Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів

Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел.

Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що :

Наприклад:

Теорема доведена Лагранжем в 1770 році. Довільне натуральне число, що не записується у виді можна також записати як суму квадратів трьох чисел.

Доведення Редагувати

Для найменших натуральних чисел 1 і 2 розклад записано вище. Також для всіх чисел виконується тотожність чотирьох квадратів:

Звідси випливає, що якщо два довільні натуральні числа можна подати у виді суми чотирьох квадратів, то це ж можна зробити і для їх добутку. Відповідно твердження теореми достатньо довести для непарних простих чисел.

Спершу для такого простого числа існує натуральне число для якого для деяких цілих Це випливає з того, що цілі числа для не є рівними за модулем Справді, якщо для двох таких різних чисел то і або різниця або сума ділиться на , що не є можливим.

Аналогічно числа для не є рівними за модулем Загалом є число виду або із вказаними умовами і відповідно хоча б два із них належать одному класу лишків за модулем . Це мають бути деякі числа і , тобто і відповідно існує ціле число для якого Оскільки то і звідси також

Зокрема також число є сумою чотирьох квадратів і один із доданків не ділиться на .

Нехай тепер є мінімальним натуральним числом, для якого існує розклад у суму чотирьох квадратів де хоча б одне із цілих чисел не ділиться на . Для доведення теореми Лагранжа достатньо довести, що

Число є непарним. Адже якщо є парним, то парним є і Але тоді або всі є парними або всі непарними або два парними і два непарними. В будь-якому випадку за допомогою перепозначень можна вважати, що і мають однакову парність, а також і мають однакову парність. Тоді:

Тобто є сумою чотирьох квадратів не всі з яких діляться на і це суперечить мінімальності числа .

Якщо є непарним числом, то існують числа які є рівними за модулем і Також не всі діляться на (в іншому випадку сума їх квадратів, яка є рівною , ділилася б на що не є можливим для ) і тому хоча б одне із чисел не є рівним 0. Відповідно згідно означень

Водночас і існує ціле число для якого

Згідно тотожності чотирьох квадратів добуток і є рівний сумі квадратів деяких чотирьох цілих чисел і також:

Розглядаючи означення усіх у тотожності чотирьох квадратів і враховуючи, що і є рівними за модулем одержується, що всі діляться на , тобто . Ділячи рівність на одержуємо, що і є рівним сумі чотирьох квадратів, що суперечить мінімальності

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
Andrews, George E. (1971). Number Theory. Philadelphia: W. B. Saunders Company.