V matematichnij optimizaciyi umovna optimizaciya ce proces optimizaciyi cilovoyi funkciyi shodo deyakih zminnih za nayavnosti obmezhen na ci zminni Cilova fuknciya ce abo funkciya vtrat abo funkciya energiyi yaku treba minimizuvati abo funkciya vinagorodi abo funkciya korisnosti yaku treba maksimizuvati Obmezhennya ce abo zhorstki obmezhennya yaki vstanovlyuyut umovi na zminni yaki mayut buti dotrimani abo m yaki obmezhennya yaki vstanovlyut shtrafi na deyaki znachennya zminnih v cilovij funkciyi yaksho i naskilki ci obmezhennya ne dotrimani Zmist 1 Viznachennya 2 Metod mnozhnikiv Lagranzha dlya rozv yazannya zadachi umovnogo ekstremumu 2 1 Teorema 2 2 Naslidok 2 3 Dostatnya umova umovnogo ekstremumu 3 Div takozhViznachennya RedaguvatiNehaj G R n displaystyle G subset R n nbsp vidkrita mnozhina i na G zadani funkciyi y i f i x x G i 1 2 m displaystyle y i f i vec x vec x in G i 1 2 m nbsp Poznachimo cherez E G displaystyle E subset G nbsp taku sho E x G f i x 0 i 1 2 m displaystyle E lbrace vec x in G f i vec x 0 i 1 2 m rbrace nbsp de rivnyannya f i x 0 i 1 2 m displaystyle f i vec x 0 i 1 2 m nbsp nazivayut rivnyannyami zv yazkiv Nehaj na G viznachena funkciya y f 0 x displaystyle y f 0 vec x nbsp Tochka x 0 E displaystyle vec x 0 in E nbsp nazivayetsya tochkoyu umovnogo ekstremumu funkciyi y f 0 x displaystyle y f 0 vec x nbsp shodo rivnyan zv yazku yaksho vona ye tochkoyu zvichajnogo ekstremumu f 0 x displaystyle f 0 vec x nbsp na mnozhini E rozglyadayutsya okoli U E x 0 U G x 0 E displaystyle U E vec x 0 U G vec x 0 bigcap E nbsp Metod mnozhnikiv Lagranzha dlya rozv yazannya zadachi umovnogo ekstremumu RedaguvatiTeorema Redaguvati Pripustimo sho f i i 0 1 m displaystyle f i i 0 1 ldots m nbsp neperervno diferencijovni i nehaj x 0 displaystyle vec x 0 nbsp tochka umovnogo ekstremumu funkciyi f 0 x displaystyle f 0 vec x nbsp pri vikonanni rivnyan zv yazkiv Todi v cij tochci x 0 displaystyle vec x 0 nbsp gradiyenti f i i 0 1 m displaystyle nabla f i i 0 1 m nbsp ye linijno zalezhni tobto l i i 0 1 m i 0 m l i 0 displaystyle exists lambda i i 0 1 m sum i 0 m lambda i neq 0 nbsp ale i 0 m l i f i 0 displaystyle sum i 0 m lambda i nabla f i vec 0 nbsp Naslidok Redaguvati Yaksho x 0 displaystyle vec x 0 nbsp tochka umovnogo ekstremumu funkciyi f 0 x displaystyle f 0 vec x nbsp vidnosno rivnyan zv yazku to l 1 l m displaystyle exists lambda 1 lambda m nbsp taki sho v tochci x 0 f 0 l 1 f 1 l m f m 0 displaystyle vec x 0 nabla f 0 lambda 1 nabla f 1 lambda m f m vec 0 nbsp abo v koordinatnomu viglyadi f 0 x 1 x 0 l 1 f 1 x 1 x 0 l m f m x 1 x 0 0 displaystyle frac partial f 0 partial x 1 vec x 0 lambda 1 frac partial f 1 partial x 1 vec x 0 lambda m frac partial f m partial x 1 vec x 0 0 nbsp Dostatnya umova umovnogo ekstremumu Redaguvati Nehaj x 0 displaystyle vec x 0 nbsp ce stacionarna tochka funkciyi Lagranzha L f l x displaystyle L vec f vec lambda vec x nbsp pri l l 0 displaystyle lambda vec lambda 0 nbsp Yaksho d 2 L x 0 displaystyle d 2 L vec x 0 nbsp vid yemno dodatnyu viznachena kvadratichna forma zminnih d x 1 d x n displaystyle dx 1 dx n nbsp pri umovi d f 1 x i 0 i 1 m displaystyle df 1 vec x i 0 i 1 m nbsp to x 0 displaystyle vec x 0 nbsp ye tochkoyu max min dlya dodatno viznachennoyi umovnogo ekstremumu Yaksho vona za cih umov ne ye znakoviznachennoyu todi ekstremumu nemaye Div takozh RedaguvatiKlasichna zadacha na umovnij ekstremum Ekstremum Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Umovnij ekstremum amp oldid 37412076
