstan mizh yakimi dorivnyuye nulyu U psevdorimanovomu mnogovidi viznachayetsya sekcijna krivina vona mozhe buti interpretovana yak krivina geodezichnoyi neizotropnoyi 2 poverhni provedenoyi v danij tochci v danomu dvovimirnomu napryamku Yaksho znachennya sekcijnoyi krivini v kozhnij tochci odne i te zh za vsima dvovimirnimi napryamkami to vono ye postijnim u vsih tochkah teorema Shura i psevdorimanovij mnogovid v comu vipadku nazivayetsya psevdorimanovim mnogovidom staloyi krivini Div takozh RedaguvatiZv yaznist Levi Chiviti Metrichnij tenzor Rimaniv mnogovidLiteratura RedaguvatiBishop Richard L Goldberg Samuel I 1968 Tensor Analysis on Manifolds vid First Dover 1980 The Macmillan Company ISBN 0 486 64039 6 Chen Bang Yen 2011 Pseudo Riemannian Geometry delta invariants and Applications World Scientific Publisher ISBN 978 981 4329 63 7 O Neill Barrett 1983 Semi Riemannian Geometry With Applications to Relativity Pure and Applied Mathematics 103 Academic Press ISBN 9780080570570 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Psevdorimaniv mnogovid amp oldid 37788046