www.wikidata.uk-ua.nina.az

Формула Ньютона Ляйбніца Фо рмула Ньюто на Ляйбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда

Формула Ньютона — Ляйбніца

Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Нехай функція неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна , тоді визначений інтеграл від функції можна обчислити за формулою:

Ця формула називається формулою Ньютона—Ляйбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:


Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження Редагувати

Існує дві частини теореми. Інакше кажучи, перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина Редагувати

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку (a, b), і

для всіх x з (a, b).

Наслідок Редагувати

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді

Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина Редагувати

Формула Ньютона - Лейбніца (анімація)

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).

Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],

Якщо f є інтегровною за Ріманом на [a, b] тоді

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини Редагувати

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

Для двох довільних чисел x1 і x1 + Δx з [a, b], маємо

і

Відніманням отримуємо

Можна показати, що

Отже

Підставляємо попереднє в (1), що дає

Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число з [x1, x1 + Δx] таке, що

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість але читач має усвідомлювати, що c залежить від . Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

Ділення на Δx дає

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x1.

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x1, x1 + Δx], отже x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.

Також, and

Тому, відповідно до стискної теореми,

Підставляємо в (3) і отримуємо

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 [ 22 лютого 2014 у Wayback Machine.])

Доведення наслідку Редагувати

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо

що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже

Доведення другої частини Редагувати

Доведення через суми Рімана.

Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x1, …, xn такі, що

З цього слідує

Тепер додамо кожне F(xi) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

Попереднє можна записати як таку суму:

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

З цього випливає, що

Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків [xi−1, xi]. Згідно з теоремою Лагранжа,

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

Припущення означає Також, може бути виражено як відтинку .

Збіжна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони збігаються до інтегралу функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше , прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від , тому границя зліва залишається F(b) − F(a).

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, . Тепер, припустимо . Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми. Наприклад, якщо f(x) = e−x2, тоді f має первісну, а саме

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади Редагувати

Задля прикладу обчислимо таке:

Тут, і ми можемо використати як первісну. Звідси

Або, загальніше, обчислимо

Тут, і можна використати як первісну. Отже

Або, тотожно,

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. (Апостол, 1967, §5.1)
  2. (Апостол, 1967, §5.3)
  3. Spivak, Michael (1980). Calculus (вид. 2nd). Houston, Texas: Publish or Perish Inc. 

Джерела Редагувати

Посилання Редагувати

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Fo rmula Nyuto na Lyajbnica dlya obchislennya viznachenogo integralu ye uzagalnennyam metodu Arhimeda dlya obchislennya plosh i poverhon ploskih krivolinijnih poverhon ob yemiv til dovzhin krivih ta inshih zadach Nehaj funkciya f x displaystyle f x neperervna na vidrizku a b i vidoma yiyi pervisna F x displaystyle F x todi viznachenij integral vid funkciyi f x displaystyle f x mozhna obchisliti za formuloyu a b f x d x F b F a displaystyle int limits a b f x dx F b F a Cya formula nazivayetsya formuloyu Nyutona Lyajbnica Inodi yiyi nazivayut osnovnoyu formuloyu integralnogo chislennya Dlya skorochennya zapisu chasto zastosovuyetsya poznachennya a b f x d x F x a b F x a b displaystyle int limits a b f x dx Bigl F x Bigr a b Bigl F x Bigr a b Ale v bagatoh vipadkah pervisna funkciya ne mozhe buti znajdena za dopomogoyu elementarnih zasobiv abo ye zanadto skladnoyu sho robit nemozhlivim obchislennya viznachenogo integrala za ciyeyu formuloyu V takih vipadkah koristuyutsya chiselnimim metodami obchislennya viznachenih integraliv Zmist 1 Formalni tverdzhennya 1 1 Persha chastina 1 2 Naslidok 1 3 Druga chastina 2 Dovedennya pershoyi chastini 3 Dovedennya naslidku 4 Dovedennya drugoyi chastini 5 Prikladi 6 Div takozh 7 Primitki 8 Dzherela 9 PosilannyaFormalni tverdzhennya RedaguvatiIsnuye dvi chastini teoremi Inakshe kazhuchi persha chastina operuye z pohidnimi pervisnih todi yak druga chastina maye spravu zi zv yazkom mizh pervisnoyu i viznachenim integralom Persha chastina Redaguvati Cya chastina inodi zgaduyetsya yak persha fundamentalna teorema integralnogo chislennya 1 Nehaj f bude neperervnoyu dijsno znachimoyu funkciyeyu na zakritomu promizhku a b Nehaj F bude funkciyeyu viznachenoyu dlya vsih x u a b cherez F x a x f t d t displaystyle F x int a x f t dt nbsp Todi F ye neperervnoyu na a b diferencijovnoyu na vidkritomu promizhku a b i F x f x displaystyle F x f x nbsp dlya vsih x z a b Naslidok Redaguvati Fundamentalnu teoremu chasto vikoristovuyut dlya obchislennya viznachenogo integralu funkciyi f dlya yakoyi vidoma pervisna F Konkretno yaksho f ye dijsno znachnoyu neperervnoyu funkciyu na a b i F yiyi pervisna f u a b todi a b f t d t F b F a displaystyle int a b f t dt F b F a nbsp Cej naslidok pripuskaye neperervnist na vsomu promizhku Cej vislid zlegka posilyuyetsya nastupnoyu chastinoyu teoremi Druga chastina Redaguvati nbsp Formula Nyutona Lejbnica animaciya Cya chastina inodi zgaduyetsya yak druga fundamentalna teorema integralnogo chislennya 2 abo formula Nyutona Lejbnica angl Newton Leibniz axiom Nehaj f i F budut dijsno znachnimi funkciyami viznachenimi na zakritomu promizhku a b taki sho pohidna F ye f Tobto f i F ce funkciyi taki sho dlya vsih x z a b F x f x displaystyle F x f x nbsp Yaksho f ye integrovnoyu za Rimanom na a b todi a b f x d x F b F a displaystyle int a b f x dx F b F a nbsp Druga chastina ye pochasti silnishoyu vid Naslidku bo vona ne vimagaye neperervnosti f Koli isnuye pervisna F todi isnuye neskinchenno bagato pervisnih dlya f otrimuvanih dodavannyam do F dovilnoyi staloyi Takozh z pershoyi chastini teoremi pervisna isnuye zavzhdi koli f neperervna Dovedennya pershoyi chastini RedaguvatiDlya zadanoyi f t viznachimo funkciyu F x yak F x a x f t d t displaystyle F x int a x f t dt nbsp Dlya dvoh dovilnih chisel x1 i x1 Dx z a b mayemo F x 1 a x 1 f t d t displaystyle F x 1 int a x 1 f t dt nbsp i F x 1 D x a x 1 D x f t d t displaystyle F x 1 Delta x int a x 1 Delta x f t dt nbsp Vidnimannyam otrimuyemo F x 1 D x F x 1 a x 1 D x f t d t a x 1 f t d t 1 displaystyle F x 1 Delta x F x 1 int a x 1 Delta x f t dt int a x 1 f t dt qquad 1 nbsp Mozhna pokazati sho a x 1 f t d t x 1 x 1 D x f t d t a x 1 D x f t d t displaystyle int a x 1 f t dt int x 1 x 1 Delta x f t dt int a x 1 Delta x f t dt nbsp Suma plosh dvoh sumizhnih regioniv dorivnyuye ploshi dvoh regioniv ob yednanih Otzhe a x 1 D x f t d t a x 1 f t d t x 1 x 1 D x f t d t displaystyle int a x 1 Delta x f t dt int a x 1 f t dt int x 1 x 1 Delta x f t dt nbsp Pidstavlyayemo poperednye v 1 sho daye F x 1 D x F x 1 x 1 x 1 D x f t d t 2 displaystyle F x 1 Delta x F x 1 int x 1 x 1 Delta x f t dt qquad 2 nbsp Zgidno z teoremoyu Lagranzha dlya integruvannya isnuye dijsne chislo c D x displaystyle c Delta x nbsp z x1 x1 Dx take sho x 1 x 1 D x f t d t f c D x D x displaystyle int x 1 x 1 Delta x f t dt f left c Delta x right Delta x nbsp Dlya sproshennya zapisu mi prodovzhuvatimemo pisati c zamist c D x displaystyle c Delta x nbsp ale chitach maye usvidomlyuvati sho c zalezhit vid D x displaystyle Delta x nbsp Pidstavlyayuchi poperednye u 2 otrimuyemo F x 1 D x F x 1 f c D x displaystyle F x 1 Delta x F x 1 f c Delta x nbsp Dilennya na Dx daye F x 1 D x F x 1 D x f c displaystyle frac F x 1 Delta x F x 1 Delta x f c nbsp Viraz livoruch vid znaku rivnosti vidnoshennya riznic Nyutona dlya F u x1 Perejdemo do granic pri Dx 0 z oboh bokiv rivnyannya lim D x 0 F x 1 D x F x 1 D x lim D x 0 f c displaystyle lim Delta x to 0 frac F x 1 Delta x F x 1 Delta x lim Delta x to 0 f c nbsp Viraz livoruch ye viznachennyam pohidnoyi vid F u x1 F x 1 lim D x 0 f c 3 displaystyle F x 1 lim Delta x to 0 f c qquad 3 nbsp Dlya viznachennya drugoyi granici vikoristayemo stisknu teoremu Chislo c lezhit u promizhku x1 x1 Dx otzhe x1 c x1 Dx Takozh lim D x 0 x 1 x 1 displaystyle lim Delta x to 0 x 1 x 1 nbsp and lim D x 0 x 1 D x x 1 displaystyle lim Delta x to 0 x 1 Delta x x 1 nbsp Tomu vidpovidno do stisknoyi teoremi lim D x 0 c x 1 displaystyle lim Delta x to 0 c x 1 nbsp Pidstavlyayemo v 3 i otrimuyemo F x 1 lim c x 1 f c displaystyle F x 1 lim c to x 1 f c nbsp Funkciya f ye neperervnoyu v c otzhe granicyu mozhna perenesti v seredinu funkciyi Otzhe mi mayemo F x 1 f x 1 displaystyle F x 1 f x 1 nbsp Sho zavershuye dovedennya Leithold et al 1996 stroge dovedennya vi mozhete znajti na http www imomath com index php options 438 Arhivovano 22 lyutogo 2014 u Wayback Machine Dovedennya naslidku RedaguvatiPripustimo F pervisna f yaksho f neperervna na a b Nehaj G x a x f t d t displaystyle G x int a x f t dt nbsp Z pershoyi chastini teoremi mi znayemo G takozh pervisna f Z teoremi Lagranzha viplivaye sho isnuye take chislo c sho G x F x c dlya vsih x z a b Poklavshi x a mayemo F a c G a a a f t d t 0 displaystyle F a c G a int a a f t dt 0 nbsp sho znachit c F a Inakshe kazhuchi G x F x F a i otzhe a b f x d x G b F b F a displaystyle int a b f x dx G b F b F a nbsp Dovedennya drugoyi chastini RedaguvatiDovedennya cherez sumi Rimana Nehaj f integrovna za Rimanom na vidrizku a b i nehaj f maye pervisnu F na a b Pochnemo z velichini F b F a Nehaj isnuyut chisla x1 xn taki sho a x 0 lt x 1 lt x 2 lt lt x n 1 lt x n b displaystyle a x 0 lt x 1 lt x 2 lt cdots lt x n 1 lt x n b nbsp Z cogo sliduye F b F a F x n F x 0 displaystyle F b F a F x n F x 0 nbsp Teper dodamo kozhne F xi razom iz zvorotnim do nogo shodo dodavannya otzhe vislidna velichina dorivnyuye F b F a F x n F x n 1 F x n 1 F x 1 F x 1 F x 0 F x n F x n 1 F x n 1 F x 1 F x 1 F x 0 displaystyle begin aligned F b F a amp F x n F x n 1 F x n 1 cdots F x 1 F x 1 F x 0 amp F x n F x n 1 F x n 1 cdots F x 1 F x 1 F x 0 end aligned nbsp Poperednye mozhna zapisati yak taku sumu F b F a i 1 n F x i F x i 1 1 displaystyle F b F a sum i 1 n F x i F x i 1 qquad 1 nbsp Dali vikoristayemo teoremu Lagranzha Yaka stverdzhuye korotko Nehaj F ye neperervnoyu na vidrizku a b i diferencijovnoyu na intervali a b Todi isnuye deyake c z a b take sho F c F b F a b a displaystyle F c frac F b F a b a nbsp Z cogo viplivaye sho F c b a F b F a displaystyle F c b a F b F a nbsp Funkciya F diferencijovna na a b otzhe vona diferencijovna i neperervna na kozhnomu z vidrizkiv xi 1 xi Zgidno z teoremoyu Lagranzha F x i F x i 1 F c i x i x i 1 displaystyle F x i F x i 1 F c i x i x i 1 nbsp Pidstavlyayuchi poperednye v 1 otrimuyemo F b F a i 1 n F c i x i x i 1 displaystyle F b F a sum i 1 n F c i x i x i 1 nbsp Pripushennya oznachaye F c i f c i displaystyle F c i f c i nbsp Takozh x i x i 1 displaystyle x i x i 1 nbsp mozhe buti virazheno yak D x displaystyle Delta x nbsp vidtinku i displaystyle i nbsp F b F a i 1 n f c i D x i 2 displaystyle F b F a sum i 1 n f c i Delta x i qquad 2 nbsp nbsp Zbizhna poslidovnist sum Rimana Chislo nagori livoruch ye povnoyu plosheyu golubih pryamokutnikiv Voni zbigayutsya do integralu funkciyiMi opisuyemo ploshu pryamokutnika cherez dobutok shirini i visoti i dodayemo ploshi Kozhen pryamokutnik znov teorema Lagranzha ye nablizhennyam sekciyi krivoyi de vin namalovanij Takozh D x i displaystyle Delta x i nbsp ne obov yazkovo maye buti odnakovim dlya vsih i inakshe kazhuchi shirina pryamokutnikiv mozhe riznitisya Sho nam potribno zrobiti priblizno zadati krivu cherez n pryamokutnikiv Teper u miru togo yak rozmir kozhnogo vidtinku zmenshuyetsya a n zbilshuyetsya mi nablizhayemosya do spravzhnogo znachennya integralu krivoyi Z perehodom do granici de rozmir rozbittya najbilshe D x displaystyle Delta x nbsp pryamuye do nulya i vidpovidno kilkist vidtinkiv do neskinchennosti mi dosyagayemo integralu Rimana Granicya isnuye bo za pripushennyam f integrovna Otzhe mi perehodimo do granici z oboh bokiv u 2 Mayemo lim D x i 0 F b F a lim D x i 0 i 1 n f c i D x i displaystyle lim Delta x i to 0 F b F a lim Delta x i to 0 sum i 1 n f c i Delta x i nbsp Ani F b ni F a ne ye zalezhnimi vid D x i displaystyle Delta x i nbsp tomu granicya zliva zalishayetsya F b F a F b F a lim D x i 0 i 1 n f c i D x i displaystyle F b F a lim Delta x i to 0 sum i 1 n f c i Delta x i nbsp Viraz pravoruch viznachaye integral f vid a do b Otzhe mi otrimuyemo F b F a a b f x d x displaystyle F b F a int a b f x dx nbsp sho j zavershuye dovedennya Ce viglyadaye majzhe tak nache persha chastina bezposeredno viplivaye z drugoyi Tobto pripustimo G ye pervisnoyu dlya f Todi zgidno z drugoyu chastinoyu teoremi G x G a a x f t d t displaystyle G x G a int a x f t dt nbsp Teper pripustimo F x a x f t d t G x G a displaystyle F x int a x f t dt G x G a nbsp Todi F maye taku samu pohidnu yak i G zvidsi F f Odnak cej dovid pracyuye lishe yaksho mi znayemo sho f maye pervisnu a mi znayemo sho neperervni funkciyi mayut pervisnu lishe zavdyaki pershij chastini fundamentalnoyi teoremi 3 Napriklad yaksho f x e x2 todi f maye pervisnu a same G x 0 x f t d t displaystyle G x int 0 x f t dt nbsp i ne isnuye prostishogo virazu dlya ciyeyi funkciyi Same cherez ne treba sprijmati drugu chastinu yak viznachennya integrala I spravdi isnuye bagato funkcij yaki integrovni ale na mayut pervisnoyi yaku mozhna zapisati u viglyadi elementarnih funkcij I navpaki bagato funkcij sho mayut pervisnu neintegrovni za Rimanom divis Funkciya Volterra Prikladi RedaguvatiZadlya prikladu obchislimo take 2 5 x 2 d x displaystyle int 2 5 x 2 dx nbsp Tut f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp i mi mozhemo vikoristati F x x 3 3 displaystyle F x frac x 3 3 nbsp yak pervisnu Zvidsi 2 5 x 2 d x F 5 F 2 5 3 3 2 3 3 125 3 8 3 117 3 39 displaystyle int 2 5 x 2 dx F 5 F 2 frac 5 3 3 frac 2 3 3 frac 125 3 frac 8 3 frac 117 3 39 nbsp Abo zagalnishe obchislimo d d x 0 x t 3 d t displaystyle frac d dx int 0 x t 3 dt nbsp Tut f t t 3 displaystyle f t t 3 nbsp i mozhna vikoristati F t t 4 4 displaystyle F t frac t 4 4 nbsp yak pervisnu Otzhe d d x 0 x t 3 d t d d x F x d d x F 0 d d x x 4 4 x 3 displaystyle frac d dx int 0 x t 3 dt frac d dx F x frac d dx F 0 frac d dx frac x 4 4 x 3 nbsp Abo totozhno d d x 0 x t 3 d t f x d x d x f 0 d 0 d x x 3 displaystyle frac d dx int 0 x t 3 dt f x frac dx dx f 0 frac d0 dx x 3 nbsp Div takozh RedaguvatiIntegralne chislennyaPrimitki Redaguvati Apostol 1967 5 1 Apostol 1967 5 3 Spivak Michael 1980 Calculus vid 2nd Houston Texas Publish or Perish Inc Dzherela RedaguvatiApostol Tom M 1967 Integralne chislennya Tom 1 Integralne chislennya funkcij odniyeyi zminnoyi zi vstupom do linijnoyi algebri vid druge Nyu Jork John Wiley amp Sons ISBN 978 0 471 00005 1 angl Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1964 T 2 800 s ros Posilannya RedaguvatiFormula Nyutona Lejbnica Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 412 594 s nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Formula Nyutona Lyajbnica amp oldid 40451978