У математиці кватерніоном Гурвіца (або цілим числом Гурвіца) називають кватерніон, компоненти якого або всі цілі, або всі напівцілі (половини непарних чисел; суміш цілих і напівцілих неприпустима). Множина всіх кватерніонів Гурвіца
Можна показати, що замкнута відносно множення та додавання, що робить її підкільцем кільця всіх кватерніонів.
Кватерніон Ліпшиця (або ціле Ліпшиця) — це кватерніон, всі компоненти якого є цілими числами. Множина всіх кватерніонів Липшиця
формує підкільце в кільці кватерніонів Гурвіца H.
Як група H є вільною абелевою групою з твірними {½(1+i+j+k), i, j, k}. Вона, таким чином, утворює ґратку R4. Ця ґратка відома як ґратка F4, оскільки вона є кореневою ґраткою напівпростої алгебри Лі F4. Кватерніон Ліпшиця L утворює підґратку в H.
Група одиниць L утворює кватерніонну групу Q = {±1, ± i, ± j, ± k}. Група одиниць H не є абелевою і утворює групу 24-го порядку, відому як бінарна група тетраедра. Ця група включає 8 елементів Q і 16 кватерніонів {½(±1± i ± j ± k)}, де знаки беруться в будь-якій комбінації. Кватерніонна група є нормальною підгрупою бінарної групи тетраедра U(H). Елементи U(H), маючи норму 1, утворюють вершини 24-гранника[ru], вписаного в 3-сферу.
Норма кватерніона Гурвіца, заданого формулою , завжди є цілим числом. За теоремою Лагранжа будь-яке невід'ємне ціле число можна подати у вигляді суми чотирьох (або менше) квадратів цілих чисел. Отже, будь-яке невід'ємне ціле число є нормою якогось кватерніону Ліпшиця (чи Гурвіца). Ціле число Гурвіца є простим елементом у тому й лише тому випадку, коли його норма — просте число.
Див. також ред.
- Гауссові числа
- Ціле число Ейзенштейна
- Група Лі F4
- Ґратка E8
Посилання ред.
- Конвей Д. Х., Смит Д. А. Гурвицевы целые кватернионы // О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях — Москва: МЦНМО, 2009. — С. 71–80. — 184 с. — ISBN 978-5-94057-517-7