www.wikidata.uk-ua.nina.az

Криволінійний інтеграл Узагальненням визначеного інтеграла на випадок коли областю інтегрування є деяка крива буде так з

Криволінійний інтеграл

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл І роду Редагувати

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай  — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

Таким чином, за означенням

Криволінійний інтеграл ІІ роду Редагувати

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму

де  — проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай  — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (xi;yi), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

Таким чином, за означенням

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

де  — проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:

Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (березень 2011)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Uzagalnennyam viznachenogo integrala na vipadok koli oblastyu integruvannya ye deyaka kriva bude tak zvanij krivolini jnij integra l Krivolinijnij integral I rodu RedaguvatiDokladnishe Krivolinijnij integral I roduNehaj na ploshini Oxy zadana neperervna kriva AB dovzhini l Rozdivimos neperervnu funkciyu f x y zadanu v tochkah dugi AB Rozib yemo krivu AB tochkami M0 A M1 M2 Mn B na n dovilnih dug Mi 1Mi z dovzhinami vidpovidno Dli i 1 2 n Viberemo na kozhnij duzi Mi 1Mi dovilnu tochku xi yi i sklademo sumu i 1 n f x i y i D l i displaystyle sum i 1 n f x i y i Delta l i nbsp Yiyi nazivayut integralnoyu sumoyu dlya funkciyi f x y po krivij AB Nehaj l max D l i 1 i n displaystyle lambda max Delta l i 1 leq i leq n nbsp najbilsha iz dovzhin dug podilu Yaksho l 0 displaystyle lambda rightarrow 0 nbsp n displaystyle n rightarrow infty nbsp isnuye skinchenna granicya integralnih sum to yiyi nazivayut krivolinijnim integralom vid funkciyi f x y po dovzhini krivoyi AB abo krivolinijnim integralom I rodu vid funkciyi f x y po krivij AB i poznachayut A B f x y d l displaystyle int AB f x y dl nbsp abo L f x y d l displaystyle int L f x y dl nbsp Takim chinom za oznachennyam A B f x y d l lim n i 1 n f x i y i D l i displaystyle int AB f x y dl lim n to infty sum i 1 n f x i y i Delta l i nbsp Krivolinijnij integral II rodu RedaguvatiDokladnishe Krivolinijnij integral II roduNehaj na ploshini Oxy zadana neperervna kriva AB dovzhini i funkciya P x y viznachena v kozhnij tochci krivoyi Rozib yemo krivu AB tochkami M0 A M1 M2 Mn B v napryami vid tochki A do tochki B na n dovilnih dug Mi 1Mi z dovzhinami vidpovidno Dli i 1 2 n Viberemo na kozhnij elementarnij duzi Mi 1Mi dovilnu tochku xi yi i sklademo sumu i 1 n P x i y i D x i displaystyle sum i 1 n P x i y i Delta x i nbsp de D x i x i 1 displaystyle Delta x i x i 1 nbsp proyekciya dugi Mi 1Mi na vis Ox Taku sumu nazivayut integralnoyu sumoyu dlya funkciyi P x y po zminnij x Nehaj l max D l i 1 i n displaystyle lambda max Delta l i 1 leq i leq n nbsp najbilsha iz dovzhin dug podilu Yaksho l 0 displaystyle lambda rightarrow 0 nbsp n displaystyle n rightarrow infty nbsp i isnuye skinchenna granicya integralnih sum sho ne zalezhit vid sposobu rozbittya krivoyi AB i viboru tochok xi yi to yiyi nazivayut krivolinijnim integralom po koordinati x abo II rodu vid funkciyi P x y po krivij AB i poznachayut A B P x y d l displaystyle int AB P x y dl nbsp abo L P x y d l displaystyle int L P x y dl nbsp Takim chinom za oznachennyam A B P x y d x lim n i 1 n P x i y i D x i displaystyle int AB P x y dx lim n to infty sum i 1 n P x i y i Delta x i nbsp Analogichno vivoditsya integral vid funkciyi Q x y po koordinati y A B Q x y d y lim n i 1 n Q x i y i D y i displaystyle int AB Q x y dy lim n to infty sum i 1 n Q x i y i Delta y i nbsp de D y i displaystyle Delta y i nbsp proyekciya dugi Mi 1Mi na vis Oy Krivolinijnij integral II rodu v zagalnomu viglyadi na ploshini A B P x y d x Q x y d y A B P x y d x A B Q x y d y displaystyle int AB P x y dx Q x y dy int AB P x y dx int AB Q x y dy nbsp Krivolinijnij integral II rodu po krivij v trivimirnomu prostori viznachayetsya analogichno A B P x y z d x Q x y z d y R x y z d z displaystyle int AB P x y z dx Q x y z dy R x y z dz nbsp Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno berezen 2011 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Krivolinijnij integral amp oldid 40291042