www.wikidata.uk-ua.nina.az

Критична точка математика Критичною точкою диференційовної функції f D R displaystyle f D to mathbb R де D displaystyle

Критична точка (математика)

Критичною точкою диференційовної функції , де  — область в , називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють 0. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої -гладкої функції має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень , і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді . У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення у ній менший максимального можливого (що дорівнює ).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначення Редагувати

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення) називається така точка , в котрій диференціал є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках і , тобто розмірність образу менша . В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції , складеної із всіх часткових похідних менший свого максимально можливого значення .

Простори і в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди і таких же розмірностей.

Випадок Редагувати

У разі дане визначення означає, що градієнт у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку це означає, що похідна у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан відмінний від нуля. Якщо має клас гладкості не нижче , то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція , визначена у всьому просторі або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, (рос.) — будь-яке видання.
  • Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, (рос.) — будь-яке видання.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kritichnoyu tochkoyu diferencijovnoyi funkciyi f D R displaystyle f D to mathbb R de D displaystyle D oblast v R n displaystyle R n nazivayetsya tochka v yakij vsi yiyi chastkovi pohidni dorivnyuyut 0 Cya umova ekvivalentna rivnosti nulyu diferenciala funkciyi v danij tochci a takozh rivnosilna gorizontalnosti dotichnoyi do grafika funkciyi giperploshini Cya umova ye neobhidnoyu ale ne dostatnoyu dlya togo shob vnutrishnya tochka oblasti mogla buti tochkoyu lokalnogo minimumu abo maksimumu funkciyi Znachennya funkciyi v kritichnij tochci nazivayetsya kritichnim znachennyam Zgidno z lemoyu Sarda mnozhina kritichnih znachen bud yakoyi C 1 displaystyle C 1 gladkoyi funkciyi f a b R displaystyle f a b to mathbb R maye nulovu miru Lebega hocha kritichnih tochok pri comu mozhe buti skilki zavgodno napriklad dlya funkciyi f c o n s t displaystyle f const bud yaka tochka ye kritichnoyu Ponyattya kritichnoyi tochki dopuskaye uzagalnennya na vipadok diferencijovnih vidobrazhen f R n R m displaystyle f mathbb R n to mathbb R m i na vipadok diferencijovnih vidobrazhen dovilnih mnogovidi f N n M m displaystyle f N n to M m U comu vipadku viznachennya kritichnoyi tochki polyagaye v tomu sho rang matrici Yakobi vidobrazhennya f displaystyle f u nij menshij maksimalnogo mozhlivogo sho dorivnyuye min n m displaystyle min n m Kritichni tochki funkcij i vidobrazhen grayut vazhlivu rol v takih galuzyah matematiki yak diferencialni rivnyannya variacijne chislennya teoriya stijkosti a takozh v mehanici i fizici Doslidzhennya kritichnih tochok gladkih vidobrazhen stanovit odne z osnovnih pitan teoriyi katastrof Ponyattya kritichnoyi tochki uzagalnyuyetsya takozh na vipadok funkcionaliv viznachenih na neskinchennovimirnih funkcionalnih prostorah Poshuk kritichnih tochok takih funkcionaliv ye vazhlivoyu chastinoyu variacijnogo obchislennya Kritichni tochki funkcionaliv yaki u svoyu chergu ye funkciyami nazivayutsya ekstremalyami Zmist 1 Formalne viznachennya 2 Vipadok UNIQ postMath 0000001B QINU 3 Div takozh 4 DzherelaFormalne viznachennya RedaguvatiKritichnoyu tochkoyu abo osoblivoyu tochkoyu abo stacionarnoyu tochkoyu neperervno diferencijovnoyi funkciyi vidobrazhennya f R n R m displaystyle f mathbb R n to mathbb R m nbsp nazivayetsya taka tochka x 0 R n displaystyle x 0 in mathbb R n nbsp v kotrij diferencial f f x displaystyle f frac partial f partial x nbsp ye virodzhenim linijnim peretvorennyam vidpovidnih dotichnih prostoriv v tochkah x 0 displaystyle x 0 nbsp i f x 0 displaystyle f x 0 nbsp tobto rozmirnist obrazu f displaystyle f nbsp mensha min n m displaystyle min n m nbsp V koordinatnomu zapisi ce znachit sho rang matrici Yakobi funkciyi f displaystyle f nbsp skladenoyi iz vsih chastkovih pohidnih f j x i x 0 displaystyle frac partial f j partial x i x 0 nbsp i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp j 1 m displaystyle j 1 ldots m nbsp menshij svogo maksimalno mozhlivogo znachennya min n m displaystyle min n m nbsp Prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp i R m displaystyle mathbb R m nbsp v comu viznachenni mozhut buti zamineni na mnogovidi N n displaystyle N n nbsp i M m displaystyle M m nbsp takih zhe rozmirnostej Vipadok m 1 displaystyle m 1 RedaguvatiU razi m 1 displaystyle m 1 nbsp dane viznachennya oznachaye sho gradiyent f f x 1 f x n displaystyle nabla f f x 1 ldots f x n nbsp u danij tochci peretvoryuyetsya v nul U najprostishomu vipadku n m 1 displaystyle n m 1 nbsp ce oznachaye sho pohidna f displaystyle f nbsp u danij tochci dorivnyuye nulyu Kritichna tochka nazivayetsya nevirodzhenoyu yaksho v nij gessian 2 f x 2 displaystyle Bigl frac partial 2 f partial x 2 Bigr nbsp vidminnij vid nulya Yaksho f displaystyle f nbsp maye klas gladkosti ne nizhche C 3 displaystyle C 3 nbsp to v okolici nevirodzhenoyi kritichnoyi tochki isnuyut koordinati v yakih funkciya f x displaystyle f x nbsp maye kvadratichnu normalnu formu lema Morsa Pri m 1 displaystyle m 1 nbsp maye sens pitannya pro maksimum i minimumi funkciyi Vidpovidno do vidomogo tverdzhennyam matematichnogo analizu bezperervno diferencijovna funkciya f displaystyle f nbsp viznachena u vsomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp abo u jogo vidkritij pidmnozhini mozhe dosyagati lokalnogo maksimumu minimumu tilki v kritichnih tochkah prichomu yaksho tochka nevirodzhena to matricya 2 f x 2 2 f x i x j displaystyle Bigl frac partial 2 f partial x 2 Bigr Bigl frac partial 2 f partial x i partial x j Bigr nbsp i j 1 n displaystyle i j 1 ldots n nbsp u nij povinna buti vid yemno dodatno viznachena Ostannye ye takozh dostatnoyu umovoyu lokalnogo maksimumu minimumu Div takozh RedaguvatiLema Ferma Indeks kritichnoyi tochkiDzherela RedaguvatiArnold V I Varchenko A N Gusejn Zade S M Osobennosti differenciruemyh otobrazhenij ros bud yake vidannya Zorich V A Matematicheskij analiz 10 e M MCNMO 2019 T 1 564 s ISBN 978 5 4439 4029 8 ros Bryoker T Lander L Differenciruemye rostki i katastrofy ros bud yake vidannya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kritichna tochka matematika amp oldid 37277538