www.wikidata.uk-ua.nina.az

Екстремум найбільше або найменше значення функції на заданій множині Розрізняють локальний екстремум в деякому довільно

Екстремум

Екстремум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині. Розрізняють:

  • локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки
  • глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання: теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо.

Визначення Редагувати

Нехай дано функцію і  — внутрішня точка області визначення Тоді

  • називається точкою локального максимуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
  • називається точкою локального мінімуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
  • називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо
  • називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо

Якщо нерівності вище строгі, то називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.

Значення функції називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.

Зауваження Редагувати

Функція визначена на множині може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад,

Необхідні умови існування локальних екстремумів Редагувати

Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції .

Достатні умови існування локальних екстремумів Редагувати

  • Нехай функція неперервна в і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні . Тоді за умови

є точкою строгого локального максимуму. А якщо

то є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці .

  • Нехай функція неперервна і двічі диференційовна в точці . Тоді за умови

є точкою локального максимуму. А якщо

то є точкою локального мінімуму.

  • Нехай функція диференційовна разів у точці і , а .

Якщо парне і , то  — точка локального максимуму. Якщо  — парне і , то  — точка локального мінімуму. Якщо  — непарне, то екстремуму немає.

Теорема Ферма Редагувати

Нехай  — точка екстремуму функції . Якщо  — внутрішня точка для і  — диференційовна в точці , то .

Теорема Ролля Редагувати

Якщо неперервна на , диференційовна на і , то

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Пшеничный, 1969, с. 7.
  2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М. : Высшая школа, 1973. — Т. 1.

Джерела Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ekstremum najbilshe abo najmenshe znachennya funkciyi na zadanij mnozhini Rozriznyayut lokalnij ekstremum v deyakomu dovilno malomu okoli danoyi tochki globalnij ekstremum v usij rozglyaduvanij oblasti znachen funkcij Zadachi znahodzhennya ekstremumu vinikayut u vsih galuzyah lyudskogo znannya teoriyi avtomatichnogo keruvannya ekonomici biologiyi fizici tosho 1 Zmist 1 Viznachennya 2 Zauvazhennya 3 Neobhidni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv 4 Dostatni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv 5 Teorema Ferma 6 Teorema Rollya 7 Div takozh 8 Primitki 9 Dzherela 10 PosilannyaViznachennya RedaguvatiNehaj dano funkciyu f M R R displaystyle f M subset mathbb R to mathbb R nbsp i x 0 M 0 displaystyle x 0 in M 0 nbsp vnutrishnya tochka oblasti viznachennya f displaystyle f nbsp Todi x 0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu lokalnogo maksimumu funkciyi f displaystyle f nbsp yaksho isnuye prokolotij okil U x 0 displaystyle dot U x 0 nbsp takij sho x U x 0 f x f x 0 displaystyle forall x in dot U x 0 quad f x leqslant f x 0 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu lokalnogo minimumu funkciyi f displaystyle f nbsp yaksho isnuye prokolotij okil U x 0 displaystyle dot U x 0 nbsp takij sho x U x 0 f x f x 0 displaystyle forall x in dot U x 0 quad f x geqslant f x 0 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu globalnogo absolyutnogo maksimumu yaksho x M f x f x 0 displaystyle forall x in M quad f x leqslant f x 0 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu globalnogo absolyutnogo minimumu yaksho x M f x f x 0 displaystyle forall x in M quad f x geqslant f x 0 nbsp Yaksho nerivnosti vishe strogi to x 0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu strogogo lokalnogo abo globalnogo maksimumu abo minimumu vidpovidno Znachennya funkciyi f x 0 displaystyle f x 0 nbsp nazivayut vidpovidno strogim lokalnim abo globalnim maksimumom abo minimumom Tochki yaki ye tochkami lokalnogo maksimumu abo minimumu nazivayut tochkami lokalnogo ekstremumu Zauvazhennya RedaguvatiFunkciya f displaystyle f nbsp viznachena na mnozhini M displaystyle M nbsp mozhe ne mati na nomu zhodnogo lokalnogo abo globalnogo ekstremumu Napriklad f x x x 1 1 displaystyle f x x x in 1 1 nbsp Neobhidni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv RedaguvatiIz lemi Ferma viplivaye take 2 Nehaj tochka x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu ekstremumu funkciyi f displaystyle f nbsp viznachenoyi v deyakomu okoli tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp Todi abo pohidna f x 0 displaystyle f x 0 nbsp ne isnuye abo f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp Ci umovi ne ye dostatnimi tak funkciya mozhe mati nul pohidnoyi v tochci ale cya tochka mozhe ne buti tochkoyu ekstremumu a buti skazhimo tochkoyu pereginu yak tochka 0 0 u funkciyi f x x 3 displaystyle f x x 3 nbsp Dostatni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv RedaguvatiNehaj funkciya f C x 0 displaystyle f in C x 0 nbsp neperervna v x 0 M 0 displaystyle x 0 in M 0 nbsp i isnuyut skinchenni abo neskinchenni odnostoronni pohidni f x 0 f x 0 displaystyle f x 0 f x 0 nbsp Todi za umovif x 0 lt 0 f x 0 gt 0 displaystyle f x 0 lt 0 f x 0 gt 0 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu strogogo lokalnogo maksimumu A yaksho f x 0 gt 0 f x 0 lt 0 displaystyle f x 0 gt 0 f x 0 lt 0 nbsp to x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu strogogo lokalnogo minimumu Zauvazhimo sho pri comu funkciya ne obov yazkovo diferencijovna v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Nehaj funkciya f displaystyle f nbsp neperervna i dvichi diferencijovna v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Todi za umovif x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp i f x 0 lt 0 displaystyle f x 0 lt 0 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu lokalnogo maksimumu A yaksho f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp i f x 0 gt 0 displaystyle f x 0 gt 0 nbsp to x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu lokalnogo minimumu Nehaj funkciya f displaystyle f nbsp diferencijovna n displaystyle n nbsp raziv u tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp i f x 0 f x 0 f n 1 x 0 0 displaystyle f x 0 f x 0 dots f n 1 x 0 0 nbsp a f n x 0 0 displaystyle f n x 0 neq 0 nbsp Yaksho n displaystyle n nbsp parne i f n x 0 lt 0 displaystyle f n x 0 lt 0 nbsp to x 0 displaystyle x 0 nbsp tochka lokalnogo maksimumu Yaksho n displaystyle n nbsp parne i f n x 0 gt 0 displaystyle f n x 0 gt 0 nbsp to x 0 displaystyle x 0 nbsp tochka lokalnogo minimumu Yaksho n displaystyle n nbsp neparne to ekstremumu nemaye Teorema Ferma RedaguvatiDokladnishe Teorema FermaNehaj x 0 displaystyle x 0 nbsp tochka ekstremumu funkciyi f D R displaystyle f colon D to R nbsp Yaksho x 0 displaystyle x 0 nbsp vnutrishnya tochka dlya D displaystyle D nbsp i f x displaystyle f x nbsp diferencijovna v tochci x 0 f x 0 displaystyle x 0 exists f x 0 nbsp to f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp Teorema Rollya RedaguvatiDokladnishe Teorema RollyaYaksho f a b R displaystyle f colon a b to R nbsp neperervna na a b displaystyle a b nbsp diferencijovna na a b displaystyle a b nbsp i f a f b displaystyle f a f b nbsp to 3 a b f 3 0 displaystyle exists xi in a b f xi 0 nbsp Div takozh RedaguvatiKritichna tochka Zadacha optimizaciyi Pohidna Umovnij ekstremumPrimitki Redaguvati Pshenichnyj 1969 s 7 Kudryavcev L D Matematicheskij analiz 2 e izd M Vysshaya shkola 1973 T 1 Dzherela RedaguvatiGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Mala girnicha enciklopediya u 3 t za red V S Bileckogo D Donbas 2004 T 1 A K 640 s ISBN 966 7804 14 3 Posilannya RedaguvatiAbsolyutnij ekstremum u matematici Arhivovano 25 lyutogo 2022 u Wayback Machine VUE Oznachennya maksimumu ta minimumu funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 300 594 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ekstremum amp oldid 40598050